Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 81.

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§. 81. Fortsetzung: Fingirte galvanische Ströme in der Oberfläche des Magnets.

 Wir gehen zu der zweiten Aufgabe über. Die im äusseren Raume gegebenen magnetischen Wirkungen sollen dadurch zu Stande kommen, dass galvanische Ströme nur in der Oberfläche des Körpers auftreten und nirgends magnetische Massen vorhanden sind.

 Diese Aufgabe formulirt sich wie folgt:

 Die Function $V\,$ ist für jeden Punkt im äusseren Räume in derselben Weise gegeben, wie bei der vorigen Aufgabe. Ihre Fortsetzung soll für das Innere des Körpers so bestimmt werden, dass sie darin der partiellen Differentialgleichung

(1)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0\;$

Genüge leistet, dass sie nebst ihren Derivirten im Innern endlich und stetig variabel sei, und dass an jeder Stelle der Oberfläche

(2)	$\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{+0}=N\,$

sei.

 Die Gleichung (1) sagt aus, dass im Innern keine magnetischen Massen und keine Ströme, die Gleichung (2), dass in der Oberfläche keine magnetischen Massen vorhanden sind.

 Aus der Gleichung (1) folgt noch

(3)	$\int N\;d\;\sigma =0,\,$

wenn das Integral über die Oberfläche des Körpers erstreckt wird. Um dies zu beweisen, errichten wir im Punkte $(x,\,y,\,z)$ der Oberfläche nach innen zu die Normale und bezeichnen eine von jenem Punkte aus darauf abgetragene Strecke mit $n\,$, so dass $n=-p\,$ ist für negative Werthe von $p\,$. Durch Anwendung des in §. 19 (4) entwickelten Hülfsatzes erhält man

${\begin{aligned}&\iiint \left({\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz\\&=-\int \left(X{\frac {\partial x}{\partial n}}+Y{\frac {\partial y}{\partial n}}+Z{\frac {\partial z}{\partial n}}\right)\,d\sigma .\\\end{aligned}}$

Dabei ist das Integral links über den ganzen Körper, das Integral rechts über seine Oberfläche auszudehnen. Beachtet man aber die Gleichungen (4) des §. 79, so lässt sich die letzte Gleichung so schreiben:

$\iiint \left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)\,dx\,dy\,dz\ =-\int {\frac {\partial V}{\partial n}}\,d\sigma .$

Nun ist aber vermöge der Gleichung (l) die linke Seite gleich Null. Es ist ferner

(4)	$-{\frac {\partial V}{\partial n}}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=N.$

Setzt man dieses ein, so erlangt man die zu beweisende Gleichung (3).

 Es kommt nun darauf an, zu beweisen, dass es immer eine, und nur eine Function $V\,$ gibt, die den aufgestellten Bedingungen Genüge leistet. Zu dem Ende bezeichnen wir mit $u\,$ eine einwerthige Function von $x,\,y,\,z$ über die nichts weiter festgesetzt wird, als dass sie selbst und ihre ersten Derivirten im Innern des Körpers überall endlich und stetig variabel sein sollen. Solcher Functionen gibt es unendlich viele. Folglich kann auch das über den Körper ausgedehnte Integral

(5)	$\,\Omega (u)=\iiint {\Big \lbrace }\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}{\Big \rbrace }\,dx\,dy\,dz$

unendlich viele verschiedene Werthe annehmen. Welche Function $u\,$ man aber auch nehmen möge, immer wird der Werth von $\Omega (u)\,$ positiv und endlich ausfallen. Das Erste ergibt sich aus der Form des Integrals, das Andere folgt unmittelbar aus der Voraussetzung. Wir wollen nur solche Functionen $u\,$ in Betracht ziehen, von denen keine zwei in constantem Verhältniss zu einander stehen. Diese Beschränkung wird eingeführt durch die Nebenbedingung, dass das Oberflächen-Integral

(6)	$\int uNd\sigma =A\,$

sein soll. Unter $A\,$ verstehen wir eine von Null verschiedene Constante, deren Grösse vorläufig unbestimmt bleiben möge.

 Bezeichnen wir eine von den unendlich vielen Functionen u \, mit v \,, so lässt jede andere sich in die Form bringen

$u=v+hs,\,$

wenn $h\,$ eine passend zu wählende Constante bedeutet und $s\,$ eine Function, die im Innern des Körpers an dieselbe Bedingung geknüpft ist wie die Functionen $u\,$, mit der aus (6) hervorgehenden Nebenbedingung, dass das Oberflächen-Integral

(7)	$\int sNd\sigma =0.\,$

Da die Werthe von $\Omega (u)\,$ endlich und positiv sind, so gibt es unter den Integralen (5), bei denen die Nebenbedingung (6) erfüllt ist, mindestens ein Minimum. Wir bezeichnen mit $v\,$ die Function, welche dieses Minimum zu Stande bringt. Dann lässt sich jede andere Function $u\,$ in die Form bringen

$u=v+hs,\,$

und wenn man nun $h\,$ unendlich klein annimmt, so lautet die Bedingung des Minimum

(8)	$\Omega (v)\leqq \Omega (v+hs).$

Das Integral $\Omega (v+hs)\,$ lässt sich in derselben Weise entwickeln wie in §. 34. Wir erhalten

(9)	$Q(v+hs)\,$ $=\Omega (v)+2h\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz$ $+h^{2}\Omega (s).\,$

Auf der rechten Seite dieser Gleichung wollen wir den zweiten Bestandteil nach §. 20 transformiren. Es findet sich

(10)

$\iiint \left({\frac {\partial v}{\partial x}}{\frac {\partial s}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}{\frac {\partial s}{\partial y}}+{\frac {\partial v}{\partial z}}{\frac {\partial s}{\partial z}}\right)dx\,dy\,dz$ $=-\int s\,{\frac {\partial v}{\partial n}}\,d\sigma -\iiint s\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz.$

Nun kommen aber nur solche Functionen $s\,$ in Betracht, welche die Nebenbedingung (7) erfüllen. Um diese mit zu berücksichtigen, multipliciren wir ihre beiden Seiten mit einer vorläufig noch unbestimmten constanten Grösse $k\,$, ferner mit $2h\,$ und verbinden das Resultat mit (10) durch Addition. Dadurch findet sich, dass bei Gültigkeit der Gleichung (7) die Gleichung (9) in folgende übergeht:

(11)	$\Omega (v+hs)\,$

$=\Omega (v)-2h\int s\left({\frac {\partial v}{\partial n}}-kN\right)d\sigma \,$ $-2h\iiint s\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\,$ $+h^{2}\Omega (s).\,$

Dies gilt für jeden Werth der Constanten $h\,$. Soll für ein unendlich kleines $h\,$ die Bedingung (8) erfüllt sein, so muss der Inbegriff dessen, was auf der rechten Seite von (11) mit $2h\,$ multiplicirt ist, gleich Null gesetzt werden. Dazu ist nöthig und hinreichend, dass

(12)	${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}=0$

sei an jeder Stelle im Innern des Körpers und

(13)	${\frac {\partial v}{\partial n}}=kN$

in jedem Punkte seiner Oberfläche.

 Setzen wir dann

(14)	$V=-{\frac {1}{k}}v,\,$

so genügt die Function $V\,$ allen aufgestellten Bedingungen.

 Die Constante $k\,$ ist von dem Werthe der Grösse $A\,$ abhängig, jedenfalls aber von Null verschieden. Denn angenommen, es wäre $k=0,\,$ so müsste vermöge der Gleichung (13) in jedem Punkte der Oberfläche ${\frac {\partial v}{\partial n}}=0\,$ sein. Man hätte also, wenn man dies und die Gleichung (12) beachtet:

$-\int v{\frac {\partial v}{\partial n}}d\sigma -\iiint v{\Big \lbrace }{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}{\Big \rbrace }dx\,dy\,dz=0.$

Die linke Seite dieser Gleichung geht aber durch die Transformation des §. 20 hervor aus dem Integral

$\iiint {\Big \lbrace }\left({\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}{\Big \rbrace }dx\,dy\,dz\,$

Dieses Integral müsste also den Werth Null haben, was nicht anders möglich ist, als wenn man $v={\text{const.}}\,$ setzt. Hieraus würde aber ohne weiteres folgen:

$\int vNd\sigma =c\int Nd\sigma =0$

nach Gleichung (3), und das steht mit der Nebenbedingung (6) im Widerspruch. Demnach muss $k\,$ von Null verschieden sein.

 Es bleibt noch zu beweisen, dass es ausser $v\,$ keine andere Function gibt, welche unter der Bedingung (6) das Integral (5) zu einem Minimum macht. Angenommen, es wäre $u=v+s\,$ eine Function, die dies leistete, so würde sie die Bedingung erfüllen;

(15)	$\Omega (v+s)\leqq \Omega (v+hs),$

wenn hier die Constante $h\,$ unendlich nahe an 1 genommen wird. Nun ist aber nach den Gleichungen (11), (12) und (13):

$\Omega (v+hs)=\Omega (v)+h^{2}\Omega (s),\,$ $\Omega (v+s)=\Omega (v)+\Omega (s).\,$

Folglich lautet die Bedingung (15) jetzt:

(16)	$\Omega (s)\leqq h^{2}\Omega (s),$

Man darf aber die Constante $h^{2},\,$ welche hier unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen, und deshalb kann die Bedingung (16) nur dadurch erfüllt werden, dass man setzt:

$\Omega (s)=0,\,$ d. h. $s={\text{const.}}\,$

Sieht man von einer willkürlichen additiven Constanten ab, so ist demnach $v\,$ die einzige Function, welche unter Innehaltung der Nebenbedingung (6) das Integral (5) zu einem Minimum macht.

 Endlich kann man noch den Zusammenhang zwischen $k\,$ und $A\,$ aufsuchen. Es ist schon bewiesen, dass

${\begin{aligned}&\iiint {\Big \lbrace }\left({\frac {\partial v}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial v}{\partial z}}\right)^{2}{\Big \rbrace }dx\,dy\,dz\,\\=-&\iiint v\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\,\\-&\int v{\frac {\partial v}{\partial n}}d\sigma \,\\\end{aligned}}$

Das dreifache Integral links ist das Minimum $\,\Omega (v)$. Auf der rechten Seite fällt das dreifache Integral heraus wegen der Gleichung (12). Zieht man also noch die Gleichung (13) heran, so geht die letzte Gleichung über in

$\Omega (v)=-K\int vNd\sigma ,\,$

d. h. in

$\Omega (v)=-kA.\,$

Da wir über $A\,$ noch disponiren können, so dürfen wir

$A=\Omega (v)\,$

setzen und erhalten aus (14):

(17)

$V=v.\,$

Es gibt also, abgesehen von einer additiven Constanten, nur eine Function $V\,$, welche den zu Anfang dieses Paragraphen aufgestellten Bedingungen Genüge leistet.

 Der Satz ist nur dann gültig, wenn der gegebene Körper einfach zusammenhangend ist.

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