Schwere, Elektricität und Magnetismus:293
Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus | ||
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Nun kommen aber nur solche Functionen in Betracht, welche die Nebenbedingung (7) erfüllen. Um diese mit zu berücksichtigen, multipliciren wir ihre beiden Seiten mit einer vorläufig noch unbestimmten constanten Grösse , ferner mit und verbinden das Resultat mit (10) durch Addition. Dadurch findet sich, dass bei Gültigkeit der Gleichung (7) die Gleichung (9) in folgende übergeht:
(11) |
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Dies gilt für jeden Werth der Constanten . Soll für ein unendlich kleines die Bedingung (8) erfüllt sein, so muss der Inbegriff dessen, was auf der rechten Seite von (11) mit multiplicirt ist, gleich Null gesetzt werden. Dazu ist nöthig und hinreichend, dass
(12) |
sei an jeder Stelle im Innern des Körpers und
(13) |
in jedem Punkte seiner Oberfläche.
Setzen wir dann
(14) |
so genügt die Function allen aufgestellten Bedingungen.
Die Constante ist von dem Werthe der Grösse abhängig, jedenfalls aber von Null verschieden. Denn angenommen, es wäre so müsste vermöge der Gleichung (13) in jedem Punkte der Oberfläche sein. Man hätte also, wenn man dies und die Gleichung (12) beachtet:
Die linke Seite dieser Gleichung geht aber durch die Transformation des §. 20 hervor aus dem Integral