Schwere, Elektricität und Magnetismus:293

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 279
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Fingirte galvanische Ströme in der Oberfläche des Magnets.

Nun kommen aber nur solche Functionen $s\,$ in Betracht, welche die Nebenbedingung (7) erfüllen. Um diese mit zu berücksichtigen, multipliciren wir ihre beiden Seiten mit einer vorläufig noch unbestimmten constanten Grösse $k\,$, ferner mit $2h\,$ und verbinden das Resultat mit (10) durch Addition. Dadurch findet sich, dass bei Gültigkeit der Gleichung (7) die Gleichung (9) in folgende übergeht:

(11)	$\Omega (v+hs)\,$

$=\Omega (v)-2h\int s\left({\frac {\partial v}{\partial n}}-kN\right)d\sigma \,$ $-2h\iiint s\left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)dx\,dy\,dz\,$ $+h^{2}\Omega (s).\,$

Dies gilt für jeden Werth der Constanten $h\,$. Soll für ein unendlich kleines $h\,$ die Bedingung (8) erfüllt sein, so muss der Inbegriff dessen, was auf der rechten Seite von (11) mit $2h\,$ multiplicirt ist, gleich Null gesetzt werden. Dazu ist nöthig und hinreichend, dass

(12)	${\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}=0$

sei an jeder Stelle im Innern des Körpers und

(13)	${\frac {\partial v}{\partial n}}=kN$

in jedem Punkte seiner Oberfläche.

 Setzen wir dann

(14)	$V=-{\frac {1}{k}}v,\,$

so genügt die Function $V\,$ allen aufgestellten Bedingungen.

 Die Constante $k\,$ ist von dem Werthe der Grösse $A\,$ abhängig, jedenfalls aber von Null verschieden. Denn angenommen, es wäre $k=0,\,$ so müsste vermöge der Gleichung (13) in jedem Punkte der Oberfläche ${\frac {\partial v}{\partial n}}=0\,$ sein. Man hätte also, wenn man dies und die Gleichung (12) beachtet:

$-\int v{\frac {\partial v}{\partial n}}d\sigma -\iiint v{\Big \lbrace }{\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}{\Big \rbrace }dx\,dy\,dz=0.$

Die linke Seite dieser Gleichung geht aber durch die Transformation des §. 20 hervor aus dem Integral