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Schwere, Elektricität und Magnetismus:292

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 278
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Sechster Abschnitt. §. 81.


keine zwei in constantem Verhältniss zu einander stehen. Diese Beschränkung wird eingeführt durch die Nebenbedingung, dass das Oberflächen-Integral


(6)


sein soll. Unter verstehen wir eine von Null verschiedene Constante, deren Grösse vorläufig unbestimmt bleiben möge.

 Bezeichnen wir eine von den unendlich vielen Functionen u \, mit v \,, so lässt jede andere sich in die Form bringen



wenn eine passend zu wählende Constante bedeutet und eine Function, die im Innern des Körpers an dieselbe Bedingung geknüpft ist wie die Functionen , mit der aus (6) hervorgehenden Nebenbedingung, dass das Oberflächen-Integral


(7)


Da die Werthe von endlich und positiv sind, so gibt es unter den Integralen (5), bei denen die Nebenbedingung (6) erfüllt ist, mindestens ein Minimum. Wir bezeichnen mit die Function, welche dieses Minimum zu Stande bringt. Dann lässt sich jede andere Function in die Form bringen



und wenn man nun unendlich klein annimmt, so lautet die Bedingung des Minimum


(8)


Das Integral lässt sich in derselben Weise entwickeln wie in §. 34. Wir erhalten


(9)


Auf der rechten Seite dieser Gleichung wollen wir den zweiten Bestandteil nach §. 20 transformiren. Es findet sich


(10)