Schwere, Elektricität und Magnetismus:291

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 277
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Fingirte galvanische Ströme in der Oberfläche des Magnets.

wenn das Integral über die Oberfläche des Körpers erstreckt wird. Um dies zu beweisen, errichten wir im Punkte $(x,\,y,\,z)$ der Oberfläche nach innen zu die Normale und bezeichnen eine von jenem Punkte aus darauf abgetragene Strecke mit $n\,$, so dass $n=-p\,$ ist für negative Werthe von $p\,$. Durch Anwendung des in §. 19 (4) entwickelten Hülfsatzes erhält man

${\begin{aligned}&\iiint \left({\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}\right)\,dx\,dy\,dz\\&=-\int \left(X{\frac {\partial x}{\partial n}}+Y{\frac {\partial y}{\partial n}}+Z{\frac {\partial z}{\partial n}}\right)\,d\sigma .\\\end{aligned}}$

Dabei ist das Integral links über den ganzen Körper, das Integral rechts über seine Oberfläche auszudehnen. Beachtet man aber die Gleichungen (4) des §. 79, so lässt sich die letzte Gleichung so schreiben:

$\iiint \left({\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}\right)\,dx\,dy\,dz\ =-\int {\frac {\partial V}{\partial n}}\,d\sigma .$

Nun ist aber vermöge der Gleichung (l) die linke Seite gleich Null. Es ist ferner

(4)	$-{\frac {\partial V}{\partial n}}=\left({\frac {\partial V}{\partial p}}\right)_{-0}=N.$

Setzt man dieses ein, so erlangt man die zu beweisende Gleichung (3).

 Es kommt nun darauf an, zu beweisen, dass es immer eine, und nur eine Function $V\,$ gibt, die den aufgestellten Bedingungen Genüge leistet. Zu dem Ende bezeichnen wir mit $u\,$ eine einwerthige Function von $x,\,y,\,z$ über die nichts weiter festgesetzt wird, als dass sie selbst und ihre ersten Derivirten im Innern des Körpers überall endlich und stetig variabel sein sollen. Solcher Functionen gibt es unendlich viele. Folglich kann auch das über den Körper ausgedehnte Integral

(5)	$\,\Omega (u)=\iiint {\Big \lbrace }\left({\frac {\partial u}{\partial x}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial y}}\right)^{2}+\left({\frac {\partial u}{\partial z}}\right)^{2}{\Big \rbrace }\,dx\,dy\,dz$

unendlich viele verschiedene Werthe annehmen. Welche Function $u\,$ man aber auch nehmen möge, immer wird der Werth von $\Omega (u)\,$ positiv und endlich ausfallen. Das Erste ergibt sich aus der Form des Integrals, das Andere folgt unmittelbar aus der Voraussetzung. Wir wollen nur solche Functionen $u\,$ in Betracht ziehen, von denen