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Schwere, Elektricität und Magnetismus:294

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 280
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Sechster Abschnitt. §. 81.



Dieses Integral müsste also den Werth Null haben, was nicht anders möglich ist, als wenn man setzt. Hieraus würde aber ohne weiteres folgen:



nach Gleichung (3), und das steht mit der Nebenbedingung (6) im Widerspruch. Demnach muss von Null verschieden sein.

 Es bleibt noch zu beweisen, dass es ausser keine andere Function gibt, welche unter der Bedingung (6) das Integral (5) zu einem Minimum macht. Angenommen, es wäre eine Function, die dies leistete, so würde sie die Bedingung erfüllen;


(15)


wenn hier die Constante unendlich nahe an 1 genommen wird. Nun ist aber nach den Gleichungen (11), (12) und (13):




Folglich lautet die Bedingung (15) jetzt:


(16)


Man darf aber die Constante welche hier unendlich nahe an 1 liegen soll, nicht bloss grösser, sondern auch kleiner als 1 nehmen, und deshalb kann die Bedingung (16) nur dadurch erfüllt werden, dass man setzt:


d. h.


Sieht man von einer willkürlichen additiven Constanten ab, so ist demnach die einzige Function, welche unter Innehaltung der Nebenbedingung (6) das Integral (5) zu einem Minimum macht.

 Endlich kann man noch den Zusammenhang zwischen und aufsuchen. Es ist schon bewiesen, dass



Das dreifache Integral links ist das Minimum . Auf der