Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 15.

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§. 15. Fortsetzung: Die Componente der Anziehung normal zur Fläche.

 Wir haben den Anfangspunkt der Coordinaten an die Stelle der anziehenden Fläche gelegt, in welche der angezogene Punkt hineinrücken soll, die Axe der positiven $x\,$ in die positive Normale, die $\,yz$Ebene in die Tangentialebene. Die Componente der Anziehung in der Richtung der positiven Normale, die wir im vorigen Paragraphen mit $P\,$ bezeichnet haben, ist fur dieses Coordinatensystem dasselbe wie $X\,$ und wird ausgedriickt durch das Integral

(1)	$X=\int \rho {\frac {a-x}{r^{3}}}d\sigma ,$

welches über die ganze anziehende Fläche zu erstrecken ist. Grenzt man nun auf der Fläche ein Gebiet ab, welches den Anfangspunkt der Coordinaten in sich enthält, und dessen Begrenzungslinie von diesem Punkte überall endlichen Abstand hat, so kann man das Integral in zwei Bestandtheile zerlegen. Für den ersten Bestandtheil wird die Integration über das abgegrenzte Gebiet erstreckt, für den zweiten Bestandtheil über die ganze Fläche ausserhalb des abgegrenzten Gebietes. Der angezogene Punkt soll auf der Axe der $x\,$ liegen, jedenfalls in endlicher Entfernung von allen Punkten des äusseren Gebietes. Danach sieht man, dass der zweite Bestandtheil des Integrals eine endliche Function ist, die sich überall stetig ändert, selbst dann noch, wenn der angezogene Punkt beim stetigen Durchlaufen der $x\,$Axe von der negativen Seite durch den Nullpunkt auf die positive Seite übergeht. Diese stetige Function soll mit $f.c.\,$ bezeichnet werden (functio continua). Das abgegrenzte Gebiet, über welches bei dem ersten Bestandtheil von $X\,$ die Integration zu erstrecken ist, werde so gewählt, dass seine Projection in der $yz\,$Ebene einen Kreis vom Radius $S\,$ einfach bedeckt, und dass innerhalb der Integrationsgrenzen der Quotient ${\frac {\rho }{\cos \alpha }}$ überall endlich und stetig variabel ist. Führen wir dann für das abgegrenzte Gebiet dieselben Coordinaten ein, wie in Gleichung (2) des vorigen Paragraphen, so ergibt sich

(2)	$X=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{S}{\frac {\rho }{\cos \alpha }}{\frac {a-x}{r^{3}}}s\,ds+f.\,c.$

Dabei ist $s^{2}=b^{2}+c^{2}\,$ und $r^{2}=\left(a-x\right)^{2}+s^{2}.$ Wir wollen zur Abkürzung ${\frac {\rho }{\cos \alpha }}=k$ setzen. Zunächst ist das Integral

(3)	$\int \limits _{0}^{S}k{\frac {a-x}{r^{3}}}s\,ds$

zu untersuchen. Wir haben

$r{\frac {\partial r}{\partial s}}=\left(a-x\right){\frac {\partial a}{\partial s}}+s,$

folglich

${\frac {s}{r^{3}}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}-{\frac {a-x}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}=-{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s}}-{\frac {a-x}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}.$

Multiplicirt man hier auf beiden Seiten mit $\left(a-x\right)k\,ds$ und integrirt, so findet sich

$\int {\frac {a-x}{r^{3}}}\,k\,s\,ds=-\int \left(a-x\right)k\,{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s}}\,ds-\int {\frac {\left(a-x\right)^{2}}{r^{3}}}\,k\,{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds.$

Den ersten Bestandtheil der rechten Seite transformiren wir durch Integration nach Theilen:

${\begin{aligned}-\int \left(a-x\right)k{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s}}ds=&-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}\\&+\int {\frac {1}{r}}\left\lbrace \left(a-x\right){\frac {\partial k}{\partial s}}+k{\frac {\partial a}{\partial s}}\right\rbrace ds.\\\end{aligned}}$

Demnach ist

${\begin{aligned}\int {\frac {a-x}{r^{3}}}k\,s\,ds=&-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}+\int {\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds\\&+\int k{\frac {\partial a}{\partial s}}{\frac {r^{2}-\left(a-x\right)^{2}}{r^{3}}}ds,\\\end{aligned}}$

d. h. kürzer

${\begin{aligned}\int {\frac {a-x}{r^{3}}}k\,s\,ds=&-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}+\int {\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds\\&+\int k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds.\\\end{aligned}}$

Handelt es sich um die bestimmte Integration zwischen den Grenzen $0\,$ und $S\,$, so hat man den Werth von $-{\frac {\left(a-x\right)k}{r}}$ an diesen Grenzen zu ermitteln. Für $s=0\,$ ist $\cos \alpha =1\,$, folglich $k=\rho _{0}\,.$ Ferner ist für $s=0\,$ auch $a=0\,$ und deshalb:

$\left[-{\frac {a-x}{r}}\right]_{0}=-{\frac {-x}{\sqrt {\left(-x\right)^{2}}}}={\begin{cases}+1,&{\rm {{f{\ddot {u}}r}\;x>0,}}\\-1,&{\rm {{f{\ddot {u}}r}\;x<0.}}\end{cases}}$

 Nehmen wir $x=0\,$, so ist

${\frac {a-x}{r}}={\frac {a}{\sqrt {a^{2}+s^{2}}}}={\frac {\frac {a}{s}}{\sqrt {1+{\frac {a^{2}}{s^{2}}}}}}.$

Es fragt sich also, was aus ${\frac {a}{s}}$ wird für $s=0\,$. Wir legen eine Ebene, welche die Axe der $x\,$ in sich enthält und mit der Axe

der positiven $y\,$ den Winkel $\varphi \,$ einschliesst. Diese Ebene schneidet die $yz\,$Ebene in der geraden Linie, auf welcher $s\,$ gezählt wird.

Fig. 9.

Da nun die $\,yz$Ebene die anziehende Fläche berührt, so ist (Fig. 9) die Axe der $s\,$ im Anfangspunkte der Coordinaten Tangente an der Curve, in welcher die Fläche von der Hülfsebene geschnitten wird, und es findet sich

$\lim {\frac {a}{s}}={\frac {\partial a}{\partial s}}=0\,$ für $s=0.\,$

Folglich lautet das Ergebnis

$\left[-{\frac {a-x}{r}}k\right]_{s=0}={\begin{cases}\;\,\rho _{0}&f{\ddot {u}}r\;x>0,\\\;0&f{\ddot {u}}r\;x=0,\\-\rho _{0}&f{\ddot {u}}r\;x<0.\end{cases}}$

An der oberen Grenze $S\,$ sei $k=K,\ r=R,\ a=A\,$. Die Grössen $K,\,R$ und $A\,$ sind endliche und stetige Functionem von $\varphi \,$. Man findet also

(4)	${\begin{aligned}\int \limits _{0}^{S}{\frac {a-x}{r^{3}}}k\,s\,ds=C&-{\frac {A-x}{R}}K\\&+\int \limits _{0}^{S}{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds+\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds,\\\end{aligned}}$

und die Constante $C\,$ hat den Werth $-\rho _{0}\,$ oder $+\rho _{0}\,$ oder $0\,$, je nachdem $x\,$ positiv oder negativ oder Null ist. Die Function ${\frac {A-x}{R}}K$ hat immer einen endlichen Werth, der sich nur unendlich wenig ändert, wenn $x\,$ von unendlich kleinen negativen durch Null zu unendlich kleinen positiven Werthen übergeht.

 Es bleibt noch übrig, die beiden Integrale auf der rechten Seite der Gleichung (4) zu untersuchen. Wir zerlegen das Intervall von $0\,$ bis $S\,$ in zwei, nemlich von $0\,$ bis zu einer beliebig kleinen Grösse $\nu \,$ und von $\nu \,$ bis $S\,$. Die Grösse $\nu \,$ soll so klein gewählt werden, dass ${\frac {\partial k}{\partial s}}$ zwischen $s=0\,$ und $s=\nu \,$ sein Vorzeichen nicht ändert. Da ${\frac {a-x}{r}}$ ein echter Bruch ist, auch für $x=0\,$, so ist der absolute Werth des Integrals

$\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$

jedenfalls kleiner als der absolute Werth von

$\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {\partial k}{\partial s}}ds,$

d. h. kleiner als der absolute Werth der Differenz $k_{\nu }-k_{0}\,$. Nun ist aber $k\,$ stetig variabel, folglich kann diese Differenz durch unendliches Abnehmen von $\nu \,$ kleiner gemacht werden als irgend eine angebbare Zahl. Um so mehr wird

(5)	$\int \limits _{0}^{\nu }{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$

beim unendlichen Abnehmen von $\nu \,$ unter jeden angebbaren Werth herabsinken.

 Das Integral

(6)	$\int \limits _{\nu }^{S}{\frac {a-x}{r}}{\frac {\partial k}{\partial s}}ds$

hat einen endlichen Werth, der mit $x\,$ sich stetig ändert, auch für $x=0\,$ und für unendlich kleine positive oder negative $x\,$. Denn eine Aenderung von $x\,$ bewirkt unter dem Integralzeichen nur eine Aenderung des Factors ${\frac {a-x}{r}}$. So lange $s\,$ einen endlichen Werth hat, nimmt dieser Factor Werthe an, die sich nur unendlich wenig unterscheiden, man möge $x=0\,$ oder unendlich klein $=\pm \varepsilon \,$ nehmen. Bei unendlich abnehmendem $s\,$ hat man aber

$\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {{\frac {a}{s}}-{\frac {x}{s}}}{\sqrt {1+\left({\frac {a-x}{s}}\right)^{2}}}},$

d. h. da $\lim {\frac {a}{s}}=0$ ist:

$\lim {\frac {a-x}{r}}=\lim {\frac {-{\frac {x}{s}}}{\sqrt {1+{\frac {x^{2}}{s^{2}}}}}}.$

Man kann aber bei eimem gegebenen unendlich kleinen $\varepsilon \,$ das unendlich kleine $\nu \,$ so wählen, dass $\lim {\frac {\varepsilon }{\nu }}=0$ ist. Innerhalb der Integrationsgrenzen $\nu \,$ und $S\,$ ist demnach für ein unendlich kleines $s\,$

$\lim {\frac {a-x}{r}}=0,$

gleichgültig, ob $x=0\,$ oder $=\pm \varepsilon \,$ ist. Damit ist die eben behauptete Eigenschaft des Integrals (6) bewiesen auch für ein unendlich abnehmendes $\nu \,$. Wir gehen über zu dem Integral

(7)	$\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds.$

Da ${\frac {\partial a}{\partial s}}=0$ ist für $s=0\,$, so kann man im allgemeinen setzen

${\frac {\partial a}{\partial s}}=\mu s^{\lambda },$

wobei $\lambda \,$ eine positive Constante und $\mu \,$ eine Function von $s\,$ und $\varphi \,$ bedeutet, die innerhalb der Integrationsgrenzen überall von Null verschieden, endlich und stetig variabel ist. Daher findet sich

$\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds=\int \limits _{0}^{\nu }\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}s^{\lambda -1}ds.$

${\frac {s}{r}}$ ist ein echter Bruch, der sich für $x=0\,$ und $\lim s=0\,$ dem Grenzwerthe $+1\,$ annähert. Also ist $\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen endlich. Der grösste Werth dieser Function sei $M\,$.

 Dann haben wir

$M{\frac {\nu ^{\lambda }}{\lambda }}>\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds,$

und man sieht, dass durch unaufhörliches Abnehmen von $\nu \,$ der Werth des Integrals (7) unter jede angebbare Zahl herabsinkt. Der Werth dieses Integrals ist demnach für ein unendlich kleines $\nu \,$ davon unabhängig, ob $x=0\,$ oder gleich $=\pm \varepsilon$ genommen wird.

 Das Integral

(8)	$\int \limits _{\nu }^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds$

hat für ein endliches $\nu \,$ einen bestimmten, endlichen Werth, der sich nur unendlich wenig ändert, wenn $x\,$ von unendlich kleinen negativen Werthen durch Null zu unendlich kleinen positiven Werthen übergeht. Lässt man aber die untere Grenze $\nu \,$ unendlich klein werden, so kommen zu dem Integral nur solche Beiträge hinzu, deren Inbegriff selbst unendlich klein ist, und die deshalb auch bei einer Aenderung von $x\,$ einen wesentlichen Einfluss nicht ausüben.

 Nach diesen Erörterungen kann man nun in Gleichung (4) auf beiden Seiten mit $d\psi \,$ multipliciren und hierauf in Beziehung auf $\psi \,$ von $0\,$ bis $2\pi \,$ integriren. Die rechte Seite gibt dann den Werth von $X\,$. Auf diese Weise bestätigt sich der Satz des vorigen Paragraphen über die sprungweise eintretende Aenderung der zur Fläche normalen Componente der Anziehung.

 Es muss noch erwähnt werden, dass in einem Ausnahmefalle das Integral

$\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds\,$

keinen endlichen Werth behält, nemlich wenn für $s=0\,$ der Differentialquotient ${\frac {\partial a}{\partial s}}=0$ wird wie ${\frac {1}{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}}$. Setzt man

${\frac {\partial a}{\partial s}}={\frac {\mu }{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}},$

so ist

$\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds=-\int \limits _{0}^{S}\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}\cdot {\frac {d\,\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}}.$

Daraus folgt, dass das unbestimmte Integral eine Function von $s\,$ ist, die für $s=0\,$ unendlich gross wird wie $\lg \lg \left({\frac {1}{s}}\right)$. Das bestimmte Integral hat also keinen angebbaren Werth. Dieser Ausnahmefall darf aber ohne Nachtheil von der Untersuchung ganz ausgeschlossen werden.*)^[1]

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1. *) Gauss. Allgemeine Lehrsätze etc. Art. 15. 16.