Schwere, Elektricität und Magnetismus:070

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 15.

Man kann aber bei eimem gegebenen unendlich kleinen $\varepsilon \,$ das unendlich kleine $\nu \,$ so wählen, dass $\lim {\frac {\varepsilon }{\nu }}=0$ ist. Innerhalb der Integrationsgrenzen $\nu \,$ und $S\,$ ist demnach für ein unendlich kleines $s\,$

$\lim {\frac {a-x}{r}}=0,$

gleichgültig, ob $x=0\,$ oder $=\pm \varepsilon \,$ ist. Damit ist die eben behauptete Eigenschaft des Integrals (6) bewiesen auch für ein unendlich abnehmendes $\nu \,$. Wir gehen über zu dem Integral

(7)	$\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds.$

Da ${\frac {\partial a}{\partial s}}=0$ ist für $s=0\,$, so kann man im allgemeinen setzen

${\frac {\partial a}{\partial s}}=\mu s^{\lambda },$

wobei $\lambda \,$ eine positive Constante und $\mu \,$ eine Function von $s\,$ und $\varphi \,$ bedeutet, die innerhalb der Integrationsgrenzen überall von Null verschieden, endlich und stetig variabel ist. Daher findet sich

$\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds=\int \limits _{0}^{\nu }\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}s^{\lambda -1}ds.$

${\frac {s}{r}}$ ist ein echter Bruch, der sich für $x=0\,$ und $\lim s=0\,$ dem Grenzwerthe $+1\,$ annähert. Also ist $\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}$ innerhalb der Integrationsgrenzen endlich. Der grösste Werth dieser Function sei $M\,$.

 Dann haben wir

$M{\frac {\nu ^{\lambda }}{\lambda }}>\int \limits _{0}^{\nu }k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds,$

und man sieht, dass durch unaufhörliches Abnehmen von $\nu \,$ der Werth des Integrals (7) unter jede angebbare Zahl herabsinkt. Der Werth dieses Integrals ist demnach für ein unendlich kleines $\nu \,$ davon unabhängig, ob $x=0\,$ oder gleich $=\pm \varepsilon$ genommen wird.

 Das Integral

(8)	$\int \limits _{\nu }^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds$

hat für ein endliches $\nu \,$ einen bestimmten, endlichen Werth, der