Schwere, Elektricität und Magnetismus:066

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Erster Abschnitt. §. 15.

welches über die ganze anziehende Fläche zu erstrecken ist. Grenzt man nun auf der Fläche ein Gebiet ab, welches den Anfangspunkt der Coordinaten in sich enthält, und dessen Begrenzungslinie von diesem Punkte überall endlichen Abstand hat, so kann man das Integral in zwei Bestandtheile zerlegen. Für den ersten Bestandtheil wird die Integration über das abgegrenzte Gebiet erstreckt, für den zweiten Bestandtheil über die ganze Fläche ausserhalb des abgegrenzten Gebietes. Der angezogene Punkt soll auf der Axe der $x\,$ liegen, jedenfalls in endlicher Entfernung von allen Punkten des äusseren Gebietes. Danach sieht man, dass der zweite Bestandtheil des Integrals eine endliche Function ist, die sich überall stetig ändert, selbst dann noch, wenn der angezogene Punkt beim stetigen Durchlaufen der $x\,$Axe von der negativen Seite durch den Nullpunkt auf die positive Seite übergeht. Diese stetige Function soll mit $f.c.\,$ bezeichnet werden (functio continua). Das abgegrenzte Gebiet, über welches bei dem ersten Bestandtheil von $X\,$ die Integration zu erstrecken ist, werde so gewählt, dass seine Projection in der $yz\,$Ebene einen Kreis vom Radius $S\,$ einfach bedeckt, und dass innerhalb der Integrationsgrenzen der Quotient ${\frac {\rho }{\cos \alpha }}$ überall endlich und stetig variabel ist. Führen wir dann für das abgegrenzte Gebiet dieselben Coordinaten ein, wie in Gleichung (2) des vorigen Paragraphen, so ergibt sich

(2)	$X=\int \limits _{0}^{2\pi }d\varphi \int \limits _{0}^{S}{\frac {\rho }{\cos \alpha }}{\frac {a-x}{r^{3}}}s\,ds+f.\,c.$

Dabei ist $s^{2}=b^{2}+c^{2}\,$ und $r^{2}=\left(a-x\right)^{2}+s^{2}.$ Wir wollen zur Abkürzung ${\frac {\rho }{\cos \alpha }}=k$ setzen. Zunächst ist das Integral

(3)	$\int \limits _{0}^{S}k{\frac {a-x}{r^{3}}}s\,ds$

zu untersuchen. Wir haben

$r{\frac {\partial r}{\partial s}}=\left(a-x\right){\frac {\partial a}{\partial s}}+s,$

folglich

${\frac {s}{r^{3}}}={\frac {1}{r^{2}}}{\frac {\partial r}{\partial s}}-{\frac {a-x}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}=-{\frac {\partial \left({\frac {1}{r}}\right)}{\partial s}}-{\frac {a-x}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}.$