Schwere, Elektricität und Magnetismus:071

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 57
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Die Masse ist über eine Fläche ausgebreitet.

sich nur unendlich wenig ändert, wenn $x\,$ von unendlich kleinen negativen Werthen durch Null zu unendlich kleinen positiven Werthen übergeht. Lässt man aber die untere Grenze $\nu \,$ unendlich klein werden, so kommen zu dem Integral nur solche Beiträge hinzu, deren Inbegriff selbst unendlich klein ist, und die deshalb auch bei einer Aenderung von $x\,$ einen wesentlichen Einfluss nicht ausüben.

 Nach diesen Erörterungen kann man nun in Gleichung (4) auf beiden Seiten mit $d\psi \,$ multipliciren und hierauf in Beziehung auf $\psi \,$ von $0\,$ bis $2\pi \,$ integriren. Die rechte Seite gibt dann den Werth von $X\,$. Auf diese Weise bestätigt sich der Satz des vorigen Paragraphen über die sprungweise eintretende Aenderung der zur Fläche normalen Componente der Anziehung.

 Es muss noch erwähnt werden, dass in einem Ausnahmefalle das Integral

$\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}ds\,$

keinen endlichen Werth behält, nemlich wenn für $s=0\,$ der Differentialquotient ${\frac {\partial a}{\partial s}}=0$ wird wie ${\frac {1}{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}}$. Setzt man

${\frac {\partial a}{\partial s}}={\frac {\mu }{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}},$

so ist

$\int \limits _{0}^{S}k{\frac {s^{2}}{r^{3}}}{\frac {\partial a}{\partial s}}\,ds=-\int \limits _{0}^{S}\mu k{\frac {s^{3}}{r^{3}}}\cdot {\frac {d\,\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}{\lg \left({\frac {1}{s}}\right)}}.$

Daraus folgt, dass das unbestimmte Integral eine Function von $s\,$ ist, die für $s=0\,$ unendlich gross wird wie $\lg \lg \left({\frac {1}{s}}\right)$. Das bestimmte Integral hat also keinen angebbaren Werth. Dieser Ausnahmefall darf aber ohne Nachtheil von der Untersuchung ganz ausgeschlossen werden.*)^[1]

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1. *) Gauss. Allgemeine Lehrsätze etc. Art. 15. 16.