Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 79.

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§. 79. Aufgabe aus der Theorie des Erdmagnetismus.

 Wir gehen zu der Behandlung einer Aufgabe über, die in der Theorie des Erdmagnetismus von Wichtigkeit ist.

 Im Innern eines einfach zusammenhangenden Körpers sind magnetische Massen vorhanden, deren Vertheilung man nicht kennt. Es sollen aber für jeden Punkt im äusseren Räume die Componenten $X,\,Y,\,Z\,$ der von jenen Massen ausgeübten magnetischen Kraft bekannt sein. Diese Componenten sind die partiellen Derivirten einer Potentialfunction $V\!$, die bis auf eine additive Constante für jeden Punkt des äusseren Raumes eindeutig bestimmt ist. Der Werth der additiven Constanten ergibt sich aus der Bedingung, dass in unendlicher Entfernung die Function $V\,$ den Werth Null hat.

 Im äusseren Räume ist die Function $V\,$ nebst ihren sämmtlichen Derivirten überall endlich und stetig variabel, und sie genügt an jeder Stelle des äusseren Raumes der partiellen Differentialgleichung

(1)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

Nun lässt sich die Function $V\,$ in unendlich mannichfaltiger Weise ins Innere des gegebenen Körpers stetig fortsetzen, d. h. so, dass sie im Innern endlich und stetig variabel ist, und dass sie in jedem Punkte der Oberfläche den dort gegebenen Werth annimmt. Jede solche Fortsetzung liefert dann für einen inneren Punkt im allgemeinen einen anderen Werth der Summe

(1)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}.\,$

Diese Summe, durch $4\pi \,$ dividirt, gibt aber die magnetische Dichtigkeit in dem betreffenden Punkte an. Es gibt also, wie man sieht, unendlich viele Vertheilungen magnetischer Massen im Innern des Körpers, so beschaffen, dass sie die im ganzen äusseren Räume vorgeschriebenen magnetischen Wirkungen zu Stande bringen.

 Nun kann man aber den Fall besonders ins Auge fassen, dass im ganzen inneren, wie im äusseren Räume keine magnetischen Massen und keine galvanischen Ströme vorhanden sind. Es entstehen dabei zwei Fragen, nemlich:

 1) Können die im äusseren Räume vorgeschriebenen magnetischen Wirkungen dadurchhervorgebrachtwerden, dassin der Oberflächedes Körpers keinegalvanischen Ströme, sondern nur magnetische Massen vertheilt sind?

 2) Können jene Wirkungen dadurch zu Stande kommen, dass in der Oberfläche des Körpers keine magnetischen Massen, sondern nur galvanische Ströme auftreten?

 Jede dieser beiden Fragen ist besonders zu behandeln. Es wird sich finden, dass in dem einen wie in dem anderen Falle eine einzige bestimmte Vertheilung des Magnetismus, resp. der Ströme das Verlangte leistet.

 Zunächst sind die Bedingungsgleichungen aufzustellen, in denen sich ausspricht, dass im Innern des Körpers keine magnetischen Massen und keine galvanischen Ströme vorhanden sind. Dazu wird erfordert, dass im Innern des Körpers an jeder Stelle

(2)	${\frac {\partial X}{\partial x}}+{\frac {\partial Y}{\partial y}}+{\frac {\partial Z}{\partial z}}=0$

sei, und dass ebenfalls im Innern an jeder Stelle die drei Gleichungen erfüllt seien:

(3)	${\frac {\partial Y}{\partial z}}-{\frac {\partial Z}{\partial y}}=0,$ ${\frac {\partial Z}{\partial x}}-{\frac {\partial X}{\partial z}}=0,$ ${\frac {\partial X}{\partial y}}-{\frac {\partial Y}{\partial x}}=0.$

 In Folge dieser Gleichungen (2) und (3) sind $X,Y,Z\,$ im Innern des Körpers die partiellen Derivirten einer Function $V\,$, nemlich:

(4)	$X={\frac {\partial V}{\partial x}},\quad Y={\frac {\partial Y}{\partial y}},\quad Z={\frac {\partial V}{\partial z}},$

und diese Function $V\,$ genügt im Innern des Körpers der partiellen Differentialgleichung (1).

 Wir bezeichnen mit $S\,$ die Oberfläche des Körpers. In einem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ derselben werde die Normale nach aussen und nach innen gezogen, und eine auf derselben abgetragene Strecke $p\,$ nach aussen positiv, nach innen negativ gerechnet. Durch $p=+0,\,$ resp. $p=-0\,$ soll ausgedrückt werden, dass es sich um einen Punkt auf der Normale handelt, welcher ausserhalb, resp. innerhalb des Körpers unendlich nahe an der Oberfläche liegt. Die Werthe der Function $V\,$ und ihrer ersten Derivirten in einem solchen Punkte mögen durch den angehängten Index $+0\,$ resp. $-0\,$ bezeichnet werden. Es ist zu bemerken, dass $V_{+0}\,$ und $\left({\frac {\partial V}{\partial p}}_{+0}\right)\,$ für jeden Punkt der Oberfläche $S\,$ bekannt sind.

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