Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 78.

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§. 78. Fortsetzung: Andere Lösung der Aufgabe.

 Die Aufgabe des vorigen Paragraphen lässt sich auch noch auf einem anderen Wege lösen. Wir setzen

(1)	$X={\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{3}}{\partial y}},\,$ $Y={\frac {\partial u_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial u_{1}}{\partial z}},\,$ $Z={\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial u_{2}}{\partial x}}.\,$

Diese Ausdrücke sind so beschaffen, dass sie die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen von selbst erfüllen. Die Gleichungen (1), (2), (3) des vorigen Paragraphen geben jetzt:

(2)

${\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial z^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial z\partial x}}=4\pi i_{1},$ ${\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial z\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial x\partial y}}=4\pi i_{2},$ ${\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial x\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y\partial z}}=4\pi i_{3}.$

Durch diese partiellen Differentialgleichungen sind die Functionen $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ noch nicht völlig bestimmt. Denn angenommen, man habe eine Lösung $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ gefunden, so bezeichne man mit $F(x,\,y,\,z)$ irgend eine Function von $x,\,y,\,z$, die mit ihren Derivirten endlich und stetig variabel ist. Dann genügen auch die Functionen

$u_{1}+{\frac {\partial F}{\partial x}},\quad u_{2}+{\frac {\partial F}{\partial y}},\quad u_{3}+{\frac {\partial F}{\partial z}}$

den partiellen Differentialgleichungen (2) und geben vermöge der Gleichungen (1) für $X,\,Y,\,Z$ dasselbe wie die Lösung $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$. Und umgekehrt, wenn man ausser der Lösung $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ noch eine andere Lösung $U_{1},\,U_{2},\,U_{3}$ gefunden hat, so sind die Differenzen

$U_{1}-u_{1}\,$ $U_{2}-u_{2}\,$ $U_{3}-u_{3}\,$

die partiellen Derivirten einer und derselben Function $F(x,\,y,\,z)$, resp. nach $x\!$, nach $y\!$, nach $z\!$ genommen. Denn aus den Gleichungen (2) ergibt sich für diese Differenzen:

${\begin{aligned}&{\frac {\partial }{\partial y}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial y}}-{\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial x}}\,\right\}\\=&{\frac {\partial }{\partial z}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial x}}-{\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial z}}\,\right\},\\\,\\&{\frac {\partial }{\partial z}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial z}}-{\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial y}}\,\right\}\\=&{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial y}}-{\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial x}}\,\right\},\\\,\\&{\frac {\partial }{\partial x}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial x}}-{\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial z}}\,\right\}\\=&{\frac {\partial }{\partial y}}\,\left\{{\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial z}}-{\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial y}}\,\right\}.\\\end{aligned}}$

 Diese partiellen Differentialgleichungen sind erfüllt, wenn man setzt:

${\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial y}}={\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial x}},\,$ ${\frac {\partial (U_{2}-u_{2})}{\partial z}}={\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial y}},\,$ ${\frac {\partial (U_{3}-u_{3})}{\partial x}}={\frac {\partial (U_{1}-u_{1})}{\partial z}}.\,$

Darin spricht sich aber aus, dass die Differenzen $U_{1}-u_{1},\,U_{2}-u_{2},\,U_{3}-u_{3}$ die resp. nach $x,\,y,\,z$ genommenen Derivirten einer und derselben Function $F(x,\,y,\,z)$ sind.

 Um nun die Functionen $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ völlig zu bestimmen, darf man noch eine Gleichung hinzufügen. Wir wählen die Gleichung:

(3)	${\frac {\partial u_{1}}{\partial x}}+{\frac {\partial u_{2}}{\partial y}}+{\frac {\partial u_{3}}{\partial z}}=0.\,$

 Durch sie gehen die Gleichungen (2) in folgende über:

(4)

${\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial z^{2}}}=4\pi i_{1},$ ${\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial z^{2}}}=4\pi i_{2},$ ${\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial z^{2}}}=4\pi i_{3}.$

 Diesen partiellen Differentialgleichungen genügen die Lösungen:

(5)	$u'_{1}=-\int {\frac {i_{1}\,dT}{r}},\,$ $u'_{2}=-\int {\frac {i_{2}\,dT}{r}},\,$ $u'_{3}=-\int {\frac {i_{3}\,dT}{r}}.\,$

Hier bedeuten $i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\,$ die spezifischen Stromintensitäten im Punkte $(x,\,y,\,z)$, es ist $dT\,$ das an diesen Punkt anstossende Raumelement und $r\,$ die Entfernung desselben Punktes von dem Punkte $(x',\,y',\,z')$. Mit $u'_{1},\,u'_{2},\,u'_{3}$ sind die Werthe von $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ in dem letztgenannten Punkte bezeichnet. Die Integrationen hat man über alle von Strömen durchflossenen Leiter auszudehnen.

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