Schwere, Elektricität und Magnetismus:287

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 273
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Aufgabe aus der Theorie des Erdmagnetismus.

 Diesen partiellen Differentialgleichungen genügen die Lösungen:

(5)	$u'_{1}=-\int {\frac {i_{1}\,dT}{r}},\,$ $u'_{2}=-\int {\frac {i_{2}\,dT}{r}},\,$ $u'_{3}=-\int {\frac {i_{3}\,dT}{r}}.\,$

Hier bedeuten $i_{1},\,i_{2},\,i_{3}\,$ die spezifischen Stromintensitäten im Punkte $(x,\,y,\,z)$, es ist $dT\,$ das an diesen Punkt anstossende Raumelement und $r\,$ die Entfernung desselben Punktes von dem Punkte $(x',\,y',\,z')$. Mit $u'_{1},\,u'_{2},\,u'_{3}$ sind die Werthe von $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ in dem letztgenannten Punkte bezeichnet. Die Integrationen hat man über alle von Strömen durchflossenen Leiter auszudehnen.

§. 79. Aufgabe aus der Theorie des Erdmagnetismus.

 Wir gehen zu der Behandlung einer Aufgabe über, die in der Theorie des Erdmagnetismus von Wichtigkeit ist.

 Im Innern eines einfach zusammenhangenden Körpers sind magnetische Massen vorhanden, deren Vertheilung man nicht kennt. Es sollen aber für jeden Punkt im äusseren Räume die Componenten $X,\,Y,\,Z\,$ der von jenen Massen ausgeübten magnetischen Kraft bekannt sein. Diese Componenten sind die partiellen Derivirten einer Potentialfunction $V\!$, die bis auf eine additive Constante für jeden Punkt des äusseren Raumes eindeutig bestimmt ist. Der Werth der additiven Constanten ergibt sich aus der Bedingung, dass in unendlicher Entfernung die Function $V\,$ den Werth Null hat.

 Im äusseren Räume ist die Function $V\,$ nebst ihren sämmtlichen Derivirten überall endlich und stetig variabel, und sie genügt an jeder Stelle des äusseren Raumes der partiellen Differentialgleichung

(1)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0.$

Nun lässt sich die Function $V\,$ in unendlich mannichfaltiger Weise ins Innere des gegebenen Körpers stetig fortsetzen, d. h. so, dass sie im Innern endlich und stetig variabel ist, und dass sie in jedem Punkte der Oberfläche den dort gegebenen Werth annimmt. Jede