Schwere, Elektricität und Magnetismus:289

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 275
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Aufgabe aus der Theorie des Erdmagnetismus.

 In Folge dieser Gleichungen (2) und (3) sind $X,Y,Z\,$ im Innern des Körpers die partiellen Derivirten einer Function $V\,$, nemlich:

(4)	$X={\frac {\partial V}{\partial x}},\quad Y={\frac {\partial Y}{\partial y}},\quad Z={\frac {\partial V}{\partial z}},$

und diese Function $V\,$ genügt im Innern des Körpers der partiellen Differentialgleichung (1).

 Wir bezeichnen mit $S\,$ die Oberfläche des Körpers. In einem Punkte $(x,\,y,\,z)\,$ derselben werde die Normale nach aussen und nach innen gezogen, und eine auf derselben abgetragene Strecke $p\,$ nach aussen positiv, nach innen negativ gerechnet. Durch $p=+0,\,$ resp. $p=-0\,$ soll ausgedrückt werden, dass es sich um einen Punkt auf der Normale handelt, welcher ausserhalb, resp. innerhalb des Körpers unendlich nahe an der Oberfläche liegt. Die Werthe der Function $V\,$ und ihrer ersten Derivirten in einem solchen Punkte mögen durch den angehängten Index $+0\,$ resp. $-0\,$ bezeichnet werden. Es ist zu bemerken, dass $V_{+0}\,$ und $\left({\frac {\partial V}{\partial p}}_{+0}\right)\,$ für jeden Punkt der Oberfläche $S\,$ bekannt sind.

§. 80. Fortsetzung: Fingirte Vertheilung magnetischer Massen in der Oberfläche des Magnets.

 Zunächst sollen die im äusseren Räume gegebenen magnetischen Wirkungen dadurch hervorgebracht werden, dass magnetische Massen nur in der Oberfläche des Körpers vertheilt sind, und keine galvanischen Ströme auftreten.

 Dies Problem lässt sich folgendermaassen formuliren:

 Die Function $V\,$ ist für jeden Punkt im äusseren Räume gegeben. Sie ist daselbst mit allen ihren Derivirten überall endlich und stetig variabel und genügt der partiellen Differentialgleichung (1) des vorigen Paragraphen. Die Function $V\,$ soll für das Innere des Körpers so bestimmt werden, dass sie darin der partiellen Differentialgleichung

(1)	${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}=0\,$

Genüge leiste, dass sie nebst ihren Derivirten im Innern endlich und stetig variabel sei, und dass an jeder Stelle der Oberfläche