Mathematische Principien der Naturlehre/Buch3-I

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Mathematische Principien der Naturlehre (1872) von Isaac Newton, übersetzt von Jakob Philipp Wolfers
Buch III. Abschnitt I.

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ABSCHNITT I.

Von den Ursachen des Weltsystems.

§. 1. Lehrsatz. Die Kräfte, durch welche die Trabanten des Jupiters beständig von der geradlinigen Bewegung abgezogen, und in ihren Bahnen erhalten werden, sind nach dem Mittelpunkte des Jupiters gerichtet und den Quadraten ihrer Abstände von demselben Punkte umgekehrt proportional.

Der erste Theil dieses Satzes ergiebt sich aus der 1. Erscheinung und aus §. 14. oder §. 16. des ersten Buches, und der folgende Theil aus derselben Erscheinung und §. 18. jenes Buches.

Dasselbe erklärt sich von den Trabanten des Saturns durch die 2. Erscheinung.

§ 2. Lehrsatz. Die Kräfte, durch welche die Planeten beständig von der geradlinigen Bewegung abgezogen, und in ihren Bahnen erhalten werden, sind nach der Sonne gerichtet und den Quadraten ihrer Abstände von derselben umgekehrt proportional.

Der erste Theil dieses Satzes ergiebt sich aus der 5. Erscheinung und §. 14. des ersten Buches, der folgende aus der 4. Erscheinung und §. 18. jenes Buches. Am entschiedensten wird aber dieser Theil des Satzes durch die Ruhe der Apsiden erwiesen. Die kleinste Abweichung vom doppelten Verhältniss würde nämlich (nach §. 85., Zusatz 1. des ersten Buches) eine bei den einzelnen Umläufen bemerkbare, bei mehreren aber sehr beträchtliche, Bewegung der Apsiden hervorbringen.

§. 3. Lehrsatz. Die Kraft, welche den Mond in seiner Bahn erhält, ist nach der Erde gerichtet und dem Quadrat des Abstandes seiner Oerter vom Centrum der Erde umgekehrt proportional.

Der erste Theil der Behauptung ist durch die 6. Erscheinung und den §. 14. oder §. 16. des ersten Buches klar, der folgende Theil wird durch die sehr langsame Bewegung des Mond-Apogeums erwiesen. Jene Bewegung nämlich, welche in den einzelnen Umläufen 3° 3′ rechtläufig beträgt, kann vernachlässigt werden. Es erhellt aus §. 106., Zusatz 1. des ersten Buches, dass, wenn der Abstand des Mondes vom Erdcentrum sich zum Halbmesser der letzteren wie D : 1 verhält, alsdann die Kraft, aus welcher eine solche Bewegung entspringt, proportional sei $\scriptstyle {\frac {1}{D^{2}+{\frac {4}{243}}}}$ d. h. dass sie umgekehrt in einem etwas grösseren Verhältniss als dem doppelten stehe, welches Verhältniss jedoch 59¾ mal dem doppelten näher als dem dreifachen liegt.^[1]

Dieser Zuwachs entspringt aber, wie später gezeigt werden wird, aus der Wirksamkeit der Sonne und ist daher hier zu vernachlässigen. Die Wirkung der Sonne, so weit sie den Mond von der Erde abzieht, ist sehr nahe dem Abstande der beiden letzteren von einander proportional, und verhält sich daher (nach §. 106., Zusatz 2. des ersten Buches) zur Centripetalkraft des Mondes ungefähr wie 2 : 357,45 = 1 : 178,725.

Vernachlässigt man diese sehr kleine Kraft, so verhält sich die übrige Kraft, durch welche der Mond in seiner Bahn erhalten wird, umgekehrt wie D². Dies wird sich auch noch vollständiger zeigen, wenn man diese Kraft mit der Kraft der Schwere vergleicht, was im folgenden Paragraphen geschehen wird.

Zusatz. Wird die mittlere Centripetalkraft, welche den Mond in seiner Bahn erhält, erst im Verhältniss 177,725 : 178,725; hierauf auch im doppelten Verhältniss des Halbmessers der Erde zum mittleren Abstande des Mondmittelpunktes vom Centrum der Erde vergrössert: so erhält man die Centripetalkraft des Mondes an der Oberfläche der Erde, vorausgesetzt, dass jene Kraft bei der Annäherung zur Oberfläche der Erde stets im umgekehrten doppelten Verhältniss der Entfernung wachse.

§. 4. Lehrsatz. Der Mond ist gegen die Erde schwer, er wird durch die Schwere von der geradlinigen Bewegung abgezogen und in seiner Bahn erhalten.

Die mittlere Entfernung des Mondes von der Erde in den Syzygien ist nach Ptolemäus und den meisten Astronomen = 59, nach Vendelinus und Huygens = 60, nach Copernicus = 60⅓, nach Streetus = 602/5 und nach Tycho = 56½ Erdhalbmesser. Tycho aber und alle diejenigen, welche seine Refractionstafeln benutzen, haben die Refraction der Sonne und des Mondes (ganz der Natur des Lichtes zuwider) grösser als diejenige der Fixsterne angenommen, und zwar um 4 bis 5 Minuten, und um eben so viel die Parallaxe des Mondes vergrössert, d. h. um 1/12 oder 1/15 der ganzen Parallaxe. Verbessert man diesen Fehler, so wird die Entfernung = 60½ Erdhalbmessern, wie die anderen sie angeben. Wir wollen die mittlere Entfernung in den Syzygien = 60 Halbmessern annehmen und die siderische Umlaufszeit des Mondes = 27^d 7^h 43^m setzen, wie die Astronomen sie feststellen. Wenn wir ferner den Umfang der Erde nach den Messungen der Franzosen = 123249600 Pariser Fuss annehmen und uns denken, der Mond werde aller Bewegung beraubt und losgelassen, um vermöge der ganzen Kraft, durch welche er (nach §. 3., Zusatz) in seiner Bahn erhalten wird, zur Erde herabzusteigen; so wird er in einer Minute einen Weg von 151/12 Pariser Fuss zurücklegen. Man schliesst dies vermittelst einer Rechnung, welche man entweder nach §. 76. des ersten Buches, oder (was auf dasselbe hinauskommt) nach §. 18., Zusatz 9. desselben Buches anstellt. Der Sinus versus desjenigen Bogens, welchen der Mond bei seiner mittleren Bewegung und bei einer Entfernung von 60 Erdhalbmessern in 1 Minute beschreibt, ist nämlich ungefähr 151/12 Fuss oder genauer 15 Fuss 1 Zoll 14/9 Linien Pariser Maass gleich.^[2] Da nun jene Kraft bei der Annäherung zur Erde im umgekehrten doppelten Verhältniss des Abstandes zunimmt, und demnach an der Oberfläche der Erde 60 · 60 mal so gross als am Monde ist; so müsste ein, vermöge jener Kraft in unseren Gegenden fallender, Körper in 1 Minute einen Weg von 60 · 60 · 151/12 Fuss und in 1 Secunde 151/12 Fuss oder genauer 15 Fuss 1 Zoll 14/9 Linien Pariser Maass zurücklegen.

Auf der Erde fallen aber in der That die schweren Körper vermöge jener Kraft. Nach Huygens ist nämlich die Länge eines, in der Breite von Paris Secunden schlagenden, Pendels = 3 Fuss 8,5 Zoll Par. Maass.

Die Höhe, welche ein fallender schwerer Körper in 1 Secunde beschreibt, steht zur halben Pendellänge im doppelten Verhältniss der Peripherie zum Durchmesser eines Kreises (nach Huygens); sie ist also = 15 Fuss 1 Zoll 17/9 Linie. Die Kraft, durch welche der Mond in seiner Bahn erhalten wird, ergibt sich daher, wenn er zur Erde herabsteigt, unserer Schwerkraft gleich und ist demnach (nach der 1. und 2. Regel) eben dieselbe Kraft, welche wir Schwere zu nennen pflegen. Wäre nämlich die Schwere von ihr verschieden, so müssten die, vermöge der beiden vereinten Kräfte der Erde sich nähernden, Körper doppelt so geschwind herabsteigen und in 1 Secunde einen Weg von 301/6 Fuss zurücklegen. Dies ist gegen die Erfahrung.

Die vorstehende Rechnung gründet sich auf die Hypothese, dass die Erde ruhe. Denn wenn Erde und Mond sich um die Sonne, und inzwischen auch um ihren gemeinschaftlichen Schwerpunkt bewegen; so wird bei unverändertem Gesetz der Schwere die gegenseitige Entfernung ihrer Mittelpunkte ungefähr 60½ Erdhalbmesser sein, wie die Rechnung, welche nach §. 101. des ersten Buches angestellt werden kann, jedem zeigen wird.^[3]

§. 5. Anmerkung. Der Beweis dieses Satzes kann ausführlich folgendermaassen angestellt werden. Wenn mehrere Monde um die Erde liefen, wie dies beim Jupiter und Saturn der Fall ist, so würden ihre Umlaufszeiten (indem man durch Induction schliesst) das von Kepler entdeckte Gesetz der Planeten befolgen, und es würden sich daher ihre Centripetralkräfte (nach §. 1. dieses Buches) umgekehrt wie die Quadrate ihrer Abstände vom Mittelpunkte der Erde verhalten. Wäre der Abstand des untersten von ihnen kleiner, und berührte er selbst beinahe die Gipfel der höchsten Berge; so würde seine Centripetalkraft, wodurch er in der Bahn erhalten wird (nach der vorstehenden Rechnung) sehr nahe der Schwere der auf jenen Gipfeln befindlichen Körper gleich sein. Würde nun dieser kleine Mond der Centripetalkraft, welche ihn in seiner Bahn in Bewegung erhielt, beraubt; so müsste jene Centripetalkraft bewirken, dass er zur Erde herabstiege, und zwar mit derselben Geschwindigkeit, welche die auf jenen Gipfeln fallenden Körper haben, weil nämlich ihre Kräfte einander gleich sind. Wäre jene Kraft, vermöge welcher der kleine Mond herabsteigt, von der Schwere verschieden und wäre er ausserdem gegen die Erde schwer, wie es die Körper auf jenen Bergen sind; so würde er vermöge beider vereinter Kräfte doppelt so schnell herabsteigen. Da nun beide Kräfte, sowohl die der schweren Körper als die der Monde, gegen die Erde gerichtet, und da sie beide einander gleich und ähnlich sind; so werden sie (nach 1. und 2. Regel) auch dieselbe Ursache haben. Jene Kraft, welche den Mond in seiner Bahn erhält, wird daher dieselbe sein, welche wir Schwere zu nennen pflegen und zwar hauptsächlich desshalb, weil der kleine Mond entweder auf den Spitzen der Berge von aller Schwere frei sein, oder doppelt so geschwind als schwere Körper fallen würde.

§. 6. Lehrsatz. Die Jupitertrabanten gravitiren gegen den Jupiter, die Saturntrabanten gegen den Saturn, die Planeten gegen die Sonne und werden durch die Kraft ihrer Schwere stets von der geradlinigen Bewegung abgezogen und in krummlinigen Bahnen erhalten.

Die Bewegungen der Jupitertrabanten um den Jupiter, der Saturnstrabanten um den Saturn, die Bewegungen des Merkurs, der Venus, wie auch der übrigen Planeten um die Sonne sind Erscheinungen von derselben Art, und hängen daher (nach 2. Regel) von Ursachen derselben Art ab; besonders da gezeigt ist, dass die Kräfte, von denen jene Bewegungen abhängen, nach den Mittelpunkten des Jupiters, des Saturns und der Sonne gerichtet sind, und bei der Entfernung von diesen Mittelpunkten in demselben Verhältniss und nach demselben Gesetze abnehmen, wie die Kraft der Schwere bei der Entfernung von der Erde.

Zusatz 1. Die Schwere findet daher gegen alle Planeten und Trabanten statt. Dass nämlich die Venus, der Merkur und die anderen Planeten von derselben Art wie der Jupiter und der Saturn seien, bezweifelt niemand. Da nun jede Anziehung nach dem 3. Gesetz der Bewegung wechselseitig ist, so wird der Jupiter gegen alle seine Trabanten, der Saturn gegen die seinigen, die Erde gegen den Mond und die Sonne gegen alle Planeten schwer sein.

Zusatz 2. Die nach jedem einzelnen Planeten gerichtete Schwere ist indirect dem Quadrate des Abstandes jedes einzelnen Ortes von seinem Mittelpunkte proportional.

Zusatz 3. Alle Planeten sind nach Zusatz 1. und 2. gegen einander schwer, daher werden der Jupiter und der Saturn sich wechselseitig in der Nähe ihrer Conjunction anziehen und ihre wechselseitigen Bewegungen merklich stören. Eben so wird die Sonne die Bewegung des Mondes, die Sonne und der Mond unser Meer stören, wie im Folgenden gezeigt werden wird.

§. 7. Anmerkung. Bis jetzt haben wir jene Kraft, welche die Himmelskörper in ihren Bahnen erhält, Centripetalkraft genannt. Dass sie mit der Schwere identisch sei, ist ausgemacht, und wir wollen sie daher künftig Schwere nennen. Die Ursache jener Centripetalkraft, welche den Mond in seiner Bahn erhält, kann nämlich nach der 1., 2. und 4. Regel auf alle Planeten ausgedehnt werden.

§. 8. Lehrsatz. Alle Körper sind gegen die einzelnen Planeten schwer, und die Gewichte der ersteren gegen jeden Planeten sind in gleichen Abständen vom Mittelpunkt des letzteren der Menge der in den einzelnen Körpern befindlichen Materie proportional.

Dass der Fall aller schweren Körper gegen die Erde (wenigstens nach Fortnahme der ungleichen Verzögerung, welche aus dem geringen Widerstande der Luft entspringt) in gleichen Zeiten erfolge, haben schon vor langer Zeit andere beobachtet, und am genauesten kann man die Gleichheit der Zeiten an Pendeln wahrnehmen. Ich habe Versuche angestellt mit Gold, Silber, Blei, Glas, Sand, Kochsalz, Holz, Wasser und Waizen. Zur Vergleichung benutzte ich zwei gleiche runde Büchsen. Die eine füllte ich mit Holz an und hing dasselbe Gewicht Goldes (so genau ich konnte) im Schwingungspunkt jener auf. Die an gleichen, 11 Fuss langen Fäden hängenden Büchsen bildeten Pendel, welche in Bezog auf Gewicht, Figur und Widerstand der Luft durchaus einander gleich waren, und sie schwangen, bei gleichen Schwingungen nebeneinander angebracht, sehr lange hin und her. Ferner verhielt sich die Menge der Materie im Golde (nach dem zweiten Buche, §. 34. Zusatz 1. und 6.) zur Menge der Materie im Holze, wie die Wirkung der bewegenden Kraft auf das ganze Gold, zu derselben Wirkung auf das ganze Holz, d. h. wie das Gewicht des einen zu dem des andern. Eben so mit den übrigen. Bei Körpern von demselben Gewicht könnte ein Unterschied der Materie, selbst wenn er kleiner als $\scriptstyle {\frac {1}{1000}}$ des ganzen wäre, durch diese Versuche deutlich wahrgenommen werden.

Dass nun aber die Natur der Schwere gegen die Planeten dieselbe sei, wie gegen die Erde, ist ausser allem Zweifel. Denken wir uns nämlich diese irdischen Körper bis zur Mondbahn emporgehoben, und mit dem aller Bewegung beraubten Monde losgelassen, damit sie zugleich gegen die Erde fallen; so werden sie, wie wir bereits gezeigt haben, sicher in gleichen Zeiten gleiche Wege wie der Mond beschreiben, und sie werden sich daher zu der Menge der Materie im Monde verhalten, wie ihre Gewichte zum Gewicht des letzteren. Da ferner die Jupitertrabanten sich in Zeiten um den Jupiter bewegen, welche im 3/2ten Verhältniss ihrer Abstände von seinem Mittelpunkte stehen, so wird ihre beschleunigende Schwerkraft gegen den Jupiter den Quadraten dieser Abstände indirect proportional sein. In gleichen Abständen von demselben würden ihre beschleunigenden Schwerkräfte einander gleich werden. Ferner würden sie, wenn sie von gleichen Höhen herabfallen, in gleichen Zeiten gleiche Wege beschreiben, ganz wie es mit schweren Körpern auf unserer Erde geschieht.

Auf dieselbe Weise würden die um die Sonne sich bewegenden Planeten, wenn sie in gleichen Abständen von dieser losgelassen würden, gegen sie hin in gleichen Zeiten gleiche Wege beschreiben. Die Kräfte aber, durch welche ungleiche Körper gleich beschleunigt werden, verhalten sich wie die Körper, d. h. die Gewichte sind der Menge der Materie in den Planeten proportional. Dass ferner die Gewichte des Jupiters und seiner Trabanten gegen die Sonne der Menge der in ihnen respective enthaltenen Materie proportional sind, folgt nach dem ersten Buche, §. 106., Zusatz 3. aus der höchst regelmässigen Bewegung der Trabanten. Würden nämlich einige von ihnen, nach Verhältniss der Menge ihrer Materie, stärker als die übrigen zur Sonne hingezogen, so würde die Bewegung der Trabanten (nach dem eben erwähnten §., Zusatz 2.) durch die ungleiche Anziehung gestört werden. Wenn in gleichen Abständen von der Sonne ein Trabant gegen dieselbe schwerer nach Verhältniss seiner Masse wäre, als der Jupiter nach seiner Masse, und zwar in dem beliebigen gegebenen Verhältniss d : e; so würde der Abstand zwischen dem Mittelpunkte der Sonne und dem der Trabantenbahn stets grösser sein, als der Abstand zwischen dem ersteren Punkte und dem Mittelpunkte des Jupiters und zwar sehr nahe im halben Verhältniss, wie ich durch eine angestellte Rechnung gefunden habe. Eben so würde, wenn ein Trabant im Verhältniss d : e weniger schwer gegen die Sonne wäre, der Mittelpunkt seiner Bahn in jenem halben Verhältniss weniger von der Sonne entfernt sein, als der Mittelpunkt des Jupiters. Wenn daher in gleichen Abständen von der Sonne die beschleunigende Schwerkraft irgend eines Trabanten gegen die letztere grösser oder kleiner wäre, als die beschleunigende Schwerkraft des Jupiters und zwar nur um $\scriptstyle {\frac {1}{1000}}$ der ganzen Schwerkraft; so würde der Mittelpunkt des Trabanten von der Sonne um ein $\scriptstyle {\frac {1}{2000}}$ des ganzen Abstandes mehr oder weniger entfernt sein, als der Jupiter^[4], d. h. um 1/5 des Abstandes des äussersten Trabanten vom Jupiter. Eine solche Excentricität der Bahn würde vollkommen bemerkbar sein. Die Bahnen der Trabanten sind aber um den Jupiter concentrisch, mithin sind die beschleunigenden Kräfte der Schwere des Jupiters und seiner Trabanten gegen die Sonne einander gleich. Aus demselben Grunde sind die Gewichte des Saturns und seiner Trabanten gegen die Sonne, in gleichen Abständen von derselben, der Menge der Materie proportional, welche jeder von ihnen enthält. Ferner werden der Mond und die Erde entweder gar kein Gewicht gegen die Sonne haben, oder es wird dasselbe genau ihren Massen proportional sein. Nach §. 6., Zusatz 1. und 3. sieht man aber, dass sie ein Gewicht haben müssen. Demnach verhalten sich die Gewichte aller einzelnen Theile eines beliebigen Planeten gegen einen andern Planeten unter sich, wie die Menge der Materie, welche jeder enthält. Denn wenn einige dieser Theile mehr oder weniger gravitirten, als nach Verhältniss der Menge ihrer Materie; so würde der ganze Planet in einem grösseren oder kleineren Verhältniss, als dem der Menge seiner Materie schwer sein, je nach der Natur der Theile, deren er eine grössere Menge enthielte. Es verschlägt dabei nichts, ob diese Theile äussere oder innere Theile der Planeten sind. Setzt man z. B. voraus, dass die hier auf der Erde befindlichen Körper bis zur Mondbahn erhöhet würden, so vergleiche man sie mit dem Mondkörper. Verhielten sich ihre Gewichte zu denen der äusseren Theile des Mondes, wie die Mengen der Materie; ständen sie aber zu den Gewichten seiner inneren Theile in einem grösseren oder kleineren Verhältniss: so wurden dieselben Körper zum Gewicht des ganzen Mondes in einem grösseren oder kleineren Verhältniss stehen. Dies widerspräche aber dem, was wir so eben bewiesen haben.

Zusatz 1. Die Gewichte der Körper hängen also nicht von ihrer Gestalt oder Textur ab. Könnten sich nämlich dieselben mit ihrer Gestalt verändern, so würden sie bald grösser bald kleiner werden, je nach den verschiedenen Formen bei gleicher Materie. Dies ist durchaus gegen die Erfahrung.

Zusatz 2. Alle Körper, welche die Erde umgeben, sind gegen dieselbe schwer, und ihre Gewichte sind, wenn sie sich in gleichen Abständen von der Erde befinden, der Menge der Materie eines jeden proportional. Dies hat man durch Versuche an allen erlangten Körpern gezeigt, und nach der 3. Regel kann man dasselbe von allen Körpern im Allgemeinen behaupten. Wäre der Aether oder ein beliebiger anderer Körper ganz frei von Schwere, oder gravitirte er in einem kleineren Verhältniss als dem der Menge seiner Materie; so würde, da Körper dieser Art von anderen (nach Aristoteles, Decartes und Andern) nur durch die Gestalt ihrer Theile verschieden sind, es sich ereignen können, dass sie durch allmählige Formänderung in solche Körper übergingen, welche im Verhältniss ihrer Materie schwer sind. Auf entgegengesetzte Weise könnten sehr schwere Körper im Laufe der Zeiten ihre Schwerkraft verlieren, indem sie dieselbe Form wie jene annähmen. Die Gewichte würden also von den Formen abhängen, und könnten sich mit ihnen ändern, was dem im Zusatz 1. Bewiesenen widerspricht.

Zusatz 3. Alle Räume sind nicht gleich stark angefüllt. Wären sie es nämlich, so würde das specifische Gewicht der Flüssigkeit, welche sich in der Gegend der Luft befindet, wegen der höchsten Dichtigkeit der Materie, dem des Quecksilbers, Goldes oder irgend eines sehr dichten Körpers um nichts nachgeben. Weder Gold noch irgend ein anderer Körper könnte daher in der Luft sinken; denn die Körper sinken in den Flüssigkeiten nur, weil sie specifisch schwerer sind. Wenn aber die Menge der Materie in einem gegebenen Raume bis zu einem gewissen Punkte durch irgend eine Verdünnung vermindert werden kann; warum sollten sie dann nicht bis ins Unendliche vermindert werden können?

Zusatz 4. Wenn alle feste Theilchen aller Körper gleich dicht sind, und sie ohne Poren nicht locker werden können, so giebt es einen leeren Raum. Ich behaupte, die Theilchen sind gleich dicht, wenn ihre Kraft der Trägheit ihrer Grösse proportional ist.

Zusatz 5. Die Schwere ist von einer anderen Art, als die magnetische Kraft; diese ist nämlich nicht der Menge der angezogenen Materie proportional. Gewisse Körper werden stärker, andere schwächer, viele aber gar nicht durch den Magneten angezogen. Die magnetische Kraft desselben Körpers kann vermehrt oder vermindert werden; sie ist bisweilen viel grösser, nach Verhältniss der Menge der Materie, als die Schwerkraft. Sie nimmt mit der Entfernung vom Magneten nicht im doppelten, sondern fast im dreifachen Verhältniss ab; so weit ich es durch ziemlich grobe Versuche habe bestimmen können.

§. 9. Lehrsatz. Die Schwere kommt allen Körpern zu, und ist der in jedem enthaltenen Menge der Materie proportional. Wir haben oben bewiesen, dass alle Planeten wechselseitig gegen einander schwer seien; dass die Schwere gegen einen von ihnen, welchen man besonders betrachtet, sich umgekehrt wie das Quadrat des Abstandes von seinem Schwerpunkte verhalte und dass folglich (nach dem ersten Buche, §. 110. nebst Zusätzen) die Schwere in allen Planeten der Menge ihrer Materie proportional sei. Ferner sind alle Theile eines Planeten A gegen irgend einen andern Planeten B schwer, und es verhält sich die Schwere eines beliebigen Theiles zu der des Ganzen, wie die Materie des ersteren zu der des letzteren. Endlich ist (nach dem 3. Gesetze der Bewegung) die Wirkung der Gegenwirkung gleich. Seinerseits wird daher auch der Planet B gegen alle Theile von A schwer sein, und es wird seine Schwere gegen einen beliebigen Theil sich zu seiner Schwere gegen den ganzen Planeten verhalten, wie die Materie dieses Theiles zur Materie des ganzen. W. z. b. w.

Zusatz 1. Die Schwere gegen einen ganzen Planeten ist also aus der Schwere gegen alle seine Theile zusammengesetzt. Wir haben Beispiele hiervon an den magnetischen und elektrischen Anziehungen; denn die Anziehung gegen das Ganze ist aus den Anziehungen gegen alle einzelnen Theile zusammengesetzt. Man sieht ein, dass es sich eben so mit der Schwere verhält, indem man annimmt, dass mehrere kleine Planeten sich in einer Kugel vereinigen und einen grossen Planeten bilden; denn die Kraft des Ganzen muss aus den Kräften der zusammensetzenden Theile entspringen. Wenn jemand hiergegen den Einwurf macht, dass nach diesem Gesetze alle Körper auf Erden gegen einander gravitiren müssten und dass diese gegenseitige Schwere doch nicht bemerkbar sei; so antworte ich, dass diese wechselseitige Schwere der Körper sich zu ihrer Schwere gegen die Erde verhält, wie die Masse der ersteren zur Masse der letzteren. Die wechselseitige Schwere ist daher bei weitem nicht stark genug, um wahrgenommen werden zu können.

Zusatz 2. Die Schwere gegen jedes gleiche Theilchen eines Körpers ist dem Quadrat des Abstandes von diesen Theilchen umgekehrt proportional. Dies erhellt aus dem ersten Buche, §. 117., Zusatz 3.

§. 10. Lehrsatz. Wenn die Materie zweier Kugeln, welche gegeneinander schwer sind, überall in gleichen Abständen von ihrem Mittelpunkte homogen ist; so verhält sich das Gewicht der einen Kugel gegen die andere umgekehrt wie das Quadrat des Abstandes des einen Mittelpunktes vom anderen.

Nachdem ich gefunden hatte, dass die Schwere gegen einen ganzen Planeten aus der gegen alle seine einzelnen Theile zusammengesetzt, und dass die Kraft eines jeden Theiles dem Quadrat des Abstandes umgekehrt proportional sei; war ich ungewiss, ob dieses umgekehrte doppelte Verhältniss für die, aus allen partiellen Kräften zusammengesetzte, ganze Kraft genau, oder nur sehr nahe gültig sei. Man könnte nämlich glauben, dass dieses Verhältniss, welches hinreichend genau für grössere Entfernungen gilt, nahe an der Oberfläche der Planeten eine bedeutende Aenderung erleiden müsse, und zwar wegen der Ungleichheit der Abstände ihrer Theile und wegen ihrer verschiedenen Lage. Die §. §. 118. und 119. des ersten Buches und ihre Zusätze zeigten mir aber, dass dieses Verhältniss noch genau im vorliegenden Falle wahrgenommen werden muss.

Zusatz 1. Hiernach kann man die Gewichte der Körper gegen verschiedene Planeten finden, und unter einander vergleichen. Die Gewichte gleicher Körper, welche sich in kreisförmigen Bahnen um Planeten bewegen, verhalten sich nämlich (nach §. 18., Zusatz 2. des ersten Buches) direct wie die Durchmesser dieser Kreise und indirect wie die Quadrate der Umlaufszeiten. Ihre Gewichte an der Oberfläche dieser Planeten, oder in beliebigen Abständen von ihren Mittelpunkten sind nach dem gegenwärtigen §. grösser oder kleiner im indirecten doppelten Verhältniss der Abstände.

Nun beträgt die Umlaufszeit der Venus um die Sonne 224 Tage 16¾ Std.,

die	Umlaufszeit	des	4. Jupitertrabanten um seinen Planeten	16	„	168/15	„
„	„	„	6. Saturntrabanten (des Huygensschen) um den Saturn	15	„	22⅔	„
„	„	„	Mondes um die Erde 27 Tage 7 Stunden 43 Min.

Indem ich nun diese Umlaufszeiten und die mittlere Entfernung der Venus von der Sonne, die grösste heliocentrische Elongation des 4. Jupitertrabanten vom Jupiter = 8′ 16″, die des Huygens’schen Trabanten vom Centrum des Saturns = 3′ 4″ und die des Mondes vom Mittelpunkte der Erde = 10′ 33″ in Anwendung brachte; fand ich, dass in gleichen Abständen die Gewichte gleicher Körper gegen die Mittelpunkte der Sonne, des Jupiters, des Saturns und der Erde respective proportional waren, den Zahlen 1, 1/1067, 1/3121, 1/169282.^[5]

In ungleichen Abständen ändern sich diese Gewichte im umgekehrten Verhältniss des Quadrats der Abstände. z. B. Die Gewichte gleicher Körper auf

	der Sonne,	dem Jupiter,	dem Saturn	und der Erde
in den Abständen	10000	997	791	109
von ihren Mittelpunkten, d. h. an ihren Oberflächen, sind respective proportional den Zahlen
	10000	943	529	435^[6].

In der Folge werden wir sehen, wie schwer Körper an der Oberfläche des Mondes sind.

Zusatz 2. Man kennt nun auch die Menge der Materie, welche jeder dieser Himmelskörper enthält. Diese Mengen verhalten sich nämlich, wie die anziehenden Kräfte in gleichen Abständen von ihren Mittelpunkten, d. h. die Massen der Sonne, des Jupiters, des Saturns und der Erde sind respective proportional den Zahlen: 1, 1/1067, 1/3021, 1/169282. Findet man die Parallaxe der Sonne grösser oder kleiner als 10″ 30‴ = 10,″5, so muss man die Menge der Materie, welche die Erde enthält, im dreifachen Verhältniss vermehren oder vermindern.^[7]

Zusatz 3. Man kann auch die Dichtigkeiten der Planeten bestimmen. Da die Gewichte gleicher und gleichartiger Körper gegen gleichartige Kugeln, nach §. 114. des ersten Buches, den Durchmessern der letzteren proportional sind; so werden die Dichtigkeiten ungleichartiger Kugeln sich verhalten, wie diese Gewichte, dividirt durch ihre Durchmesser. Nun hat man gefunden, dass die wahren Durchmesser

von Sonne, Jupiter, Saturn und Erde respective proportional sind:	10000,	997,	791,	109
die Gewichte gegen dieselben respective proportional sind	10000,	943,	529,	435
mithin sind ihre Dichtigkeiten proportional	00100;	94,6;	66,9;	399.

Die Dichtigkeit der Erde, welche durch diese Rechnung bestimmt wird, hängt nicht von der Parallaxe der Sonne ab; sie ist durch die Parallaxe des Mondes bestimmt worden, und daher genau. Die Sonne ist daher etwas dichter als der Jupiter, Jupiter dichter als Saturn und die Erde viermal so dicht als die Sonne; dies muss man der Wärme der letzteren zuschreiben, welche die Materie auflockert. Der Mond ist dichter als die Erde, wie wir in der Folge sehen werden.

Zusatz 4. Die Planeten sind also desto dichter, je kleiner sie unter übrigens gleichen Umständen sind; also nähert sich die Kraft der Schwere an ihrer Oberfläche mehr der Gleichheit. Die der Sonne näheren Planeten sind, unter übrigens gleichen Umständen, dichter: also die Erde dichter als der Jupiter, dieser dichter als der Saturn. Sie mussten in verschiedene Entfernungen von der Sonne gestellt werden, damit jeder Planet, nach Verhältniss seiner Dichtigkeit, mehr oder weniger durch die Sonne erwärmt würde. Befände sich unsere Erde in der Saturnsbahn, so würde unser Wasser beständig gefroren sein; läge sie hingegen in der Merkursbahn, so würde das Wasser augenblicklich verdampfen. Das Licht der Sonne, welchem die Wärme proportional ist, ist nämlich auf dem Merkur siebenmal (6,674) dichter, als auf der Erde und ich habe mittelst des Thermometers gefunden, dass, wenn die Wärme der Sonne siebenmal stärker wäre, als sie in unserem Sommer ist, sie das Wasser augenblicklich zum Sieden bringen würde.

Es ist nicht zu bezweifeln, dass die Materie des Merkurs der Wärme entspreche, welche sie empfängt, und dass sie folglich dichter sei als die Materie der Erde. Je dichter nämlich die Materie ist, desto mehr Wärme ist erforderlich, damit erstere dieselben Wirkungen erleide.^[8]

§. 11. Lehrsatz. Die Schwere nimmt im Innern der Planeten sehr nahe im Verhältniss des Abstandes vom Mittelpunkte ab.

Wäre die Materie des Planeten von gleicher Dichtigkeit, so würde dieser Satz, nach §. 115. des ersten Buches, genau wahr sein. Der Fehler ist daher so gross, als er aus der ungleichförmigen Dichtigkeit entspringen kann.

§. 12. Lehrsatz. Die Bewegung der Planeten im Himmelsraume kann sehr lange fortdauern.

In §. 61. des zweiten Buches haben wir gezeigt, dass eine gefrorene Wasserkugel, welche sich frei in unserer Luft bewegte, durch den Widerstand der letzteren 1/4586 ihrer Bewegung verlieren würde, während sie die Länge ihres Halbmessers zurücklegt. Dasselbe Verhältniss muss ungefähr bei viel grösseren Kugeln stattfinden, welche sich zugleich mit weit grösserer Geschwindigkeit als der dort ausgeführten, bewegen.

Die Erdkugel ist aber weit dichter, als wenn sie ganz aus Wasser bestände; dies zeige ich folgendermaassen. Bestände sie ganz aus Wasser, so würde es Körper geben, welche weniger dicht wären, und wegen ihres geringeren specifischen Gewichtes von selbst an die Oberfläche kommen und oben schwimmen müssten. Aus demselben Grunde würde eine ganz von Wasser umgebene Erdkugel an einer Stelle oben schwimmen, wenn sie lockerer als Wasser wäre, und jenes Wasser sich gänzlich an der entgegengesetzten Seite ansammeln. Eine gleiche Schlussfolgerung gilt für unsere Erde, welche grösstentheils vom Meere umgeben ist. Wäre sie nicht dichter als dasselbe, so würde sie oben schwimmen und nach Verhältniss der specifischen Leichtigkeit zum Theil aus dem Wasser heraustreten, welches sich gänzlich in den entgegengesetzten Gegenden ansammeln würde. Durch ein ähnliches Raisonnement kann man den Schluss liehen, dass die Sonnenflecken leichter seien, als die leuchtende Materie der Sonne, auf Welcher sie schwimmen.^[9] Ferner muss bei jeder beliebigen Bildung eines Planeten, welchen man ursprünglich als flüssig annimmt, die schwerere Materie in der Mitte gelegen haben.

Da nun die Erde gewöhnlich zweimal so schwer als Wasser, und wenn man etwas weiter gräbt, 3, 4 und selbst 5 mal so schwer als letzteres gefunden wird; so hat die Erdkugel wahrscheinlich 5 oder 6 mal mehr Materie, als wenn sie nur aus Wasser zusammengesetzt wäre, besonders nachdem wir gezeigt haben, dass sie ungefähr 4 mal so dicht als der Jupiter ist (§. 10., Zusatz 3.). Ist also die Materie des letzteren etwas dichter als Wasser, so ist es klar, dass er in einem Zeitraum von 30 Tagen, in welchem er 459 seiner Halbmesser zurücklegt, etwa 1/10 seiner Bewegung in einem Mittel verlieren würde, welches dieselbe Dichtigkeit wie unsere Luft hätte.^[10] Nun nimmt der Widerstand der Mittel mit ihrem Gewichte und ihrer Dichtigkeit ab. Wasser z. B., welches 135/8 mal leichter als Ouecksilber ist, leistet einen 135/8 mal geringeren Widerstand, als die letztere Flüssigkeit, und die Luft, welche 860 mal leichter als Wasser ist, leistet einen 860 mal geringeren Widerstand als dieses. In der Himmelsgegend, wo das Gewicht des Mittels, in welchem die Planeten sich bewegen, in’s Unendliche abnimmt, muss der Widerstand fast = 0 sein.

In §. 31. des zweiten Baches haben wir gesehen, dass in einer Höhe von 200 Meilen über der Oberfläche der Erde, die Dichtigkeit der daselbst befindlichen Luft sich zur Dichtigkeit der uns umgebenden Luft verhält, wie 0,0000000000003998 : 30 = 1 : 75 Billionen.

Der Jupiter würde also, wenn er sich in einem Mittel von dieser Dichtigkeit bewegte, nicht ein 1/1000000 seiner Bewegung in 1000000 Jahren verlieren.^[11] Wir kennen nur die Luft, die Ausdünstungen und die Dämpfe, welche in der Nähe der Erdoberfläche Widerstand ausüben. Hat man sie nämlich aus einem Glascylinder sorgfältig fortgeschafft, so fallen die Körper darin frei, ohne irgend einen bemerkbaren Widerstand zu erleiden; dergestalt, dass selbst Gold und eine sehr dünne Feder, welche zugleich losgelassen werden, mit gleicher Geschwindigkeit fallen und zu derselben Zeit am Boden anlangen, nachdem sie eine Höhe von 4, 6, oder 8 Fuss zurückgelegt haben, wie man durch Versuch gefunden hat. Es ist also klar, dass die Planeten und Cometen sich sehr lange werden bewegen können, ohne in den von Luft und Ausdünstungen freien Himmelsräumen einen bemerkbaren Widerstand zu erleiden.

§. 13. I. Hypothese. Der Mittelpunkt des Weltsystems befindet sich in Ruhe.

Man gibt dies allgemein zu, nur behaupten die Einen, die Erde sei dieses Centrum, die Anderen hingegen, die Sonne sei es. Wir wollen sehen, was aus dieser Hypothese folgt.

§. 14. Lehrsatz. Der gemeinschaftliche Schwerpunkt der Sonne und aller Planeten befindet sich in Ruhe.

Dieser Schwerpunkt wird nämlich (nach Zusatz 4. der Gesetze) entweder ruhen oder sich gleichförmig in gerader Linie bewegen. Ginge er stets vorwärts, so würde der Mittelpunkt des Weltsystems sich nicht in Ruhe befinden; dies widerspricht der Hypothese.

§. 15. Lehrsatz. Die Sonne ist immer in Bewegung, sie entfernt sich aber nur sehr wenig von dem gemeinschaftlichen Schwerpunkt aller Planeten.

Nach §. 10., Zusatz 2. verhält sich nämlich die Masse der Sonne zu derjenigen des Jupiters, wie 1067 : 1; ferner steht die Entfernung des Jupiters von der Sonne zum Halbmesser der letzteren in einem etwas grösseren Verhältniss.^[12] Mithin wird der gemeinschaftliche Schwerpunkt beider Himmelskörper in einen Punkt fallen, welcher ein wenig über der Oberfläche der Sonne liegt. Nach demselben Raisonnement verhält sich die Masse der Sonne zu derjenigen des Saturns, wie 3021 : 1; die Entfernung der letzteren von der ersteren steht zum Halbmesser der Sonne in einem etwas kleineren Verhältniss; der gemeinschaftliche Schwerpunkt beider fällt daher etwas unterhalb der Oberfläche der Sonne. Fährt man nun dieselbe Rechnung für die anderen Planeten weiter, so findet man, dass, wenn die Erde und alle Planeten sich auf derselben Seite der Sonne befänden, der gemeinschaftliche Schwerpunkt aller dieser Gestirne sich kaum um einen Durchmesser der Sonne vom Mittelpunkt der letzteren entfernen würde. Da nun in allen anderen Fällen der Abstand zwischen diesem Centrum und dem gemeinschaftlichen Schwerpunkte noch kleiner ist, und der letztere sich immer in Ruhe befindet; so bewegt sich die Sonne je nach der verschiedenen Lage der Planeten, wird sich aber nie weit von jenem Schwerpunkt entfernen.

Zusatz. Der gemeinschaftliche Schwerpunkt der Sonne, der Erde und aller Planeten muss also als der Mittelpunkt der Welt^[13] angesehen werden. Diese Körper ziehen sich nämlich wechselseitig an und befinden sich, nach den Gesetzen der Bewegung, vermöge ihrer Schwerkraft stets in Bewegung. Ihre beweglichen Mittelpunkte können also nicht als ruhendes Centrum der Welt angenommen werden. Sollte derjenige Körper, gegen welchen die Schwere alle anderen Körper stärker antreibt, in dieses Centrum gesetzt werden (wie dies die gewöhnliche Meinung ist); so würde dieses Vorrecht der Sonne zukommen. Diese aber bewegt sich, und man muss daher zum gemeinschaftlichen Centrum einen unbeweglichen Punkt wählen, von welchem der Mittelpunkt der Sonne sich möglichst wenig entfernt und noch weniger entfernen würde, wenn die Sonne selbst grösser und dichter wäre. Im letzteren Falle würde sie sich nämlich weniger stark bewegen.

§. 16. Lehrsatz. Die Planeten bewegen sich in Ellipsen, deren einer Brennpunkt sich im Mittelpunkte der Sonne befindet, und die um denselben beschriebenen Flächenräume sind den Zeiten proportional.

Wir haben oben diese Bewegungen nach den Erscheinungen discutirt. Sind die Principien der ersteren einmal bekannt, so schliessen wir aus ihnen a priori auf die Bewegungen der Himmelskörper. Hat man also gefunden, dass die Gewichte der Planeten gegen die Sonne den Quadraten ihrer Abstände von derselben umgekehrt proportional sind; so leuchtet nach §§. 13., 29. und 32., Zusatz 1. des ersten Buches ein, dass, wenn die Sonne sich in Ruhe befände und die Planeten nicht wechselseitig auf einander wirkten, alle ihre Bahnen Ellipsen sein würden, deren gemeinschaftlicher Brennpunkt in der Sonne läge, und dass sie um denselben Flächenräume beschreiben würden, welche den Zeiten proportional wären. Nun sind aber die wechselseitigen Wirkungen der Planeten auf einander so schwach, dass sie vernachlässigt werden können, und nach §. 107. des ersten Buches wirken sie weniger störend auf die Beschreibung ihrer Ellipsen um die Sonne ein, wenn man diese als beweglich annimmt, als wenn man sie als unbeweglich voraussetzte.

Indessen darf man die Einwirkung des Jupiters auf den Saturn nicht ganz vernachlässigen. Die Schwere gegen den Jupiter verhält sich zu der gegen die Sonne (in gleichen Abständen) wie 1 : 1067. In der Conjunction von Jupiter und Saturn wird also, da die Entfernung beider von einander sich zum Abstand des Saturns von der Sonne ungefähr wie 4 : 9 verhält; die Schwere des Saturns gegen den Jupiter sich zu seiner Schwere gegen die Sonne verhalten, wie 81 : 16 · 1067, d. h. ungefähr wie 1 : 211.^[14]

Hiernach wird die Bahn des Saturns bei jeder Conjunction mit dem Jupiter so merklich gestört werden, dass es die Astronomen bemerken mussten. Seine Excentricität wird bald vergrössert, bald verkleinert, nach den verschiedenen Lagen des Planeten in diesen Conjunctionen. Sein Aphel geht bald vor-, bald rückwärts und seine mittlere Bewegung wird wechselweise beschleunigt und verzögert. Indessen kann man die ganze Störung, welche die Anziehung des Jupiters in der Bewegung des Saturns um die Sonne hervorbringt, mit Ausnahme der Störung in der mittleren Bewegung, fast ganz fortschaffen; wenn man den unteren Brennpunkt seiner Bahn (nach §. 108. des ersten Buches) im gemeinschaftlichen Schwerpunkt der Sonne und des Jupiters annimmt. Alsdann wird diese Störung, wenn sie am grössten ist, kaum 2 Minuten übersteigen. Eben so überschreitet die grösste Störung in der jährlichen mittleren Bewegung kaum 2 Minuten.

In der Conjunction des Jupiters und des Saturns verhalten sich die beschleunigenden Schwerkräfte der Sonne gegen den Saturn, des Jupiters gegen den Saturn und des Jupiters gegen die Sonne, wie etwa 16 : 81 : $\scriptstyle {\frac {16\cdot 81\cdot 3021}{25}}$ ^[15] = 16 : 81 : 156609.

Der Unterschied der Schwerkräfte von Sonne und Jupiter gegen Saturn verhält sich also zur Schwerkraft des Jupiters gegen die Sonne, wie 65 : 156609 = 1 : 2409.

Die grösste Kraft des Saturns zur Störung der Bewegung des Jupiters ist diesem Unterschiede proportional, also die Störung der Jupitersbahn weit geringer, als die der Saturnsbahn.

Die Störungen der übrigen Planetenbahnen sind noch weit geringer, mit Ausnahme der Erdbahn, auf welche der Mond merklich störend einwirkt. Der gemeinschaftliche Schwerpunkt der Erde und des Mondes beschreibt um die Sonne eine Ellipse, in deren Brennpunkt sich die letztere befindet und deren, um diesen Punkt beschriebene Flächenräume den Zeiten proportional sind. Die Erde bewegt sich um diesen gemeinschaftlichen Schwerpunkt ungefähr in 1 Monat.

§. 17. Lehrsatz. Das Aphel und die Knoten der Bahnen befinden sich in Ruhe.

Das Aphel befindet sich in Ruhe nach §. 29. des ersten Buches, und nach §. 18. desselben Buches sind auch die Ebenen, mithin ihre Knoten unbeweglich. Man muss indessen gestehen, dass die Wirkungen der Planeten und Cometen auf einander einige Ungleichheiten hervorbringen können; dieselben sind aber so gering, dass man sie hier vernachlässigen kann.

Zusatz 1. Die Fixsterne befinden sich auch in Ruhe, denn sie behalten dieselbe Lage in Bezug auf die Aphele und Knoten bei.^[16]

Zusatz 2. Da nun die jährliche Bewegung der Erde keine bemerkbare Parallaxe bei ihnen hervorbringt, so verursachen ihre anziehenden Kräfte keine merklichen Wirkungen in der Gegend unseres Sonnensystems, weil die gegenseitige Entfernung ungeheuer gross ist. Vielleicht heben auch die Fixsterne, welche in allen Gegenden des Himmels gleichmässig verstreut sind, ihre wechselseitigen Wirkungen durch entgegengesetzte Anziehungen auf, nach §. 22. des ersten Buches.^[17]

§. 18. Anmerkung. Da die gegenseitige Einwirkung derjenigen Planeten, welche der Sonne am nächsten sind, wie Merkur, Venus, Erde und Mars, wegen der Kleinheit der letzteren, fast unmerklich ist; so werden ihre Knoten und Aphele sich in Ruhe befinden, bis auf die Störung, welche die Einwirkung des Jupiters, des Saturns und anderer oberhalb derselben befindlicher Körper herbeiführen kann. Hieraus kann man nach der Theorie der Schwere schliessen, dass ihre Aphele sich ein wenig rückläufig in Bezug auf die Fixsterne bewegen, und zwar im 3/2ten Verhältniss der Abstände dieser Planeten von der Sonne. Wenn also das Aphel des Mars sich in 100 Jahren um 33′ 20″ rückläufig in Bezug auf die Fixsterne bewegt, so werden die Aphele der Erde, der Venus und des Merkurs respective in derselben Zeit 17′ 40″, 10′ 53″ und 4′ 16″ zurücklegen.^[18] Man berücksichtigt aber im vorhergehenden Paragraphen diese fast unmerklichen Bewegungen nicht.

§. 19. Aufgabe. Man soll die Hauptdurchmesser der Bahnen finden.

Man nehme sie, nach §. 35. des ersten Buches, im 3/2ten Verhältniss ihrer Umlaufszeiten. Hierauf vergrössere man, nach §. 101. desselben Buches, den Durchmesser einer jeden Bahn in dem Verhältniss, in welchem die Cubikwurzel aus der Summe der Massen des Planeten und der Sonne zur Cubikwurzel aus der Sonnenmasse steht.

§. 20. Aufgabe. Man soll die Excentricität und das Aphel der Bahnen finden.

Die Auflösung ergibt sich aus §. 39. des ersten Buches.

§. 21. Lehrsatz. Die tägliche Bewegung der Planeten ist gleichförmig, und die Libration des Mondes entspringt aus seiner täglichen Bewegung.

Dies erhellt aus dem ersten Gesetze der Bewegung und aus §. 107., Zusatz 22. des ersten Buches.

Der Jupiter vollendet seine tägliche Umdrehung in Bezug auf die Fixsterne nach 9^h 56^m, der Mars nach 24^h 39^m, die Venus nach etwa 23^h, die Erde nach 23^h 56^m, die Sonne nach 25½ Tagen und der Mond nach 27 Tagen 7^h 45^m.^[19] Dies ergeben die Erscheinungen. Da die Flecke auf der Sonnenscheibe nach 27½ Tagen in dieselbe Lage, in Bezug auf die Erde zurückkommen; so muss die Sonne sich in Bezug auf die Fixsterne ungefähr in 25½ Tagen umdrehen.^[20] Da der Tag des sich gleichförmig um seine Axe drehenden Mondes einen Monat beträgt, so wird immer sehr nahe dieselbe Seite desselben dem entfernten Brennpunkte zugewendet sein und, je nach der Lage dieses Brennpunktes auf der einen oder andern Seite von der Erde abgewendet sein. Dies ist die Libration des Mondes in der Länge. Was seine Libration in der Breite betrifft, so entspringt dieselbe aus seiner Breite und der Neigung seiner Axe gegen die Ekliptik. Mercator hat diese Theorie der Libration, nach meinen Briefen an denselben, in seiner 1676 erschienenen Astronomie weitläufig ausgeführt.

Der am weitesten entfernte Trabant des Saturns (der 6.) scheint sich mit einer ähnlichen Bewegung um seine Axe zu drehen, und dem Saturn immer dieselbe Seite zuzuwenden. So oft er sich nämlich dem östlichen Theile der Bahn dieses Planeten nähert, sieht man ihn kaum und bisweilen verschwindet er gänzlich. Dies kann daher rühren, dass er der Erde alsdann einen Theil seiner Oberfläche zuwendet, auf welchem sich Flecken befinden. Dies hat Cassini bemerkt.

Der entfernteste Trabant des Jupiters scheint ebenfalls sich auf dieselbe Weise um seine Axe zu drehen. Er hat nämlich in dem, dem Jupiter entgegengesetzten Theile seiner Oberfläche einen Flecken, welchen man jedesmal, wenn der Trabant zwischen dem Jupiter und unserm Auge vorübergeht, so sieht, als ob er sich auf der Scheibe des Jupiters selbst befände.

§. 22. Lehrsatz. Die Axen der Planeten sind kleiner, als die Durchmesser ihrer Aequatoren.

Hätten die Planeten keine tägliche Rotationsbewegung um ihre Axen, so müssten sie, wegen der überall gleichen Schwere ihrer Theilchen, kugelförmig sein. Die Rotationsbewegung bewirkt, dass die Theile, welche sich von der Axe zu entfernen streben, gegen den Aequator ansteigen. Wäre aber die Materie, woraus sie bestehen, flüssig, so würde ihre Erhebung gegen den Aequator den Durchmesser dieses Kreises vergrössern, und ihr Sinken an den Polen die Axe verkleinern. Nun lehren uns die astronomischen Beobachtungen, dass auf dem Jupiter der von einem Pole zum andern gehende Durchmesser kleiner ist, als der von Osten gegen Westen gerichtete. Durch ähnliche Raisonnements werden wir sehen, dass, wenn unsere Erde nicht am Aequaetor etwas höher als an den Polen wäre, die Meere an den letzteren sich senken, am ersteren sich erheben und so diese Länder überschwemmen würden.

§. 23. Lehrsatz. Man soll das Verhältniss der Axen eines Planeten finden.

Norwood unser Landsmann maass um das Jahr 1635 eine Länge von 905751 engl. Fuss zwischen London und York, und indem er den Breitenunterschied beider Oerter durch Beobachtungen zu 2° 28′ bestimmte, fand er, dass der Grad 367196 engl. Fuss, d. h. 57300 Toisen^[21] betrug.

Picard maass einen Bogen von 1° 22′ 55″ auf dem Meridian zwischen Amiens und Malvoisin, und fand daraus den Grad = 57060 Toisen.

Cassini der Vater maass die Entfernung im Meridian zwischen der Stadt Collioure in Roussillon und der Sternwarte von Paris; sein Sohn fügte den Abstand zwischen dem letzteren Punkte und dem Thurme von Dünkirchen hinzu. Die ganze Entfernung betrug 486156½ Toisen, der Breitenunterschied zwischen Collioure und Dünkirchen 8° 31′ 125/6″ und hiernach der Bogen eines Grades = 57061 Toisen.

Aus dem mittleren Werthe von 57060 Toisen erhält man

die Peripherie der Erde	= 128249600	Pariser	Fuss
und ihren Halbmesser	= 019615800	„	„

vorausgesetzt, dass die Erde kugelförmig sei.^[22]

Wir haben oben (§. 4.) dritten Buches, gesehen, dass in der Breite von Paris schwere Körper beim freien Falle in 1 Secunde 15 Fuss 1 Zoll 17/9 Linien = 21737/9 Linien zurücklegen. Das Gewicht der Körper wird aber durch das Gewicht der sie umgebenden Luft vermindert. Setzt man diese Verminderung = 1/10000 des ganzen Gewichts, so würde der Körper beim Fall im leeren Raume während einer Secunde 2174 Linien zurücklegen. Ein Körper, welcher sich in einem Kreise bewegte, dessen Halbmesser = 19615800 Par. Fuss ist, und welcher seinen Umlauf gleichförmig in 23^h 56^m 4^s Sternzeit zurücklegte, würde in 1 Secunde einen Bogen von 1433,46 Fuss beschreiben. Der Sinusversus dieses Bogens ist = 0,0523656 Fuss = 7,54064 Linien.^[23]

Die Kraft, mit welcher schwere Körper in der Breite von Paris herabsteigen, verhält sich zur Centrifugalkraft unter dem Aequator, welche durch die tägliche Bewegung der Erde hervorgebracht wird, wie 2174 : 7,54064.

Die Centrifugalkraft der Körper unter dem Aequator verhält sich zu derjenigen Centrifugalkraft, durch welche die Körper das Bestreben erhalten, sich in der Breite von Paris, d. h. 48° 50′ 10″ perpendikulär von der Erde zu entfernen, wie das Quadrat des Radius zum Quadrat des Cosinus dieser Breite, d. h. wie 7,54064 : 3,267.

Addirt man diese Kraft zu derjenigen, welche den Fall der schweren Körper in der Breite von Paris bewirkt; so wird ihr durchfallener Raum, welcher in dieser Breite durch die ganze Kraft der Schwere hervorgebracht wird, in 1 Secunde 2777,267 Linien = 15 Fuss 1 Zoll 5,267 Linien betragen. Ferner wird die ganze Kraft der Schwere in dieser Breite sich zur Centrifugalkraft unter dem Aequator verhalten wie 2177,267 : 7,54064 = 289 : 1.

Es stelle nun APBQ die Figur der Erde vor, welche nicht mehr sphärisch, sondern durch Umdrehung einer Ellipse um ihre kleine Axe PQ entstanden gedacht wird und es sei ACQqca ein Kanal, welcher vom Pol Qq bis zum Centrum Cc und von diesem bis zum Aequator Aa mit Wasser angefüllt ist.

Fig. 188.

Alsdann muss das Gewicht des Wassers im Zweige ACca sich zu dem Gewicht des im Zweige QCcq vorhandenen Wassers verhalten, wie 289 : 288, und zwar desshalb, weil die aus der Kreisbewegung entspringende Centrifugalkraft einen Theil von 289 trägt und aufhebt, und daher die 288 Theile Wassers im Schenkel ACca die 289 Theile im anderen Schenkel tragen.

Nach der Methode (von §. 137., Zusatz 2. des ersten Buches) finde ich, dass, wenn die Erde aus einer homogenen Materie zusammengesetzt, wenn sie von aller Bewegung frei wäre und wenn ihre Axe PQ sich zum Durchmesser AB wie 100 : 101 verhielte; alsdann die Schwere im Orte Q sich zur Schwere in demselben Orte, aber auf einer Kugel zum Mittelpunkt C und Radius CP oder CQ verhalten würde, wie 126 : 125.^[24]

Durch dasselbe Raisonnement findet man, dass die Schwere im Orte A eines durch Umdrehung der Ellipse APBQ um die Axe AB beschriebenen Elipsoïds sich zur Schwere in demselben Orte A auf einer, um C als Mittelpunkt und mit CA als Radius beschriebenen Kugel verhalte, wie 125 : 126.^[25]

Ferner ist die Schwere im Orte A auf der Erde die mittlere Proportionale zwischen der Schwerkraft auf diesem Sphäroïd und der auf dieser Kugel stattfindenden. Die letztere wurde nämlich, wenn man ihren Durchmesser im Verhältniss 101 : 100 verminderte, in die Figur der Erde übergehen, und eben so wurde diese Figur, durch in gleichem Verhältniss ausgeführte Verminderung des auf beide Durchmesser AB und PQ perpendiculären Durchmessers in das benannte Sphäroïd übergehen. In dem einen und andern Falle würde die Schwere in A sehr nahe in demselben Verhältniss kleiner werden.^[26]

Es verhält sich daher die Schwere in A auf der, zum Radius CA und Mittelpunkt C gehörigen Kugel, zur Schwere in demselben Punkte auf der Erde, wie 126 : 125,5, und die Schwere in Q auf der zum Radius CQ gehörigen Kugel, zur Schwere im Punkt A auf der nun Radius CA gehörigen Kugel, wie ihre Durchmesser (nach §. 114. des ersten Buches), d. h. wie 100 : 101.

Verbindet man die drei Verhältnisse

126 : 125,0

126 : 125,5

100 : 101,0

mit einander, so erhält man das Verhältniss der Schwere auf der Erde im Orte Q, zur Schwere auf derselben im Orte A = 501 : 500.^[27]

Nach §. 137., Zusatz 3. des erstes Buches ist nun aber die Schwere in jedem der beiden Schenkel ACca und QCcq des Kanals, dem Abstande des jedesmaligen Ortes vom Centrum der Erde proportional. Werden daher diese Schenkel durch transversale und gleich weit von einander abstehende Oberflächen in Stücke, welche den ganzen proportional sind, getheilt; so werden die Gewichte einer beliebigen Anzahl von Stücken eines dieser Schenkel, zu den Gewichten von eben so viel Stücken des anderen Schenkels in einem Verhältniss stehen, welches aus der Menge der Materie und der beschleunigenden Kraft zusammengesetzt ist, d. h. in dem Verhältniss 101 · 500 : 100 · 501 = 505 : 501.

Wenn daher die Centrifugalkraft eines beliebigen Stückes vom Schenkel ACca, welche aus der täglichen Bewegung entspringt, sich zum Gewichte desselben Stückes verhielte, wie 4 : 505; dergestalt, dass von dem Gewichte dieses in 505 Theile zerlegten Stückes die Centrifugalkraft deren 4 fortnähme: so würden die Gewichte in beiden Schenkeln gleich und daher die Flüssigkeit im Gleichgewicht bleiben.

Allein die Centrifugalkraft eines beliebigen Stückes verhält sich zu dessen Gewicht, wie 1 : 289, d. h. die Centrifugalkraft, welche 4/505 des Gewichtes betragen sollte, beträgt nur 1/289. Man kann daher durch eine einfache Proportion finden, dass, wenn vermöge der Centrifugalkraft = 4/505 die Höhe des Wassers im Schenkel ACca die Höhe des im Schenkel QCcq befindlichen Wassers um 1/100 ganzen Höhe übertrifft, alsdann die Centrifugalkraft = 1/289 nur einen analogen Unterschied von 1/229 der ganzen Höhe hervorbringen wird. Der Durchmesser der Erde, welcher durch ihre Pole geht, wird sich daher zum Durchmesser des Aequators verhalten, wie 229 : 230.

Nach Picard’s Messung ist nun der mittlere Halbmesser der Erde = 19615800 Par. Fuss = 3923,16 Meilen (die Meile = 5000 Fuss vorausgesetzt); daher wird die Erde am Aequator höher sein, als am Pole um 85472 Fuss = 171/10 Meilen

und die Höhe	am Aequator	selbst	ungefähr	= 19658600	Fuss
	an den Polen	„	„	= 19573000	„

Ist ein Planet kleiner oder grösser als die Erde, seine Dichtigkeit aber und die Dauer der täglichen Umdrehung dieselbe; so wird auch das Verhältniss der Centrifugalkraft zur Schwere dasselbe bleiben und daher auch das Verhältniss der Axe zum Durchmesser des Aequators dasselbe sein.

Wenn die tägliche Bewegung in einem beliebigen Verhältniss beschleunigt oder verzögert wird, so nimmt die Centrifugalkraft im doppelten Verhältniss zu oder ab, und folglich nimmt auch der Unterschied der Durchmesser nahe in demselben doppelten Verhältniss zu oder ab. Nimmt die Dichtigkeit des Planeten in irgend einem Verhältniss zu oder ab, so wird die gegen ihn gerichtete Schwere in demselben Verhältniss grösser oder kleiner. Der Unterschied der Durchmesser wird aber im Gegentheil in dem Verhältniss, wie die Schwere wächst kleiner werden und grösser in dem Verhältniss, wie jene abnimmt. Nun dreht sich, in Bezug auf die Fixsterne,

die Erde in	23^h 56^m	um die Axe;
der Jupiter in	09 h 56m	um die Axe;

also verhalten sich die Quadrate dieser Zeiten, wie 29 : 5 ferner ihre Dichtigkeiten wie 400 : 94,5 (§. 10., Zusatz 3.).

Hiernach wird der Unterschied der Durchmesser des Jupiters sich zum kleinen Durchmesser verhalten, wie

\scriptstyle {\frac {29}{5}}\cdot {\frac {400}{94,5}}\cdot {\frac {1}{229}}

: 1, d. h. nahe wie 1 : 9⅓.

Der Durchmesser des Jupiters von Ost nach West verhält sich also zum Durchmesser zwischen den Polen sehr nahe, wie 10⅓ : 9⅓.

Da nun der grösste scheinbare Durchmesser = 37″ ist, so ist der kleinste = 33″ 25‴, und addirt man zu jedem 3″ wegen des falschen Lichtes (lux erratica); so werden die scheinbaren Durchmesser dieses Planeten 40″ und 36″ 25‴ sein, d. h. sich nahezu verhalten wie 111/6 : 101/6.

Dieses Verhältniss soll aber nur unter der Voraussetzung gelten, dass alle Materie des Jupiters gleich dicht sei. Wäre sie nämlich in der Nähe des Aequators dichter, als gegen die Pole zu, so würden ihre Durchmesser sich verhalten können, wie 12 : 11, oder 13 : 12, oder selbst wie 14 : 13.

Cassini beobachtete im Jahre 1691, dass der Durchmesser des Jupiters von Osten gegen Westen den Durchmesser zwischen den Polen um 1/15 übertraf. Unser Landsmann Pound maass mit einem Fernrohre von 123 Fuss Länge und einem vortrefflichen Mikrometer die Durchmesser des Jupiters im Jahre 1719 und fand sie wie die folgende Tabelle angibt:

Zeit.		Grosser Durchmesser.	Kleiner Durchmesser.	Verhältniss beider.
Januar	28 6^h	13,40 Theile	12,28 Theile	12 : 11
März	06 7	13,12 „	12,20 „	13¾ : 12¾
„	09 7	13,12 „	12,08 „	12⅔ : 11⅔
April	09 9	12,32 „	11,48 „	[1]14½ : 13½^[28]

Diese Theorie stimmt mit den Erscheinungen überein. Die Planeten werden nämlich in der Nähe ihres Aequators sich stärker am Sonnenlicht erwärmen und mehr ausgedörrt werden, als an den Polen.

Dass die Schwere unter dem Aequator, durch die tägliche Bewegung unserer Erde geringer werde und letztere daher mehr am Aequator als an den Polen gehoben werden müsse (wenn die Materie gleichförmig dicht ist), wird sich klarer durch die Pendelversuche zeigen, welche ich im folgenden Paragraphen besprechen will.

§. 24. Aufgabe. Man soll die Gewichte der Körper in verschiedenen Gegenden der Erde bestimmen und mit einander vergleichen.

Die Gewichte des, in den ungleichen Schenkeln (Figur 188.) des Kanals ACQqca eingeschlossenen, Wassers sind gleich, und die Gewichte ihrer Theile, welche den Schenkeln proportional und auf dieselbe Weise in ihrem Ganzen gelegen sind, verhalten sich zu einander, wie ihre ganzen Gewichte und sind daher einander gleich. Daher werden solche Gewichte, welche gleich und in diesen Schenkeln gleich gelegen sind, sich umgekehrt wie diese Schenkel, d. h. wie 230 : 229 verhalten. Dieselbe Bewandtniss hat es mit allen beliebigen gleichartigen und gleichen Körpern, welche in den Schenkeln dieses Kanals ähnlich gelegen sind; ihre Gewichte werden sich umgekehrt wie diese Schenkel verhalten, d. h. umgekehrt wie die Entfernungen dieser Körper vom Mittelpunkte der Erde. Ferner werden die Gewichte der, an den oberen Enden dieser Kanäle oder an der Oberfläche der Erde gelegenen, Körper sich untereinander umgekehrt wie ihre Entfernung vom Mittelpunkte verhalten.

Aus demselben Grunde sind die Gewichte, in jeder anderen beliebigen Gegend auf der Oberfläche der Erde, den Entfernungen ihrer Orte vom Mittelpunkte der Erde umgekehrt proportional; folglich wird unter der Voraussetzung, dass die Erde ein Sphäroïd sei, ihr Verhältniss gegeben sein. Hieraus leitet man folgenden Satz ab: Beim Fortgange vom Aequator nach den Polen zu wird die Gewicht-Zunahme sehr nahe dem Sinus versus der doppelten Breite oder, was dasselbe ist, dem Quadrat des Sinus der Breite proportional.^[29] Die Bogen der Breitengrade im Meridian wachsen sehr nahe in demselben Verhältniss.^[30] Nun ist die Breite von Paris = 48° 50′, die Breite der unter dem Aequator liegenden Orte = 0° 0′ und endlich die Breite der unter den Polen liegenden = 90°. Die Sinus versus der doppelten Bogen sind folglich respective 11334, 0, 20000, für den Radius = 10000. Ferner verhält sich die Schwere an den Polen zu der unter dem Aequator stattfindenden, wie 230 : 229, also der Ueberschuss der ersteren Schwere über die letztere wie 1 : 229. Man findet daher, dass der Ueberschuss der in der Breite von Paris stattfindenden Schwere sich zu der unter dem Aequator stattfindenden Schwere verhält, wie 1 · $\scriptstyle {\frac {11334}{20000}}$ : 229 = 5667 : 2290000. Die ganzen Schwerkräfte an diesen beiden Orten verhalten sich daher wie 2295667 : 2290000.

Da nun die Längen der Pendel, welche ihre Schwingungen in gleichen Zeiten ausführen, im directen Verhältniss der Schwerkräfte stehen; da ferner die Länge des Secundenpendels in der Breite von Paris = 3 Fuss 8½ Linien, oder vielmehr, wegen des Gewichts der Luft = 3 Fuss 85/9 Linien ist: so wird die Länge des Pendels unter dem Aequator um 1,087 Linien kleiner sein, als die des synchronischen Pendels von Paris.^[31]

Durch eine ähnliche Rechnung habe ich die folgende Tafel erhalten:

Breite des Ortes.	Pendellänge.		Länge eine Meridiangrades.
Grad.	Fuss.	Linien.	Toisen.
00 05 10 15 20 25 30 35 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 55 60 65 70 75 80 85 90	3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3	7,468 7,482 7,526 7,596 7,692 7,812 7,948 8,099 8,261 8,294 8,327 8,361 8,394 8,428 8,461 8,494 8,528 8,561 8,594 8,756 8,907 9,044 9,162 9,258 9,329 9,372 9,387	56637 56642 56659 56687 56724 56769 56823 56882 56945 56958 56971 56984 56997 57010 57022 57035 57048 57061 57074 57137 57196 57250 57295 57332 57360 57377 57382

Man ersieht aus dieser Tafel, dass die Ungleichheit der Grade so gering ist, dass man in der Geographie die Erde als kugelförmig ansehen kann; besonders wenn die Materie am Aequator etwas dichter ist, als in der Nähe der Pole.

Einige Astronomen, welche nach sehr entfernten Gegenden gesandt worden waren, um daselbst astronomische Beobachtungen anzustellen, bemerkten, dass die Bewegung der Pendeluhren am Aequator langsamer war, als in unseren Gegenden. Richer war der erste, welcher dies im Jahre 1672 auf der Insel Cayenne wahrnahm. Als er im Monat August den Durchgang der Fixsterne durch den Meridian beobachtete, fand er, dass seine Pendeluhr gegen die mittlere Bewegung der Sonne retardirte, und zwar betrug der tägliche Unterschied 2^m 28^s.

Er liess hierauf ein einfaches Pendel so schwingen, dass seine Schwingungen mit denen der sehr guten Pendeluhr isochronisch wurden, bestimmte so die Länge des ersteren und wiederholte seine Versuche 10 Monate hindurch mehrere Male in jeder Woche. Als er nach Frankreich zurückgekehrt war, verglich er die Länge dieses Pendels mit der Länge des Secundenpendels zu Paris (welche 3 Fuss 83/5 Linien pariser Maass betrug) und fand das Pendel unter dem Aequator um 1¼ Linie kürzer, als das zu Paris.

Nach dieser Zeit fand unser Landsmann Halley um das Jahr

[407] 1677, dass auf St. Helena die Bewegung einer Pendeluhr langsamer war, als in London. Er bestimmte den Unterschied nicht, verkürzte jedoch sein Pendel um mehr als 1/8 Zoll oder 1½ Linien. Um diese Operation auszuführen, brachte er, da die Länge der Schraube am unteren Theile des Pendels nicht ausreichte, einen hölzernen Ring an der Schraubenhülse an und hing daran das Gewicht des Pendels auf.

Hierauf bestimmten im Jahre 1682 Varin und Deshayes die Länge des Secundenpendels auf der Pariser Sternwarte zu 3 Fuss 85/9 Linien und fanden nach derselben Methode die Länge des synchronischen Pendels auf der Insel Gorea gleich 3 Fuss 65/9 Linien; also einen Unterschied von 2 Linien.

In demselben Jahre fanden sie auf den Inseln Guadeloupe und Martinique die Länge des synchronischen Pendels gleich 3 Fuss 6½ Linien.

Couplet der Jüngere regulirte im Juli 1697 auf der Pariser Sternwarte seine Pendeluhr nach mittlerer Sonnenzeit, so dass sie geraume Zeit hindurch mit der mittleren Bewegung der Sonne übereinstimmte. Als er sich im darauf folgenden November zu Lissabon befand, bemerkte er, dass dieselbe Pendeluhr retardirte und zwar in 24 Stunden um 2^m 18^s.

Im darauf folgenden März fand er zu Paraïbo eine 24stündige Verzögerung derselben Uhr gegen Paris von 4^m 12^s.

Er versichert ferner, dass das Secunden schlagende Pendel zu Lissabon um 2½ Linien und zu Paraïbo um 3⅔ Linien kürzer war, als das Secundenpendel zu Paris. Er würde diese Unterschiede richtiger angegeben haben, wenn er dafür respective 1⅓ und 25/9 Linien gesetzt hätte; denn diese Unterschiede entsprechen den von ihm beobachteten Zeitunterschieden von 2^m 13^s und 4^m 12^s. Man darf also diesen rohern Versuchen kein grosses Vertrauen schenken.

In den folgenden Jahren, d. h. 1699 und 1700 bestimmte Deshayes, bei seinem neuen Aufenthalte in Amerika, die Länge des Secundenpendels auf den Inseln Cayenne und Granada etwas kleiner als 3 Fuss 6½ Linien. Auf der Insel St. Christoph fand er diese Länge = 3 Fuss 6¾ Linien, und auf St. Domingo = 3 Fuss 7 Linien.

Im Jahre 1704 fand Feuillén zu Portobello in Amerika die Länge des Secundenpendels = 3 Fuss 57/12 Linien, d. h. fast 3 Linien kürzer als in Paris. Er muss jedoch bei seinen Beobachtungen einen Fehler begangen haben, denn als er hierauf nach Martinique gekommen war, fand er die Länge des isochronischen Pendels nur = 3 Fuss 510/12 Linien.

Nun ist für		die Breite
	Paraïbo	– 06°	38′
	Portobello	+ 09	33
	Cayenne	+ 04	55
	Gorea	+ 14	40
[408]	Guadeloupe	+ 14	00
	Martinique	+ 14	44
	Granada	+ 12	06
	St. Christoph.	+ 17	19
	St. Domingo	+ 19	48.

Der Ueberschuss der Pendellänge in Paris über die in diesen Breiten beobachteten Längen des isochronischen Pendels ist ein wenig grösser, als die oben berechnete Tabelle der Pendellängen angiebt. Die Erde muss also am Aequator etwas stärker erhöht sein, als die frühere Rechnung es ergiebt, und ihre Materie muss in der Nähe des Mittelpunktes dichter sein, als nahe an ihrer Oberfläche; vorausgesetzt indessen, dass die Wärme der heissen Zone die Länge des Pendels nicht etwas vergrössert habe.

Picard hat beobachtet, dass eine Eisenstange, welche beim Frostwetter 1 Fuss lang war, nachdem man sie durch Feuer etwas erwärmt hatte, eine Länge von 1 Fuss und ¼ Linie annahm. Später machte De la Hire die Bemerkung, dass eine während des Winters 6 Fuss lange Eisenstange 6 Fuss und ⅔ Linien lang wurde, als sie im Sommer der Sonnenwärme ausgesetzt worden war. Im ersten Falle war die Wärme grösser als im zweiten, in diesem aber grösser, als die Wärme der äusseren Theile des menschlichen Körpers; denn die Metalle erlangen eine grosse Wärme, wenn man sie im Sommer der Einwirkung der Sonne aussetzt. Das Pendel einer Uhr wird aber niemals der Sonne ausgesetzt, und erlangt selbst nie die Wärme der äusseren Theile des menschlichen Körpers. Das Pendel, dessen Länge 3 Fuss betrug, konnte also im Sommer nie mehr als ¼ Linie länger werden, als im Winter; folglich kann man die Unterschiede, welche sich zwischen der Länge isochronischer Pendel in verschiedenen Gegenden zeigen, nicht dem Temperatur-Unterschiede der Klimate zuschreiben. Sie können eben so wenig den, in die Beobachtungen der französischen Astronomen eingeschlichenen, Fehlern zugeschrieben werden; denn obgleich sie nicht vollkommen unter sich übereinstimmen, so sind doch die Fehler so klein, dass man sie vernachlässigen kann. Diese Beobachtungen stimmen alle darin überein, dass sie die isochronischen Pendel in der Nähe des Aequators kürzer ergeben, als auf der pariser Sternwarte, und nach allen ist der Unterschied nie < 1¼ Linien und > 2⅔ Linien. In den Beobachtungen von Richer zu Cayenne betrug der Unterschied 1¼ Linien, in denen von Deshayes der corrigirte Unterschied 1½ oder 1¾ Linien und in den anderen weniger genauen Beobachtungen ungefähr 2 Linien. Diese Verschiedenheit der Angaben muss man zum Theil den begangenen Beobachtungsfehlern, zum Theil der Unähnlichkeit der inneren Theile unserer Erde und der verschiedenen Höhe der Gebirge, zum Theil endlich der verschiedenen Temperatur der Luft zuschreiben.

Eine 3 Fuss lange Eisenstange ist in England während des Winters um 1/6 Linie kürzer, als im Sommer, so weit ich es beurtheilen konnte.

Nimmt man diesen, durch die Wärme verursachten, Unterschied von den 1¼ Linien, welche Richer gefunden hat, fort; so bleibt immer noch ein Längen-Unterschied von 11/12 Linien, welcher genügend mit dem, früher durch die Theorie gefundenen, von 187/1000 Linien übereinstimmt. Richer wiederholte seine Beobachtungen zu Cayenne, 10 Monate hindurch, in jeder Woche und verglich die Länge des Pendels an diesem Orte mit der in Frankreich bestimmten Länge desselben. Die anderen Beobachter haben ihre Bestimmungen nicht mit derselben Sorgfalt und Vorsicht angestellt, und sieht man daher Richer’s Beobachtungen als genau an, so folgt daraus, dass die Erde am Aequator ungefähr um 17 Meilen höher sein müsse, als an den Polen, wie die vorhergehende Theorie es ergeben hat.^[32]

§. 25. Lehrsatz. Die Aequinoctialpunkte schreiten zurück, und die Erdaxe befindet sich bei jedem jährlichen Umlaufe in einer wankenden Bewegung (Nutation), vermöge welcher sie sich zweimal der Ekliptik nähert und zweimal in ihre erste Lage zurückkehrt.

Dies wird durch §. 107., Zusatz 20. des ersten Buches erwiesen; die Nutation muss aber sehr schwach sein und man kann sie kaum bemerken.^[33]

§. 26. Lehrsatz. Alle Bewegungen des Mondes und alle Ungleichheiten folgen aus den angeführten Principien.

Während die grösseren Planeten sich um die Sonne bewegen, können sie auf ihrer Bahn andere kleinere Planeten mit sich führen, welche sich in Ellipsen um sie drehen, in deren Brennpunkt der Mittelpunkt der grösseren Planeten liegt. Dies ist nach §. 106. des ersten Buches klar. Die Bewegungen der kleinen Planeten werden auf mehrfache Weise durch die Einwirkung der Sonne gestört, indem diese solche Ungleichheiten in ihrer Bewegung hervorbringen muss, wie man sie an unserem Monde wahrnimmt. In den Syzygien bewegt sich derselbe (nach §. 107., Zusatz 2., 3., 4. und 5.) geschwinder und beschreibt mit dem nach der Erde gezogenen Radius in gleichen Zeiten grössere Flächenräume, er durchläuft eine weniger gekrümmte Bahn und nähert sich folglich der Erde mehr, als in den Quadraturen; so weit nicht seine excentrische Bewegung dies verhindert. Die Excentricität des Mondes ist nämlich am grössten (nach §. 107., Zusatz 9.), wenn sein Apogeum in den Syzygien, und am kleinsten, wenn es in den Quadraturen liegt. Der Mond geht daher im Perigeum schneller und ist der Erde näher, und umgekehrt bewegt er sich im Apogeum langsamer und ist weiter von der Erde entfernt, wenn er sich in den Syzygien befindet, als wenn er in den Quadraturen stände. Ferner schreitet das Apogeum vorwärts, die Knoten bewegen sich hingegen rückwärts, jedoch mit ungleicher Bewegung.^[34] Das Apogeum geht (nach §. 107., Zusatz 7. und 8.) schneller vorwärts in den Syzygien und langsamer rückwärts in den Quadraturen, und durch den Ueberschuss der rechtläufigen Bewegung über die rückgängige geht es jährlich in rechtläufiger Richtung fort. Die Knoten befinden sich aber (nach §. 107., Zusatz 2.) in den Syzygien in Ruhe und gehen in den Quadraturen sehr schnell rückwärts. Was die grösste Breite des Mondes betrifft, so ist sie grösser in den Quadraturen, als in den Syzygien (nach §. 107., Zusatz 10.). Die mittlere Bewegung ist (nach §. 107., Zusatz 6.) langsamer im Perihel der Erde, als in ihrem Aphel. Dies sind die ausgezeichnetsten Ungleichheiten, welche die Astronomen in der Bewegung des Mondes wahrgenommen haben.

Es giebt deren noch einige andere, welche von den früheren Astronomen nicht beobachtet worden sind, und welche dermaassen die Bewegung des Mondes stören, dass man sie bis jetzt durch kein Gesetz auf eine bestimmte Regel hat zurückführen können. Solche sind die Geschwindigkeiten oder die stündlichen Bewegungen des Apogeums und der Knoten des Mondes, und ihre Gleichungen, so wie auch der Unterschied zwischen der grössten Excentricität in den Syzygien und der kleinsten in den Quadraturen, wie auch die Ungleichheit, welche man die Variation nennt. Alle diese Grössen nehmen jährlich (nach §. 107., Zusatz 14.) im dreifachen Verhältniss des scheinbaren Durchmessers der Sonne zu und ab. Ferner nimmt die Variation sehr nahe im doppelten Verhältniss der Zeit, welche zwischen den Quadraturen verfliesst, zu und ab (nach §. 10., Zusatz 1. und 2. und §. 107., Zusatz 16. des ersten Buches). Diese Ungleichheit wird aber gewöhnlich in den astronomischen Rechnungen auf die Mittelpunktsgleichung des Mondes bezogen und mit ihr verbunden.

§. 27. Aufgabe. Die Ungleichheiten in den Bewegungen der Jupiters- und der Saturnstrabanten aus den Bewegungen des Mondes abzuleiten.

Man kann aus den Bewegungen unseres Mondes die analogen Bewegungen der Monde oder Trabanten des Jupiters folgendermaassen ableiten. Nach §. 107., Zusatz 16. des ersten Buches steht die mittlere Bewegung der Knoten des äussersten Jupiterstrabanten zur mittleren Bewegung der Knoten unseres Mondes in einem Verhältniss, welches aus dem doppelten Verhältniss der Umlaufszeit der Erde zur Umlaufszeit des Jupiters um die Sonne und dem einfachen Verhältniss der Umlaufszeit des Trabanten um den Jupiter zur Umlaufszeit des Mondes um die Erde zusammengesetzt ist. Hiernach werden in 100 Jahren die Knoten des vierten Trabanten sich um 8° 24′ rückgängig bewegen.^[35]

Nach demselben Zusatz verhalten sich die mittleren Bewegungen der Knoten der inneren Trabanten zur Bewegung der Knoten des vorher besprochenen, wie die Umlaufszeiten jener zur Umlaufszeit dieses Trabanten; sie sind daher gegeben.

Aus demselben Zusatze folgt auch noch, dass die rechtläufige Bewegung der oberen Apside eines Trabanten sich zur rückläufigen Bewegung seiner Knoten verhält, wie die Bewegung des Apogeums unseres Mondes, zur Bewegung seiner Knoten. Sie ist daher ebenfalls gegeben. Die so gefundene Bewegung der oberen Apside muss jedoch in dem Verhältniss 5 : 9 oder beiläufig 1 : 2 vermindert werden, aus einem Grunde, der hier nicht füglich auseinander zu setzen ist.

Die grössten Gleichungen der Knoten und der oberen Apside eines beliebigen Trabanten verhalten sich sehr nahe zu den grössten Gleichungen der Knoten und des Apogeums unseres Mondes, wie respective die Bewegung der beiden ersten in der Zeit eines Umlaufes der ersten Gleichungen, zur Bewegung der beiden letzten in der Zeit eines Umlaufes der letzteren Gleichungen.

Die Variation eines Satelliten, wie man sie vom Jupiter aus wahrnehmen würde, verhält sich zur Variation des Mondes, wie sich die ganzen Bewegungen der beiderseitigen Knoten, während der Umlaufszeiten des Trabanten und des Mondes um die Sonne verhalten. Dies ergibt sich aus demselben Zusatz. Beim 4. Trabanten übertrifft sie nicht 5″,2.^[36]

§. 28. Lehrsatz. Die Ebbe und Fluth des Meeres werden durch die Wirkungen der Sonne und des Mondes hervorgebracht.

Nach §. 107., Zusatz 19. und 20. des ersten Buches sieht man, dass das Meer sich zweimal, während eines Sonnen- und eines Mondtages heben und senken, und dass die grösste Erhebung des Wassers im freien und tiefen Meere dem Durchgange des Gestirns durch den Meridian in einem Zeitraum folgen muss, der kürzer ist, als 6 Stunden. Dies geschieht wirklich im Atlantischen und Aethiopischen Meere, auf dem ganzen östlichen Strich zwischen Frankreich und dem Vorgebirge der guten Hoffnung; wie auch im Stillen Meere, an den Küsten von Chili und Peru. An allen diesen Küsten treffen nämlich die Fluthen in der zweiten, dritten und vierten Stunde ein, mit Ausnahme derjenigen Orte, wo die vom tiefen Meere durch Untiefen fortgepflanzten Fluthen bis zur fünften, sechsten Stunde und zuweilen noch darüber hinaus verzögert werden. Ich zähle hierbei die Stunden von dem Durchgange des einen oder des anderen Gestirns durch den Meridian des Ortes, so wohl über als unter dem Horizont, an und verstehe unter einer Stunde den 24sten Theil der Zeit, welche der Mond bei seiner scheinbaren täglichen Bewegung gebraucht, um zum Meridian des Ortes zurückzukehren.

Die grösste Kraft der Sonne oder des Mondes, um die Gewässer des Meeres zu heben, findet in demselben Augenblick statt, in welchem diese Gestirne den Meridian des Ortes erreichen. Die Kraft, welche sie alsdann auf das Meer ausüben, hält daselbst während einer gewissen Zeit an, und nimmt durch die neue ihr hierauf beigebrachte Kraft zu, bis das Meer zu seiner grössten Höhe gelangt. Dies geschieht in Zeit von 1, 2 oder öfters von 3 Stunden an den Küsten; oder selbst in einem längeren Zeitraum, wenn das Meer viel Sandbänke hat.

Die beiden Bewegungen, welche durch diese Gestirne hervorgebracht werden, kann man nicht jede für sich wahrnehmen, sondern es bildet sich daraus eine zusammengesetzte Bewegung. In der Conjunction oder Opposition beider Gestirne treffen ihre Wirkungen zusammen und verursachen die grösste Fluth. In den Quadraturen hebt die Sonne das Wasser zu der Zeit, wo der Mond es senkt, und senkt es, wenn dieser es hebt. Die Ebbe und Fluth ist alsdann das Resultat des Unterschiedes beider entgegengesetzt wirkenden Kräfte, und daher dann am kleinsten. Da nun die Erfahrung lehrt, dass der Mond eine grössere Wirkung auf das Meer ausübt, als die Sonne; so tritt die grösste Höhe des Wassers beiläufig um die dritte Mondstunde ein. Ausserhalb der Syzygien und Quadraturen müsste die grösste Höhe des Wassers, in Folge der blossen Einwirkung des Mondes, zur dritten Mondstunde, und in Folge der blossen Einwirkung der Sonne, um die dritte Sonnenstunde eintreten. Durch diese zusammengesetzten Einwirkungen wird sie zu einer zwischenliegenden Zeit eintreten, die aber der dritten Mondstunde näher liegt, als der dritten Sonnenstunde. Beim Uebergange des Mondes von den Syzygien zu den Quadraturen, wo die dritte Sonnenstunde der dritten Mondstunde vorangeht, wird auch die grösste Höhe des Wassers der dritten Mondstunde vorangehen, und zwar um eine Zwischenzeit, welche ein wenig nach den Octanten des Mondes am grössten ist. Beim Uebergange von den Quadraturen zu den Syzygien findet das Entgegengesetzte statt; die grösste Fluth folgt auf die dritte Mondstunde und zwar nach Zwischenzeiten, welche denjenigen gleich sind, um welche sie ihr vorher voranging.

Dies sind die Gesetze der Ebbe und Fluth in den freien Meeren. An den Mündungen der Flüsse aber gelangen, unter übrigens gleichen Umständen, die grössten Fluthen später zur Spitze. Die Wirkungen beider Gestirne sind von ihren Abständen von der Erde abhängig; in kleineren Abständen bringen sie nämlich grössere, in grösseren kleinere Wirkungen hervor, und zwar stehen die letzteren im dreifachen Verhältniss ihrer scheinbaren Durchmesser. Da nun die Sonne sich während des Winters in ihrer Erdnähe befindet, so wirkt sie stärker auf das Meer und daher sind (unter sonst gleichen Umständen) die Fluthen der Syzygien etwas grösser, die Fluthen der Quadraturen etwas kleiner im Winter als im Sommer. Der Mond kommt jeden Monat in seine Erdnähe, und daher sind alsdann die Fluthen grösser, als 15 Tage vor- oder nachher, wo er sich in seiner Erdferne befindet. Durch diese beiden Ursachen wird bewirkt, dass in zwei benachbarten Syzygien die beiden grössten Fluthen nicht genau auf einander folgen.

Die Wirkungen beider Gestirne hängen auch von ihrer Declination, oder ihrem Abstande vom Aequator ab. Befände sich nämlich das Gestirn im Pole, so würde es die einzelnen Theile des Wassers auf constante Weise anziehen, ohne dass seine Wirkung grösser oder kleiner würde und folglich würde es keine wechselnde Bewegung hervorbringen. Entfernen sich also diese Gestirne vom Aequator nach den Polen hin, so müssen ihre Wirkungen allmählig schwächer werden und daher in den Syzygien der Solstitien kleinere Fluthen verursachen, als in den Syzygien der Aequinoctien. In den Quadraturen der Solstitien hingegen müssen die Fluthen grösser sein, als in den Quadraturen der Aequinoctien; weil die Wirkungen des Mondes, welcher sich alsdann im Aequator befindet, diejenigen der Sonne bei weitem übertrifft. Die grössten Fluthen treten demnach in den Syzygien, und die kleinsten in den Quadraturen, zu den Zeiten beider Aequinoctien ein; ferner wird die grösste Fluth in den Syzygien, wie die Erfahrung lehrt, immer von der kleinsten in den Quadraturen begleitet.

Da die Sonne im Winter weniger von der Erde entfernt ist, als im Sommer, so wird die grösste und kleinste Ebbe und Fluth häufiger dem Frühlings-Aequinoctium vorangehen, als ihm nachfolgen, und häufiger dem Herbst-Aequinoctium folgen, als ihm vorangehen.

Fig. 189.

Die Wirkungen beider Gestirne hängen noch von der Breite des Ortes ab. Es stelle ApEP die überall von einem sehr tiefen Meere bedeckte Erde vor, C sei ihr Mittelpunkt, P und p ihre Pole, und AE der Aequator. F sei ein beliebiger, ausserhalb des Aequators angenommener Ort, und Ff der Parallel desselben, so wie Dd derjenige Parallel, welcher jenem auf der anderen Seite des Aequators entspricht. L sei der Ort, an welchem der Mond sich 3 Stunden früher befand, H der ihm perpendikulär auf der Erde entsprechende, so wie h der dem letzteren entgegengesetzte Ort. K und k seien die Oerter, welche von jenen um 90° abstehen; CH und Ch die grössten Höhen des Meeres, vom Mittelpunkte der Erde an gemessen, so wie CK und Ck die kleinsten Höhen desselben. Beschreibt man über den Axen Hh und Kk eine Ellipse, so wird dieselbe durch ihre Umdrehung um die grösste Axe Hh ein Sphäroïd HPKhpk beschreiben, welches sehr nahe die Figur des Meeres darstellt. CF, Cf, CD und Cd werden die Höhen des Meeres in den Orten F, f, D, d sein.

Beschreibt ferner bei der besprochenen Umdrehung der Ellipse der beliebige Punkt N einen Kreis MN, welcher die Parallelen Ff und Dd in den Punkten R und T, so wie den Aequator AE in S schneidet; so wird CN die Höhe des Meeres in allen, auf diesem Kreise gelegenen Orten R, S, T sein. Bei der täglichen Umdrehung eines beliebigen Ortes F, wird die grösste Erhöhung des Wassers in F um die dritte Stunde nach der oberen Culmination des Mondes stattfinden. Die grösste Senkung wird in Q, drei Stunden nach dem Untergang des Mondes, hierauf die grösste Erhebung in f, drei Stunden nach der unteren Culmination und endlich die grösste Senkung in Q, drei Stunden nach dem Aufgang des Mondes stattfinden. Die letzte Erhebung des Wassers in f wird kleiner sein, als die erste in F.

Denken wir uns das ganze Meer in zwei halbkugelförmige Ströme getheilt, von denen der eine, nach Norden gerichtete, sich auf der Halbkugel KHk, der andere nach Süden gerichtete, sich auf der entgegengesetzten Halbkugel Khk befindet. Diese Ströme sind einander immer entgegengesetzt, und kommen nach der Reihe in den Meridian jedes Ortes auf der Erde, in der Zwischenzeit von 12 Mondstunden. Da aber die nördlichen Gegenden mehr am nördlichen Strome, die südlichen am südlichen Antheil haben; so müssen sich zusammengesetzte Fluthen bilden, welche wechselweise grösser und kleiner in jedem Orte ausserhalb des Aequators sind, in welchem beide Gestirne auf- und untergehen. Die grösste Fluth wird also, wenn der Mond gegen das Zenit des Ortes hin abweicht, nahe auf die dritte Stunde nach der oberen Culmination des Mondes fallen; wechselt die Abweichung des Mondes, so wird diese Fluth die kleinste werden. Der grösste Unterschied dieser Fluthen trifft auf die Zeit der Solstitien, besonders wenn der aufsteigende Knoten des Mondes im ersten Punkte des Widders liegt. Dies stimmt mit der Erfahrung überein, denn im Winter sind die Morgenfluthen grösser, als die des Abends; im Sommer ist das Umgekehrte der Fall. In Plymouth steigt dieser Unterschied auf 1 Fuss, in Bristol auf 15 Zoll, wie Colepress und Sturm beobachtet haben.

Die Bewegungen des Meeres, von denen ich bisher gesprochen habe, werden ein wenig durch diese wechselseitige Kraft der Gewässer geändert, vermöge welcher die Fluth noch einige Zeit wird fortdauern können, obgleich die Einwirkung beider Gestirne bereits aufgehört hat. Diese Erhaltung der Bewegung, wenn letztere einmal beigebracht ist, vermindert den Unterschied der wechselseitigen Fluthen und bewirkt, dass die unmittelbar nach den Syzygien eintretenden grösser und die nach den Quadraturen kleiner ausfallen. Desshalb sind die wechselseitigen Fluthen in Plymouth und Bristol nicht um viel mehr als 1 Fuss oder 15 Zoll von einander verschieden, dergestalt dass die grössten Fluthen in diesen Häfen nicht die ersten, sondern die dritten nach den Syzygien sind. Alle diese Bewegungen werden verzögert, wenn das Meer über Untiefen fortgeht, so dass die allergrössten Fluthen in gewissen Meerengen und Strom-Mündungen nur erst auf den vierten oder fünften Tag nach den Syzygien fallen.

Ferner kann es auch vorkommen, dass die Fluth sich vom Ocean durch verschiedene Meerengen nach demselben Hafen fortpflanzt, und schneller durch die einen als durch die anderen fortgeht. Hierdurch wird dieselbe Fluth in zwei oder mehrere zertheilt, welche nach einander ankommen und sie bildet so neue Bewegungen verschiedener Art. Denken wir uns zwei gleiche Fluthen, welche aus verschiedenen Orten nach demselben Hafen gelangen, und von denen die eine der anderen um 6 Stunden vorangeht, und um die dritte Stunde nach der Culmination des Mondes den Hafen erreicht. Befände sich der Mond bei seiner Culmination im Aequator, so würden alle 6 Stunden gleiche Fluthen eintreten, welche mit gleichen Ebben zusammenträfen. Hierdurch würde bewirkt werden, dass das Wasser während dieses ganzen Tages stillstände. Wiche nun der Mond vom Aequator ab, so würden die Fluthen, welche, wie wir gesehen haben, wechselweise grösser und kleiner werden, sich aus ihm nach diesem Hafen ebenfalls wechselweise zu je zwei grösseren und kleineren Fluthen fortpflanzen. Die beiden grösseren Fluthen würden bewirken, dass das Wasser in der Mitte zwischen beiden seine grösste Höhe erreichte; die grössere und die kleinere, dass das Wasser in der Mitte zwischen beiden zu einer mittleren Höhe gelangte und endlich würde es in der Mitte der beiden kleineren Fluthen die kleinste Höhe erreichen. Demnach würde das Wasser innerhalb 24 Stunden, nicht wie gewöhnlich zweimal, sondern nur einmal seine grösste und einmal seine kleinste Höhe erreichen. Die grösste Höhe des Wassers wird, wenn der Mond nach dem über dem Horizont des Ortes befindlichen Pole hin vom Aequator abweicht, auf die 6te oder 13te Stunde nach der Culmination des Mondes fallen, und sie wird sich in eine Ebbe verwandeln, wenn der Mond die entgegengesetzte Abweichung annimmt.

Halley hat Beispiele von allen diesen Erscheinungen in den Beobachtungen der Piloten zu Batsham, einem Hafen des Königreiches Tunquin, welcher eine nördliche Breite von 20° 50′ hat, gefunden. In diesem Hafen findet gar keine Fluth an dem Tage statt, welcher auf den Durchgang des Mondes durch den Aequator folgt. Wenn der Mond hierauf anfängt, gegen Norden hin abzuweichen, nimmt man den Anfang der Ebbe und Fluth wahr, nicht zweimal des Tages wie in anderen Häfen, sondern nur einmal. Die Fluth tritt ein, wenn der Mond unter-, die Ebbe, wenn er aufgeht. Erstere wächst mit der Abweichung des Mondes, bis zum 7ten oder 8ten Tage, worauf sie während der 7 folgenden Tage in demselben Maasse abnimmt, in welchem sie vorher zugenommen hatte. Geht der Mond in die entgegengesetzte Abweichung über, so hört die Fluth gänzlich auf und verwandelt sich in Ebbe, welche beim Untergange des Mondes eintritt, während die Fluth sich zur Zeit des Aufganges einstellt, bis der Mond wieder die erste Abweichung annimmt. Man gelangt zu diesem Hafen und den ihm benachbarten Orten auf zwei verschiedenen Wegen, der eine im Chinesischen Meere zwischen dem Continente und der Insel Luconia, der andere im Indischen Meere zwischen dem Continente und der Insel Borneo.

Wenn also die Fluthen durch diese Meerengen fortgehend, aus dem Indischen Meere in 12, aus dem Chinesischen in 6 Stunden, also in der dritten und neunten Mondstunde ankommen; so bilden sie die zusammengesetzten Bewegungen. Ob die Beschaffenheit jener Meere eine andere und eigenthümliche sei, dies zu bestimmen überlasse ich den Beobachtungen, welche man an den benachbarten Küsten anstellen kann.

Ich habe bis jetzt die Ursachen der Bewegung des Mondes und der Meere gegeben; es bleibt mir noch übrig, die Grösse derselben zu behandeln.

Bemerkungen und Erläuterungen [des Übersetzers]

↑ [618] No. 201. S. 385. Der Exponent 2 + $\scriptstyle {\frac {4}{243}}$ ist von 2 um $\scriptstyle {\frac {4}{243}}$ , von 3 um $\scriptstyle {\frac {239}{243}}$ entfernt, also dem ersteren Werthe näher als dem zweiten im Verhältniss 4 : 239 = $\scriptstyle {\frac {1}{59{\frac {3}{4}}}}$
↑ [618] No. 202. S. 386. Da der siderische Monat = 27^d 7^st. 43^m ist, so wird 1^m = $\scriptstyle {\frac {1}{39343}}$ der ganzen Umlaufszeit in einem Kreise, dessen Durchmesser = 120 Erdhalbmessern ist. Im Text ist der Umfang der Erde = 123249600 Fuss angenommen worden, woraus der Log seines Halbmesser = [7,2926056] folgt. Betrachtet man nun den kleinen, in 1 Minute durchlaufenen Bogen als mit seiner Sehne identisch, so erhält man den gesuchten Sinus versus = x aus der Proportion
x : $\scriptstyle {\frac {1}{39343}}$ · 2rπ = $\scriptstyle {\frac {1}{39343}}$ 2rπ : 2r

wo log r = 7,2926056; also wird x = 15,009 Fuss.
Diesen Weg legt der Mond vermöge der Kraft zurück, welche ihn in seiner Bahn erhält; dieselbe ist der Unterschied der beiden, nach dem Mittelpunkt der Erde und nach dem Centrum der Sonne gerichteten, [619] Kräfte; sie ist daher kleiner, als jene nach dem Centrum der Erde gerichtete und zwar im Verhältniss 17775 : 17875. Vergrössert man daher den für x gefundenen Werth in eben diesem Verhältniss, so erhält man 15,093 Fuss = 15 Fuss 1 Zoll 17/17 Linien Par. Mass.
↑ [619] No. 203. S. 387. Den Radius der Kreisbahn, welchen der Mond um die im Centrum der Bahn unbewegliche Erde beschreiben würde, ist nämlich kleiner, als der Abstand des Mondes vom Mittelpunkte der Erde, wenn ersterer sich um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt beider Körper bewegte (§. 101. des ersten Buches). Aus diesem Grunde setzt Newton den Radius jener Bahn nur = 60 Halbmessern, obgleich das arithmetische Mittel der grössten und kleinsten Entfernung nicht kleiner als 60½ Halbmesser ist. Dass er in dieser Sache richtig geschlossen habe, hiervon überzeugte er sich dadurch, dass wenn man jenen Abstand von 60 Halbmessern in demjenigen Verhältnisse vergrösserte, in welchem bei unverändertem Gesetze der Schwere der Abstand des Mondes von der beweglichen Erde jenen Radius übertreffen muss, offenbar eine Länge von 60½ Erdhalbmessern herauskommen muss, wie die Astronomen für diese Entfernung gefunden haben.

Fig. 254.
Aus den bisherigen Angaben Newton’s sind die in dieser Bemerkung angeführten Grössen nicht klar zu ersehen, eher aus §§. 10 und 11. des nachgelassenen Werkes vom Weltsystem. Indem man, nach Hansen a. a. O. für die Masse der Erde = S = 1, die Masse des Mondes = P = $\scriptstyle {\frac {1}{87,75}}$ annimmt, erhält man nach §. 101. des ersten Buches a : a¹ = $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{S+P}}:{\sqrt[{3}]{S}}$ also a¹ = $\scriptstyle a{\sqrt[{3}]{\frac {88,75}{87,75}}}$ = 60 · $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{\frac {88,75}{87,75}}}$ = 60,22. Setzt man für a = 60 und a¹ = 60,5; P = $\scriptstyle {\frac {1}{x}}$ ; so folgt x = 39,52, also hat Newton nahe P = $\scriptstyle {\frac {1}{40}}$ angewandt. Ferner ist nach Hansen der mittlere Abstand des Mondes von der Erde L = 52000 g · Meilen, der mittlere Abstand der Erde von der Sonne T = 20,666800 g · M. = 12027 D, wo D der Durchmesser der Erde und wenn R deren Halbmesser ist, 1 g · M. = $\scriptstyle {\frac {24054}{20666800}}$ R
L = $\scriptstyle {\frac {52000\cdot 24054}{20666800}}$ R = 60,592 R.
↑ [620] No. 204. S. 390. Es befinden sich der Jupiter in J, einer seiner Trabanten im Punkte T seiner Bahn, der Mittelpunkt der letzteren in M, die Sonne in S. Die Schwere des Trabanten gegen die Sonne sei g^(t), die Schwere des Jupiters gegen dieselbe sei g⁽ⁱ⁾; alsdann ist in gleichen Abständen von ihr
1.     g^(t) : g⁽ⁱ⁾ = d : e oder g^(t) = $\scriptstyle {\frac {d}{e}}$ g⁽ⁱ⁾.

Reduciren wir g^(t) und g⁽ⁱ⁾ auf den Punkt M, so erhalten wir für erstere $\scriptstyle {\frac {g^{(t)}}{(\Delta +a)^{2}}}$ und für letztere $\scriptstyle {\frac {g^{(i)}}{(\Delta -ax)^{2}}}$ indem wir SM = Δ, MT = a und MJ = ax gesetzt haben. Wenn wenn wir daher nach 1. g^(t) = $\scriptstyle {\frac {d}{e}}$ g⁽ⁱ⁾ setzen, erhalten wir

$\scriptstyle {\frac {{\frac {d}{e}}g^{(i)}}{(\Delta +a)^{2}}}={\frac {g^{i}}{(\Delta +ax)^{2}}}$

oder

2.      $\scriptstyle {\frac {\sqrt {d}}{\Delta +a}}={\frac {\sqrt {e}}{\Delta -ax}}$

und hieraus

3.     Δ + a : Δ – ax = $\scriptstyle {\sqrt {d}}$ : $\scriptstyle {\sqrt {e}}$ .

Vernachlässigen wir a gegen Δ so folgt hieraus

4.     Δ : Δ – ax = $\scriptstyle {\sqrt {d}}$ : $\scriptstyle {\sqrt {e}}$

oder genähert

5.     SM : SJ = $\scriptstyle {\sqrt {d}}$ : $\scriptstyle {\sqrt {e}}$ .

↑ [620] No. 205. S. 393. Bei der folgendermassen ausgeführten Rechnung habe ich Resultate erhalten, welche von den im Texte angegebenen etwas abweichen.
Bezeichnet r den Abstand vom Centralkörper und t die Umlaufszeit, so ist nach der 4. Erscheinung und §. 10.

									d
für	die Sonne		und	Venus		r =	72333	t	= 224,698
	den	Jupiter	„	4.	Trabanten		520096 sin 08′ 16″	„	= 016,689
	„	Saturn	„	6.	„		954006 sin 3′ 04″	„	= 015,944
	die Erde		„	der Mond			100000 sin 10′ 33″	„	= 027,322.

Nach §. 18. Zusatz 2. des ersten Buches wird das Gewicht allgemein ausgedrückt durch $\scriptstyle {\frac {r}{t^{2}}}$ . Mithin ist das Gewicht der Venus gegen die Sonne im Abstande 72333 = $\scriptstyle {\frac {72333}{224,698^{2}}}$ ; das Gewicht des 4. Trabanten gegen den Jupiter im Abstande 520096 sin 8″ 16″ = $\scriptstyle {\frac {520096\sin 8'16''}{16,689^{2}}}$ , dasselbe im Abstande 72333 = $\scriptstyle {\frac {520096\cdot \sin 8'16''}{16,689^{2}}}\cdot {\frac {520096^{2}\cdot \sin 8'16''^{2}}{72333^{2}}}$ oder = $\scriptstyle {\frac {520096^{3}\cdot \sin 8'16''^{3}}{7233^{2}\cdot 16,639^{2}}}$ ; eben so das Gewicht des 6. Trabanten gegen den Saturn im Abstande 72333 = $\scriptstyle {\frac {954006^{3}\cdot \sin 3'4''^{3}}{72333^{2}\cdot 15,944^{2}}}$ ; das Gewicht des Mondes [621] gegen die Erde im Abstände 72333 = $\scriptstyle {\frac {10000^{3}\cdot \sin 10'33''^{3}}{72333^{2}\cdot 27,322^{2}}}$ . In so fern wir das Gewicht der Venus gegen die Sonne, oder $\scriptstyle {\frac {72333}{224,698^{2}}}$ als Einheit annehmen, erhalten wir die Gewichte

des	4.	Trabanten	gegen	den	Jupiter	= $\scriptstyle {\frac {520096^{3}\cdot \sin 8'16''^{3}}{72333^{2}\cdot 16,289^{2}}}$ · 224,698²
„	6.	„	„	„	Saturn	= $\scriptstyle {\frac {954006^{3}\cdot \sin 3'4''^{3}}{72333^{2}\cdot 15,944^{2}}}$ · 224,698²
„	Mondes		„	die	Erde	= $\scriptstyle {\frac {100000^{3}\cdot \sin 10'35''^{3}}{72333^{2}\cdot 27,322^{2}}}$ · 224,698².

Nach der ausgeführten Rechnung haben sich statt der im Texte aufgeführten Werthe, die folgenden ergeben:

1,

\scriptstyle {\frac {1}{1067}}

,

\scriptstyle {\frac {1}{3091}}

,

\scriptstyle {\frac {1}{193594}}

.

↑ [621] No. 206. S. 393. Die eben gefundenen Werthe der Gewichte gegen die verschiedenen Himmelskörper gelten für die gleiche Entfernung von ihren Mittelpunkten = 72333. Will man dieselben auf die im Texte angegebenen Abstände reduciren, so erhalten wir respective die Werthe
$\scriptstyle {\frac {72333^{2}}{10000^{2}}}$ · 1, $\scriptstyle {\frac {72333^{2}}{997^{2}}}$ · $\scriptstyle {\frac {1}{1067}}$ , $\scriptstyle {\frac {72333^{2}}{791^{2}}}$ · $\scriptstyle {\frac {1}{3091}}$ , $\scriptstyle {\frac {72333^{2}}{109^{2}}}$ · $\scriptstyle {\frac {1}{193594}}$ .

Sie verhalten sich also zu einander wie

1 : $\scriptstyle {\frac {10000^{2}}{997^{2}}}\cdot {\frac {1}{1067}}:{\frac {10000^{2}}{791^{2}}}\cdot {\frac {1}{3091}}:{\frac {10000^{2}}{109^{2}}}\cdot {\frac {1}{193594}}$ .

oder wie 10000 : 943 : 517 : 435.

Setzt man statt 003091 wie im Original 003021

„ 193594 „ „ „ 169282,

so ergeben sich in der fortlaufenden Proportion respective die Werthe 529 : 496.
↑ [621] No. 207. S. 394. Die Parallaxe der Sonne ist nach Encke = 8,″5776; mithin muss das Gewicht oder die Masse der Erde mit $\scriptstyle \left({\frac {8,5776}{10,5}}\right)^{3}$ multiplicirt werden. Das im Text gefundene $\scriptstyle {\frac {1}{169282}}$ wird in diesem Falle = $\scriptstyle {\frac {1}{312666}}$ ; hingegen der in der Bemerkung 205) gefundene Werth $\scriptstyle {\frac {1}{193594}}={\frac {1}{357580}}$ . Hansen hat a. a. O. die bezüglichen Werthe:
1, $\scriptstyle {\frac {1}{1054}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{3500}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{354936}}$ .
↑ [621] No. 208. S. 395. Der Inhalt dieses §. und seiner Zusätze muss in der neuesten Zeit bedeutend modificirt werden. Namentlich hat Encke in einer akademischen Abhandlung über die Massen und Dichtigkeiten sämmtlicher grösseren Planeten bemerkt, dass die der Sonne näheren Planeten Mercur, Venus, Erde und Mars nahebei dieselbe Dichtigkeit und [622] zwar eine grössere = 1. die drei entfernteren Jupiter, Saturn und Uranus wieder nahe einerlei und eine kleinere Dichtigkeit = ¼ besitzen.
Was die, durch die Sonne auf den einzelnen Planeten hervorgebrachte Erwärmung betrifft^{[WS 1]}, so dürfte deren Grad auch von der chemischen Beschaffenheit dieser Weltkörper abhängen. Die in Zusatz 4. hierüber gemachten Bemerkungen können daher nur unter der Voraussetzung gelten, dass alle Planeten identische Bestandtheile haben.
↑ [622] No. 209. S. 395. Bis vor einigen Jahren erklärte man allgemein die Erscheinung der Sonnenflecken durch die Hypothese von Oeffnungen, welche sich in der, den dunkeln Sonnenkörper umgebenden Photosphäre befänden. Hiernach konnte von einem Schwimmen der Sonnenflecken, wie im Text, nicht die Rede sein. Nach den neuen spectroscopischen Untersuchungen der Sonne wird ein solches Schwimmen nicht nur möglich, sondern selbst wahrscheinlich.
↑ [622] No. 210. S. 395. Nach §. 47., Zusatz 7. des zweiten Buches ist der Verlust der Bewegung, welcher bei einem ungleichförmigen Widerstande stattfinden würde, während der Zeit t proportional $\scriptstyle {\frac {t}{T+t}}$ wenn T die Zeit bezeichnet, in welcher die ganze Bewegung durch einen gleichförmigen Widerstand verloren gehen würde.
Bezeichnet man nun den ersteren Widerstand durch R', den letzteren durch R, so ist ferner nach §. 57. des erwähnten Buches R' : R = Dichtigkeit des Jupiters : Dichtigkeit des Mittels = 860 : 1, nach dem Obigen R' : R = t : T + t; also t : T + t = 860 : 1. Während der Zeit T lege der Jupiter wirklich einen Bogen A zurück, ferner werde der von der Sonne aus gesehene Durchmesser des Jupiters = 37″ = D gesetzt; alsdann wird nach §. 57. R' : R = A : 8/3D = 860 : 1, woraus A = 23° 34′ 18″ folgt, zu dessen Durchlaufung der Jupiter 283 Tage braucht. Es ist also T = 283, t = 30 und daher $\scriptstyle {\frac {t}{T+t}}={\frac {30}{313}}$ nahe = $\scriptstyle {\frac {1}{10}}$ .
↑ [622] No. 211. S. 396. Statt der Proportion A : 8/3D = 860 : 1 in der vorhergehenden Bemerkung, woraus A = 23° 34′ 13″ und T = 283 Tagen folgte, haben wir jetzt die folgende A : 8/3D = 860 · 75 Billionen : 1; daher T = 75 Billionen mal 283 Tage = 58200000000000 Jahre und wenn t = 1000000 Jahren gesetzt wird, $\scriptstyle {\frac {t}{T+t}}={\frac {1}{58200001}}$ , weit kleiner als $\scriptstyle {\frac {1}{1000000}}$ .

↑ [622] No. 212. S. 396. Nach Hansen ist a. a. O. der Halbmesser der Sonne

=112,06 Halbm. ♁,
= 112,06 · 858 g. M.
= 96147, 5 g. M. = R.

[623] Entfernung ♃ von ☉ = 107500000 g. M = Δ mithin

\scriptstyle {\frac {\Delta }{R}}={\frac {1118}{1}}

.

Entfernung ♄ von ☉ = 197000000 g. M = Δ' mithin $\scriptstyle {\frac {\Delta '}{R}}={\frac {2049}{1}}$ .

Ist der Abstand des gemeinschaftlichen Schwerpunktes der Sonne und des Jupiters vom Mittelpunkte der Sonne = x; so haben wir zur Bestimmung von x, die Gleichung

			Nach Hansen
	1067 · x	= 1 · (Δ – x)	$\scriptstyle \left[{\begin{array}{rcl}1054\cdot x&=&\Delta -x\\x&=&101896\ g.\ M.\\x-R&=&5749,2\ g.\ M.\end{array}}\right]$
also	x	= 100678
und	x – R	= 4530,5 g. M.

Ebenso ergiebt sich der Abstand x¹ des gemeinschaftlichen Schwerpunktes von ☉ und ♄, vom Mittelpunkte der Sonne aus

			Nach Hansen
	3021 · x¹	= Δ¹ – x¹	$\scriptstyle \left[{\begin{array}{rcl}3500\cdot x^{1}&=&\Delta ^{1}-x^{1};\\x^{1}&=&56285,7\ g.\ M.\\R-x^{1}&=&39861,8\ g.\ M.\end{array}}\right]$
also	x¹	= 65159
und	R – x¹	= 30988,5.

Für ☿ ist, nach Astr. Nachr. Nr. 488. die Masse der Sonne = 4865751, wenn die Masse des ☿ = 1 gesetzt wird, ferner Δ^II = 8000000 g. M.

4865751 · x^II = Δ^II – x^II

x^II = 16 g. M. und R – x^II = 96145,9 g. M.

Für ♀	Masse	der	Sonne	= 401847	Δ^III	= 15000000 g. M.
	„	„	Venus	= 1
401857 · x^III				= Δ^III – x^III
		x^III = 37,3 g. M.			R – x^III	= 96110,2 g. M.

Für ♁	Masse	der	Sonne	= 354936	Δ^IV	= 20,666800 g. M.
	„	„	Erde	= 1
354936 · x^IV				= Δ^IV – x^IV
		x^IV = 58,2 g. M.			R – x^IV	= 96089,3 g. M.

Für ♂	Masse	der	Sonne	= 2680337	Δ^V	= 31500000 g. M.
	„	„	Mars	= 1
2680337 · x^V				= Δ^V – x^V
		x^V = 11,8 g. M.			R – x^V	= 96135,7 g. M.

Für	ist Masse	der	Sonne	= 17918	Δ^VI	= 396,500000 g. M.
	„	des	Uranus	= 1
17918 · x^VI				= Δ^VI – x^VI
		x^VI = 22127,3 g. M.			R – x^VI	= 74020,2 g. M.

Für ♆	ist Masse	der	Sonne	= 20570 (Astr. Nachr. Nr. 921)
	„	des	Neptun	= 1	Δ^VII	= 621,700000
20570 · x^VII				= Δ^VII – x^VII
		x^VII = 30222,2 g. M.			R – x^VII	= 65925,3 g. M.

↑ [623] No. 213. S. 397. Statt „der Welt“ muss hier wohl „des Sonnensystems“ gelesen werden.

↑ [623] No. 214. S. 398. Nach §. 15. ist die Masse des Jupiters =

\scriptstyle {\frac {1}{1067}}

, für die Masse der Sonne = 1; nach Hansen am angeführten Orte wird [624] dieser Bruch

\scriptstyle {\frac {1}{1054}}

. Eben so gross ist die Schwere gegen beide Körper, bei gleichen Abständen, bei ungleichen Abständen ist die Schwere den Quadraten der Abstände umgekehrt proportional. In der Conjunction von ♃ und ♄ wird ihr gegenseitiger Abstand = 197000000 – 107500000 = 89500000 und daher dieser Abstand des ♄ vom ♃, zum Abstande des ♄ von ☉ wie 895 : 1970 sehr nahe = 4 : 9. Das zusammengesetzte Verhältniss, in welchem die Schwere des Saturns gegen den Jupiter zu seiner Schwere gegen die Sonne steht, ist mithin

	$\scriptstyle {\frac {1}{1067\cdot 16}}:{\frac {1}{81}}$	Nach Hansen
oder	81 : 16 · 1067	81 : 16 · 1054
nahe	01 : 211	01 : 208

↑ [624] No. 215. S. 398. Unmittelbar erhalten wir dieses Verhältniss, unter Anwendung des Werthes 3500 nach Hansen, statt des im Texte gebrauchten 3021, $\scriptstyle {\frac {1}{3500\cdot 81}}:{\frac {1}{3500\cdot 16}}:{\frac {1}{25}}$ = 16 : 81 : $\scriptstyle {\frac {16\cdot 81\cdot 3500}{25}}$ = 16 : 81 : 181440. Das folgende Verhältniss wird in diesem Falle 65 : 181440 = 1 : 2791.
↑ [624] So. 216. S. 399. Von einer absoluten Ruhe der Fixsterne kann jetzt füglich nicht mehr die Rede sein, seitdem man bei einer grossen Anzahl derselben die sogenannte eigene Bewegung aufgefunden hat.
↑ [624] No. 217. S. 399. Nach dem Vorgange Bessel’s und W. Struwe’s, denen es gelungen ist, an zwei Sternen eine wenn auch geringe jährliche Parallaxe nachzuweisen, ist eine ähnliche Untersuchung bei anderen Sternen gelungen. Bei der Berechnung der Bahnen von Doppelsternen hat man ferner die Anziehung derselben auf einander mit Erfolg in Anwendung gebracht, woraus man mit Wahrscheinlichkeit schliessen darf, dass die einzelnen Fixsterne auch auf unser Sonnensystem im ganzen eine Wirkung ausüben dürften. Hieraus folgt aber noch nicht, dass sie auch auf die einzelnen Planeten eine gesonderte und daher wahrnehmbare Wirkung ausüben werden.

↑ [624] No. 218. S. 399. Setzt man die halbe grosse Axe der Marsbahn = a, die halben grossen Axen der ♁, ♀ und des ☿ = a', a'', a''', die rückläufige, hundertjährige Bewegung des Aphels von ♂, wie im Text, = 33′ 20″; so hat man nach Hansen a. a. O.

				100j. r. Bew. d. Aph.
log a	= 0,18290	log(33′20″)	= 3,30103
log a'	= 0,00000	3/2log $\scriptstyle {\frac {a'}{a}}$	= 9,72565	♁	17′	46″	nahe wie im Texte.
log a''	= 9,85934	3/2log $\scriptstyle {\frac {a''}{a}}$	= 9,51466	♀	10	54
log a'''	= 9,58781	3/2log $\scriptstyle {\frac {a'''}{a}}$	= 9,10737	☿	4	16

[625] Hansen giebt a. a. O.

		jähr. Bew. d. Aph.	100jähr. B. d. Aph.
für	♂	15,″46	25′ 46″	von	W. n. O.	rechtläufig,
„	♁	11,″25	18′ 45″	„	W. n. O.	„
„	♀	03,″24	05′ 24″	„	O. n. W.	rückläufig,
für	☿	05,″81	09′ 41″	„	W. n. O.	rechtläufig.

↑ [625] No. 219. S. 399. Nach Hansen a. a. O. sind diese Werthe: für den Jupiter 9^h 55^m, für den Mars 24^h 37^m, für die Venus 23^h 21^m, für die Erde 23^h 56^m, für die Sonne 25½ Tage, für den Mond 27 Tage 7^h 43^m.
↑ [625] No. 220. S. 400. 27½ Tage machen ungefähr 10/133 vom Jahre aus, und die Erde bewegt sich daher in jenem Zeiträume um 10/133 ihrer Bahn fort. Den gleichvielten Theil ihrer Umdrehungszeit x, in Bezug auf die Fixsterne, braucht die Sonne mehr, um in Bezug auf die Erde ihre Drehung zu vollenden. Aus $\scriptstyle \left(1+{\frac {10}{133}}\right)$ = 27,5 folgt x = 25,6 Tagen.
↑ [625] No. 221. S. 401. Da nach der Tabelle in Schumacher’s Jahrbuch für 1837, pag. 261 7000 engl. Fuss = 1094,67507 Toisen, so werden 367196 engl. Fuss = 57300 Toisen.
↑ [625] No. 222. S. 401. Nimmt man aus den drei im Texte für 1° aufgeführten Werthen das arithmetische Mittel = 57140,3 Toisen, und führt hiermit die Rechnung durch, so ergiebt sich die Peripherie = 123423048 par. Fuss, der Halbmesser = 19643390 par. Fuss.
↑ [625]
Fig. 255.
No. 223. S. 401. Beim Nachrechnen fand ich die hier im Text aufgeführten Zahlen etwas verschieden, jedoch ist der Unterschied so gering, dass das Endresultat unverändert bleibt. Ich finde, wenn ich den gesuchten, in eine Secunde zurückgelegten Bogen durch x bezeichne und den Erdradius r = 19615800 Fuss setze, aus 2rπ : x = 86164 : 1, x = 1430,41 Fuss. Ferner wird sin versus x = $\scriptstyle {\frac {x^{2}}{2r}}$ = 0,0521536 Fuss = 7,51012 Linien. Unter dem Aequator in A sei c die Centrifugalkraft, alsdann ist dieselbe dem Radius CA = r proportional. Unter der Breite φ in P wird die c parallele Centrifugalkraft c' dem Radius DP = r cosφ proportional. Zerlegt man nun c' in zwei Seitenkräfte, die eine längs P, die andere auf CP senkrecht, so wird erstere = c' cos φ = cos φ², und da cos φ² = 0,43325, c cos φ² = 7,510 · 0,43325 = 3,254. Das Verhältniss 2177,254 : 7,510 wird, wie im Text, gleich 289 : 1.
↑ [625]
Fig. 256.
No. 224. S. 402. Nach der in der Bemerkung 74 zu S. 217, [626] ausgeführten Rechnung findet sich die Anziehung des Punktes Q gegen das Sphäroïd durch das Integral $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx, wo QT = x, QR = z, QC = PC = b, TR = y ist. Es ist nun im vorliegenden Falle z² = x² + y² = x² + $\scriptstyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ (2bx – x²) = $\scriptstyle {\frac {2a^{2}bx-\left(a^{2}-b^{2}\right)x^{2}}{b^{2}}}$ ,
mithin $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx

$\scriptstyle =2b+{\frac {b}{a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-4b^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\int \limits _{0}^{2b}{\frac {dx}{\sqrt {2a^{2}bx-\left(a^{2}-b^{2}\right)x^{2}}}}$

$\scriptstyle ={\frac {2a2b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ [Arc. sin. $\scriptstyle \left(1-{\frac {2b^{2}}{a^{2}}}\right)$ + Arc. sin. 1]

oder

1.      $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx={\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {2Q^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ Arc. sin. $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ .

Für die entsprechende Kugel ist z = $\scriptstyle {\sqrt {2bx}}$ und so $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx

= 2b – $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {2b}}}$ · ⅔ · (2b)^3/2

oder 2.      $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx = ⅔b, und nach Gleichung 1. und 2. das gesuchte Verhältniss

3.      $\scriptstyle \left[{\frac {2a^{2}}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {a^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\cdot Arc.\sin .{\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right]$ : ⅔. Nach der Voraussetzung ist a : b = 101 : 100, also $\scriptstyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {201}{100^{2}}}$ ; $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}\cdot {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=2{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}}={\frac {200}{101^{2}}}\cdot {\sqrt {201}}$ ; Arc. sin. $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ = 16° 8′ 18,″9 = 58098,″9. Führt man die numerische Rechnung weiter, so wird $\scriptstyle {\frac {2a^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$ = 101,50251; $\scriptstyle {\frac {a^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ · Arc. sin. $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ = 100,83038, das Verhältniss 3.     0,67213 : ⅔ = 201639 : 200000 = 126,02 : 125.
↑ [626] No. 225. S. 402. In diesem Falle geht nach der obigen Figur, indem wir AP = x', VW = y', AW = z' setzen, das Integral über in
$\scriptstyle \int \limits _{0}^{2a}\left(1-{\frac {x'}{z'}}dx'\right)=\int \limits _{0}^{2a}\left[1-{\frac {ax'}{\sqrt {2ab^{2}x'+\left(a^{2}-b^{2}\right)x'^{2}}}}\right]dx'$
[627]
$\scriptstyle =2a-{\frac {a{\sqrt {2ab^{2}\cdot 2a+\left(a^{2}-b^{2}\right)4a^{2}}}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {2a^{2}b^{2}}{2\left(a^{2}-b^{2}\right)}}\int \limits _{0}^{2a}{\frac {dx'}{\sqrt {2ab^{2}x'+\left(a^{2}-b^{2}\right)x'^{2}}}}$

$\scriptstyle =-{\frac {2a\ b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

$\scriptstyle \left\{\log \left[{\frac {2ab^{2}+2\left(a^{2}-b^{2}\right)2a}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}+{\sqrt {2ab^{2}\cdot 2a+\left(a^{2}-b^{2}\right)4a^{2}}}\right]-\log {\frac {2ab^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\right\}$

oder 4.      $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2a}\left(1-{\frac {x'}{z'}}\right)dx'$

$\scriptstyle =-{\frac {2ab^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\log {\frac {2a^{2}-b^{2}+2a{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b^{2}}}$

Die log. sind hier hyperbolische, und für die entsprechende Kugel wird hier 5.      $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2a}\left(1-{\frac {x'}{z'}}\right)dx'$ = ⅔a; also nach Gl. 4. und 5. das gesuchte Verhältniss

6.      $\scriptstyle \left(-{\frac {2b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {a^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\log {\frac {2a^{2}-b^{2}+2a{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b^{2}}}\right)$ : ⅔.

Da ferner $\scriptstyle {\frac {2b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$ = 99,502488, log $\scriptstyle \log {\frac {2a^{2}-b^{2}+2a{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b^{2}}}$ = 0,2826078, so wird das Verhältniss 6.     [– 99,502488 + 100,163650] : ⅔ = 198348 : 200000 = 125 : 126,02.
↑ [627] No. 226. S. 402. Setzt man die durch die Kugel, die Erde und das Sphäroïd auf A ausgeübte Schwerkraft respective gleich K, E, S; so hat man K : E = 101 : 100, E : S = 101 : 100, also K : E = E : S, oder E = $\scriptstyle {\sqrt {K\cdot S}}={\sqrt {126\cdot 125}}$ = 125,5…
↑ [627] Nr. 227. S. 403. Bezeichnet man die Schwere in einem unbestimmten Orte X auf der Erde durch F(X), auf der Kugel durch φ(X), auf dem Sphäroïd durch ψ(X); so hat man F(Q) : φ(Q) = 126 : 125, φ(A) : F(A) = 126 : 125,5, φ(Q) : φ(A) = 100 : 101; mithin F(Q) : F(A) = 126 · 126 · 100 : 125 · 125,5 · 101 = 501 : 500.
↑ [627] No. 228. S. 404. Nach Hansen a. a. O. ist 2a = 38,″4, 2b = 35″,6, a : b = 14 : 13.
↑ [627]
Fig. 257.
No. 229. S. 405. Stellt die nebenstehende Figur ¼ des Spharoïds vor, ist A'C = a die halbe grosse, PC = b die halbe kleine Axe; so verhält sich die Schwere unter dem Aequator in A' zu der unter dem Pole in P, wie b : a, und zu der in B wie b : r, wo CB = r. Mithin ist, wenn α die Schwere in A', β die Schwere in B [628] bezeichnet, α proportional $\scriptstyle {\frac {1}{a}}$ , β proportional $\scriptstyle {\frac {1}{r}}$ und so die Zunahme der Schwere von A' bis B, oder β bis α proportional $\scriptstyle {\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}={\frac {1}{a}}\left({\frac {a}{r}}-1\right)$ . Ist nun CA = x, AB = y, die Breite BCA' = φ, so haben wir $\scriptstyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}$ = 1 und weil y = r sinφ, x = r cosφ, $\scriptstyle {\frac {r^{2}\sin \varphi ^{2}}{b^{2}}}+{\frac {r^{2}\cos \varphi ^{2}}{a^{2}}}$ =1. Setzt man nun b² = a² (1 – e²), wo e² nothwendig sehr klein ist, so wird
$\scriptstyle r^{2}={\frac {a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{1-e^{2}+e^{2}\sin \varphi ^{2}}}=a^{2}{\frac {1}{1+{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}}}$ ,

oder $\scriptstyle {\frac {a}{r}}={\sqrt {1+{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}}}=1+{\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}$ … oder mit grosser Annäherung $\scriptstyle {\frac {1}{a}}\left({\frac {a}{r}}-1\right)={\frac {1}{2a}}\cdot {\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}$ , d. h. proportional sinφ².
↑ [628] No. 230. S. 405. Vernachlässigt man die höheren unbedeutenden Glieder, so wird der Ausdruck des Meridiangrades m = α – βcos2φ, wo α und β constant sind, mithin für φ = o, m' = α – β und m – m = β (1 – cos2φ) = βsin. ver. 2φ = 2βsinφ².
↑ [628] No. 231. S. 405. Da für Paris die Länge des Pendels l = 3 Fuss 85/9 Linien = 440,550 Linien, so wird die Länge des synchronischen Pendels unter dem Aequator: l' = $\scriptstyle {\frac {2290000}{2295667}}$ · 440,555 = 439,468, also l – l' = 1,087 Linien.
↑ [628] No. 232. S. 409. Bezeichnet a und b bezüglich den Halbmesser am Aequator und am Pole, so ist nach §. 23. a : b = 230 : 229, welche Proportion der Berechnung der Tabelle im gegenwärtigen §. zum Grunde liegt und womit Richer’s Resultat nahe übereinstimmt. Es wird also a – b = $\scriptstyle {\frac {1}{230}}$ a und da $\scriptstyle {\frac {a+b}{2}}$ = 3923,16 Meilen (§. 23.) a = 3932 M. a – b = 171/10 M. wie §. 23.
↑ [628] No. 233. S. 409. Bekanntlich wird gegenwärtig bei allen astronomischen Rechnungen die Nutation gehörig berücksichtigt.
↑ [628] No. 234. S. 409. Nach Hansen a. a. O. beträgt die tägliche Bewegung des Perigeums 6′ 41,″0 von Westen nach Osten, die tägliche Bewegung der Knotenlinie 3′ 10,″64 von Osten gegen Westen.

↑ [628] No. 235. S. 410. Nach Hansen a. a. O. beträgt die rückläufige Bewegung der Knotenlinie des Mondes in 100 Jahren 5 Umläufe 134° 9′ 57,″5 = 1934,°41, die siderische Umlaufszeit der Erde um die Sonne 365,^d25, die des Jupiters um die Sonne 4332,6, die Umlaufszeit des Mondes um die Erde 27,32 Tage, des vierten Trabanten um ♃ 16,7 Tage. Wir haben daher, wenn wir die Bewegung der Knoten des 4. Trabanten in 100 Jahren durch x bezeichnen: [629]

x : 1934,″41 = $\scriptstyle {\begin{cases}365,25^{2}:4332,6^{2}\\16,7:37,32\end{cases}}$
log (16,7 · 365,25²)	6,34790
log 1934,41	3,28659
Compl. log (27,32 · 4332,6²)	1,29122
log x	0,92571

x = 8° 26′

↑ [629] No. 236. S. 411. Man kann auch so sagen: Die Variation x des 4. Trabanten verhält sich zur Variation V unseres Mondes, wie die jährliche Bewegung der Mondsknoten zur jährlichen Bewegung der Knoten des Trabanten, und wie die Umlaufszeit des Mondes zur Umlaufszeit des Trabanten. Nun ist die Bewegung der Mondsknoten in 100 Jahren = 1934°,41, also in 1 Jahre = 19°,3441 = 69639″, die Bewegung der Knoten des Trabanten in 100 Jahren = 8° 26′ = 30360″, mithin die einjährige = 303″,6. Die Variation

	nach Newton	nach Hansen
V	33′ 14″ = 1994″	39′ 30″ = 2370″
mithin	x : V = $\scriptstyle {\begin{cases}303,6:69639\\27,32:16,7\end{cases}}$
	x = 5″,31	x=6″,3.

Anmerkungen (Wikisource)

↑ Vorlage: ketrifft

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[1] [618] No. 201. S. 385. Der Exponent 2 + $\scriptstyle {\frac {4}{243}}$ ist von 2 um $\scriptstyle {\frac {4}{243}}$ , von 3 um $\scriptstyle {\frac {239}{243}}$ entfernt, also dem ersteren Werthe näher als dem zweiten im Verhältniss 4 : 239 = $\scriptstyle {\frac {1}{59{\frac {3}{4}}}}$

[2] [618] No. 202. S. 386. Da der siderische Monat = 27^d 7^st. 43^m ist, so wird 1^m = $\scriptstyle {\frac {1}{39343}}$ der ganzen Umlaufszeit in einem Kreise, dessen Durchmesser = 120 Erdhalbmessern ist. Im Text ist der Umfang der Erde = 123249600 Fuss angenommen worden, woraus der Log seines Halbmesser = [7,2926056] folgt. Betrachtet man nun den kleinen, in 1 Minute durchlaufenen Bogen als mit seiner Sehne identisch, so erhält man den gesuchten Sinus versus = x aus der Proportion
x : $\scriptstyle {\frac {1}{39343}}$ · 2rπ = $\scriptstyle {\frac {1}{39343}}$ 2rπ : 2r

wo log r = 7,2926056; also wird x = 15,009 Fuss.
Diesen Weg legt der Mond vermöge der Kraft zurück, welche ihn in seiner Bahn erhält; dieselbe ist der Unterschied der beiden, nach dem Mittelpunkt der Erde und nach dem Centrum der Sonne gerichteten, [619] Kräfte; sie ist daher kleiner, als jene nach dem Centrum der Erde gerichtete und zwar im Verhältniss 17775 : 17875. Vergrössert man daher den für x gefundenen Werth in eben diesem Verhältniss, so erhält man 15,093 Fuss = 15 Fuss 1 Zoll 17/17 Linien Par. Mass.

[3] [619] No. 203. S. 387. Den Radius der Kreisbahn, welchen der Mond um die im Centrum der Bahn unbewegliche Erde beschreiben würde, ist nämlich kleiner, als der Abstand des Mondes vom Mittelpunkte der Erde, wenn ersterer sich um den gemeinschaftlichen Schwerpunkt beider Körper bewegte (§. 101. des ersten Buches). Aus diesem Grunde setzt Newton den Radius jener Bahn nur = 60 Halbmessern, obgleich das arithmetische Mittel der grössten und kleinsten Entfernung nicht kleiner als 60½ Halbmesser ist. Dass er in dieser Sache richtig geschlossen habe, hiervon überzeugte er sich dadurch, dass wenn man jenen Abstand von 60 Halbmessern in demjenigen Verhältnisse vergrösserte, in welchem bei unverändertem Gesetze der Schwere der Abstand des Mondes von der beweglichen Erde jenen Radius übertreffen muss, offenbar eine Länge von 60½ Erdhalbmessern herauskommen muss, wie die Astronomen für diese Entfernung gefunden haben.

Fig. 254.
Aus den bisherigen Angaben Newton’s sind die in dieser Bemerkung angeführten Grössen nicht klar zu ersehen, eher aus §§. 10 und 11. des nachgelassenen Werkes vom Weltsystem. Indem man, nach Hansen a. a. O. für die Masse der Erde = S = 1, die Masse des Mondes = P = $\scriptstyle {\frac {1}{87,75}}$ annimmt, erhält man nach §. 101. des ersten Buches a : a¹ = $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{S+P}}:{\sqrt[{3}]{S}}$ also a¹ = $\scriptstyle a{\sqrt[{3}]{\frac {88,75}{87,75}}}$ = 60 · $\scriptstyle {\sqrt[{3}]{\frac {88,75}{87,75}}}$ = 60,22. Setzt man für a = 60 und a¹ = 60,5; P = $\scriptstyle {\frac {1}{x}}$ ; so folgt x = 39,52, also hat Newton nahe P = $\scriptstyle {\frac {1}{40}}$ angewandt. Ferner ist nach Hansen der mittlere Abstand des Mondes von der Erde L = 52000 g · Meilen, der mittlere Abstand der Erde von der Sonne T = 20,666800 g · M. = 12027 D, wo D der Durchmesser der Erde und wenn R deren Halbmesser ist, 1 g · M. = $\scriptstyle {\frac {24054}{20666800}}$ R
L = $\scriptstyle {\frac {52000\cdot 24054}{20666800}}$ R = 60,592 R.

[4] [620] No. 204. S. 390. Es befinden sich der Jupiter in J, einer seiner Trabanten im Punkte T seiner Bahn, der Mittelpunkt der letzteren in M, die Sonne in S. Die Schwere des Trabanten gegen die Sonne sei g^(t), die Schwere des Jupiters gegen dieselbe sei g⁽ⁱ⁾; alsdann ist in gleichen Abständen von ihr
1. g^(t) : g⁽ⁱ⁾ = d : e oder g^(t) = $\scriptstyle {\frac {d}{e}}$ g⁽ⁱ⁾.

Reduciren wir g^(t) und g⁽ⁱ⁾ auf den Punkt M, so erhalten wir für erstere $\scriptstyle {\frac {g^{(t)}}{(\Delta +a)^{2}}}$ und für letztere $\scriptstyle {\frac {g^{(i)}}{(\Delta -ax)^{2}}}$ indem wir SM = Δ, MT = a und MJ = ax gesetzt haben. Wenn wenn wir daher nach 1. g^(t) = $\scriptstyle {\frac {d}{e}}$ g⁽ⁱ⁾ setzen, erhalten wir

$\scriptstyle {\frac {{\frac {d}{e}}g^{(i)}}{(\Delta +a)^{2}}}={\frac {g^{i}}{(\Delta +ax)^{2}}}$

oder

2. $\scriptstyle {\frac {\sqrt {d}}{\Delta +a}}={\frac {\sqrt {e}}{\Delta -ax}}$

und hieraus

3. Δ + a : Δ – ax = $\scriptstyle {\sqrt {d}}$ : $\scriptstyle {\sqrt {e}}$ .

Vernachlässigen wir a gegen Δ so folgt hieraus

4. Δ : Δ – ax = $\scriptstyle {\sqrt {d}}$ : $\scriptstyle {\sqrt {e}}$

oder genähert

5. SM : SJ = $\scriptstyle {\sqrt {d}}$ : $\scriptstyle {\sqrt {e}}$ .

[5] [620] No. 205. S. 393. Bei der folgendermassen ausgeführten Rechnung habe ich Resultate erhalten, welche von den im Texte angegebenen etwas abweichen.
Bezeichnet r den Abstand vom Centralkörper und t die Umlaufszeit, so ist nach der 4. Erscheinung und §. 10.

d

für die Sonne und Venus r = 72333 t = 224,698

den Jupiter „ 4. Trabanten 520096 sin 08′ 16″ „ = 016,689

„ Saturn „ 6. „ 954006 sin 3′ 04″ „ = 015,944

die Erde „ der Mond 100000 sin 10′ 33″ „ = 027,322.

Nach §. 18. Zusatz 2. des ersten Buches wird das Gewicht allgemein ausgedrückt durch $\scriptstyle {\frac {r}{t^{2}}}$ . Mithin ist das Gewicht der Venus gegen die Sonne im Abstande 72333 = $\scriptstyle {\frac {72333}{224,698^{2}}}$ ; das Gewicht des 4. Trabanten gegen den Jupiter im Abstande 520096 sin 8″ 16″ = $\scriptstyle {\frac {520096\sin 8'16''}{16,689^{2}}}$ , dasselbe im Abstande 72333 = $\scriptstyle {\frac {520096\cdot \sin 8'16''}{16,689^{2}}}\cdot {\frac {520096^{2}\cdot \sin 8'16''^{2}}{72333^{2}}}$ oder = $\scriptstyle {\frac {520096^{3}\cdot \sin 8'16''^{3}}{7233^{2}\cdot 16,639^{2}}}$ ; eben so das Gewicht des 6. Trabanten gegen den Saturn im Abstande 72333 = $\scriptstyle {\frac {954006^{3}\cdot \sin 3'4''^{3}}{72333^{2}\cdot 15,944^{2}}}$ ; das Gewicht des Mondes [621] gegen die Erde im Abstände 72333 = $\scriptstyle {\frac {10000^{3}\cdot \sin 10'33''^{3}}{72333^{2}\cdot 27,322^{2}}}$ . In so fern wir das Gewicht der Venus gegen die Sonne, oder $\scriptstyle {\frac {72333}{224,698^{2}}}$ als Einheit annehmen, erhalten wir die Gewichte

des 4. Trabanten gegen den Jupiter = $\scriptstyle {\frac {520096^{3}\cdot \sin 8'16''^{3}}{72333^{2}\cdot 16,289^{2}}}$ · 224,698²

„ 6. „ „ „ Saturn = $\scriptstyle {\frac {954006^{3}\cdot \sin 3'4''^{3}}{72333^{2}\cdot 15,944^{2}}}$ · 224,698²

„ Mondes „ die Erde = $\scriptstyle {\frac {100000^{3}\cdot \sin 10'35''^{3}}{72333^{2}\cdot 27,322^{2}}}$ · 224,698².

Nach der ausgeführten Rechnung haben sich statt der im Texte aufgeführten Werthe, die folgenden ergeben:

1, $\scriptstyle {\frac {1}{1067}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{3091}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{193594}}$ .

[6] [621] No. 206. S. 393. Die eben gefundenen Werthe der Gewichte gegen die verschiedenen Himmelskörper gelten für die gleiche Entfernung von ihren Mittelpunkten = 72333. Will man dieselben auf die im Texte angegebenen Abstände reduciren, so erhalten wir respective die Werthe
$\scriptstyle {\frac {72333^{2}}{10000^{2}}}$ · 1, $\scriptstyle {\frac {72333^{2}}{997^{2}}}$ · $\scriptstyle {\frac {1}{1067}}$ , $\scriptstyle {\frac {72333^{2}}{791^{2}}}$ · $\scriptstyle {\frac {1}{3091}}$ , $\scriptstyle {\frac {72333^{2}}{109^{2}}}$ · $\scriptstyle {\frac {1}{193594}}$ .

Sie verhalten sich also zu einander wie

1 : $\scriptstyle {\frac {10000^{2}}{997^{2}}}\cdot {\frac {1}{1067}}:{\frac {10000^{2}}{791^{2}}}\cdot {\frac {1}{3091}}:{\frac {10000^{2}}{109^{2}}}\cdot {\frac {1}{193594}}$ .

oder wie 10000 : 943 : 517 : 435.

Setzt man statt 003091 wie im Original 003021

„ 193594 „ „ „ 169282,

so ergeben sich in der fortlaufenden Proportion respective die Werthe 529 : 496.

[7] [621] No. 207. S. 394. Die Parallaxe der Sonne ist nach Encke = 8,″5776; mithin muss das Gewicht oder die Masse der Erde mit $\scriptstyle \left({\frac {8,5776}{10,5}}\right)^{3}$ multiplicirt werden. Das im Text gefundene $\scriptstyle {\frac {1}{169282}}$ wird in diesem Falle = $\scriptstyle {\frac {1}{312666}}$ ; hingegen der in der Bemerkung 205) gefundene Werth $\scriptstyle {\frac {1}{193594}}={\frac {1}{357580}}$ . Hansen hat a. a. O. die bezüglichen Werthe:
1, $\scriptstyle {\frac {1}{1054}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{3500}}$ , $\scriptstyle {\frac {1}{354936}}$ .

[9] [621] No. 208. S. 395. Der Inhalt dieses §. und seiner Zusätze muss in der neuesten Zeit bedeutend modificirt werden. Namentlich hat Encke in einer akademischen Abhandlung über die Massen und Dichtigkeiten sämmtlicher grösseren Planeten bemerkt, dass die der Sonne näheren Planeten Mercur, Venus, Erde und Mars nahebei dieselbe Dichtigkeit und [622] zwar eine grössere = 1. die drei entfernteren Jupiter, Saturn und Uranus wieder nahe einerlei und eine kleinere Dichtigkeit = ¼ besitzen.
Was die, durch die Sonne auf den einzelnen Planeten hervorgebrachte Erwärmung betrifft^{[WS 1]}, so dürfte deren Grad auch von der chemischen Beschaffenheit dieser Weltkörper abhängen. Die in Zusatz 4. hierüber gemachten Bemerkungen können daher nur unter der Voraussetzung gelten, dass alle Planeten identische Bestandtheile haben.

[10] [622] No. 209. S. 395. Bis vor einigen Jahren erklärte man allgemein die Erscheinung der Sonnenflecken durch die Hypothese von Oeffnungen, welche sich in der, den dunkeln Sonnenkörper umgebenden Photosphäre befänden. Hiernach konnte von einem Schwimmen der Sonnenflecken, wie im Text, nicht die Rede sein. Nach den neuen spectroscopischen Untersuchungen der Sonne wird ein solches Schwimmen nicht nur möglich, sondern selbst wahrscheinlich.

[11] [622] No. 210. S. 395. Nach §. 47., Zusatz 7. des zweiten Buches ist der Verlust der Bewegung, welcher bei einem ungleichförmigen Widerstande stattfinden würde, während der Zeit t proportional $\scriptstyle {\frac {t}{T+t}}$ wenn T die Zeit bezeichnet, in welcher die ganze Bewegung durch einen gleichförmigen Widerstand verloren gehen würde.
Bezeichnet man nun den ersteren Widerstand durch R', den letzteren durch R, so ist ferner nach §. 57. des erwähnten Buches R' : R = Dichtigkeit des Jupiters : Dichtigkeit des Mittels = 860 : 1, nach dem Obigen R' : R = t : T + t; also t : T + t = 860 : 1. Während der Zeit T lege der Jupiter wirklich einen Bogen A zurück, ferner werde der von der Sonne aus gesehene Durchmesser des Jupiters = 37″ = D gesetzt; alsdann wird nach §. 57. R' : R = A : 8/3D = 860 : 1, woraus A = 23° 34′ 18″ folgt, zu dessen Durchlaufung der Jupiter 283 Tage braucht. Es ist also T = 283, t = 30 und daher $\scriptstyle {\frac {t}{T+t}}={\frac {30}{313}}$ nahe = $\scriptstyle {\frac {1}{10}}$ .

[12] [622] No. 211. S. 396. Statt der Proportion A : 8/3D = 860 : 1 in der vorhergehenden Bemerkung, woraus A = 23° 34′ 13″ und T = 283 Tagen folgte, haben wir jetzt die folgende A : 8/3D = 860 · 75 Billionen : 1; daher T = 75 Billionen mal 283 Tage = 58200000000000 Jahre und wenn t = 1000000 Jahren gesetzt wird, $\scriptstyle {\frac {t}{T+t}}={\frac {1}{58200001}}$ , weit kleiner als $\scriptstyle {\frac {1}{1000000}}$ .

[13] [622] No. 212. S. 396. Nach Hansen ist a. a. O. der Halbmesser der Sonne

=112,06 Halbm. ♁,
= 112,06 · 858 g. M.
= 96147, 5 g. M. = R.
[623] Entfernung ♃ von ☉ = 107500000 g. M = Δ mithin $\scriptstyle {\frac {\Delta }{R}}={\frac {1118}{1}}$ .

Entfernung ♄ von ☉ = 197000000 g. M = Δ' mithin $\scriptstyle {\frac {\Delta '}{R}}={\frac {2049}{1}}$ .

Ist der Abstand des gemeinschaftlichen Schwerpunktes der Sonne und des Jupiters vom Mittelpunkte der Sonne = x; so haben wir zur Bestimmung von x, die Gleichung

Nach Hansen

1067 · x = 1 · (Δ – x) $\scriptstyle \left[{\begin{array}{rcl}1054\cdot x&=&\Delta -x\\x&=&101896\ g.\ M.\\x-R&=&5749,2\ g.\ M.\end{array}}\right]$

also x = 100678

und x – R = 4530,5 g. M.

Ebenso ergiebt sich der Abstand x¹ des gemeinschaftlichen Schwerpunktes von ☉ und ♄, vom Mittelpunkte der Sonne aus

Nach Hansen

3021 · x¹ = Δ¹ – x¹ $\scriptstyle \left[{\begin{array}{rcl}3500\cdot x^{1}&=&\Delta ^{1}-x^{1};\\x^{1}&=&56285,7\ g.\ M.\\R-x^{1}&=&39861,8\ g.\ M.\end{array}}\right]$

also x¹ = 65159

und R – x¹ = 30988,5.

Für ☿ ist, nach Astr. Nachr. Nr. 488. die Masse der Sonne = 4865751, wenn die Masse des ☿ = 1 gesetzt wird, ferner Δ^II = 8000000 g. M.

4865751 · x^II = Δ^II – x^II

x^II = 16 g. M. und R – x^II = 96145,9 g. M.

Für ♀ Masse der Sonne = 401847 Δ^III = 15000000 g. M.

„ „ Venus = 1

401857 · x^III = Δ^III – x^III

x^III = 37,3 g. M. R – x^III = 96110,2 g. M.

Für ♁ Masse der Sonne = 354936 Δ^IV = 20,666800 g. M.

„ „ Erde = 1

354936 · x^IV = Δ^IV – x^IV

x^IV = 58,2 g. M. R – x^IV = 96089,3 g. M.

Für ♂ Masse der Sonne = 2680337 Δ^V = 31500000 g. M.

„ „ Mars = 1

2680337 · x^V = Δ^V – x^V

x^V = 11,8 g. M. R – x^V = 96135,7 g. M.

Für ist Masse der Sonne = 17918 Δ^VI = 396,500000 g. M.

„ des Uranus = 1

17918 · x^VI = Δ^VI – x^VI

x^VI = 22127,3 g. M. R – x^VI = 74020,2 g. M.

Für ♆ ist Masse der Sonne = 20570 (Astr. Nachr. Nr. 921)

„ des Neptun = 1 Δ^VII = 621,700000

20570 · x^VII = Δ^VII – x^VII

x^VII = 30222,2 g. M. R – x^VII = 65925,3 g. M.

[14] [623] No. 213. S. 397. Statt „der Welt“ muss hier wohl „des Sonnensystems“ gelesen werden.

[15] [623] No. 214. S. 398. Nach §. 15. ist die Masse des Jupiters = $\scriptstyle {\frac {1}{1067}}$ , für die Masse der Sonne = 1; nach Hansen am angeführten Orte wird [624] dieser Bruch $\scriptstyle {\frac {1}{1054}}$ . Eben so gross ist die Schwere gegen beide Körper, bei gleichen Abständen, bei ungleichen Abständen ist die Schwere den Quadraten der Abstände umgekehrt proportional. In der Conjunction von ♃ und ♄ wird ihr gegenseitiger Abstand = 197000000 – 107500000 = 89500000 und daher dieser Abstand des ♄ vom ♃, zum Abstande des ♄ von ☉ wie 895 : 1970 sehr nahe = 4 : 9. Das zusammengesetzte Verhältniss, in welchem die Schwere des Saturns gegen den Jupiter zu seiner Schwere gegen die Sonne steht, ist mithin

$\scriptstyle {\frac {1}{1067\cdot 16}}:{\frac {1}{81}}$ Nach Hansen

oder 81 : 16 · 1067 81 : 16 · 1054

nahe 01 : 211 01 : 208

[16] [624] No. 215. S. 398. Unmittelbar erhalten wir dieses Verhältniss, unter Anwendung des Werthes 3500 nach Hansen, statt des im Texte gebrauchten 3021, $\scriptstyle {\frac {1}{3500\cdot 81}}:{\frac {1}{3500\cdot 16}}:{\frac {1}{25}}$ = 16 : 81 : $\scriptstyle {\frac {16\cdot 81\cdot 3500}{25}}$ = 16 : 81 : 181440. Das folgende Verhältniss wird in diesem Falle 65 : 181440 = 1 : 2791.

[17] [624] So. 216. S. 399. Von einer absoluten Ruhe der Fixsterne kann jetzt füglich nicht mehr die Rede sein, seitdem man bei einer grossen Anzahl derselben die sogenannte eigene Bewegung aufgefunden hat.

[18] [624] No. 217. S. 399. Nach dem Vorgange Bessel’s und W. Struwe’s, denen es gelungen ist, an zwei Sternen eine wenn auch geringe jährliche Parallaxe nachzuweisen, ist eine ähnliche Untersuchung bei anderen Sternen gelungen. Bei der Berechnung der Bahnen von Doppelsternen hat man ferner die Anziehung derselben auf einander mit Erfolg in Anwendung gebracht, woraus man mit Wahrscheinlichkeit schliessen darf, dass die einzelnen Fixsterne auch auf unser Sonnensystem im ganzen eine Wirkung ausüben dürften. Hieraus folgt aber noch nicht, dass sie auch auf die einzelnen Planeten eine gesonderte und daher wahrnehmbare Wirkung ausüben werden.

[19] [624] No. 218. S. 399. Setzt man die halbe grosse Axe der Marsbahn = a, die halben grossen Axen der ♁, ♀ und des ☿ = a', a'', a''', die rückläufige, hundertjährige Bewegung des Aphels von ♂, wie im Text, = 33′ 20″; so hat man nach Hansen a. a. O.

100j. r. Bew. d. Aph.

log a = 0,18290 log(33′20″) = 3,30103

log a' = 0,00000 3/2log $\scriptstyle {\frac {a'}{a}}$ = 9,72565 ♁ 17′ 46″ nahe wie im Texte.

log a'' = 9,85934 3/2log $\scriptstyle {\frac {a''}{a}}$ = 9,51466 ♀ 10 54

log a''' = 9,58781 3/2log $\scriptstyle {\frac {a'''}{a}}$ = 9,10737 ☿ 4 16
[625] Hansen giebt a. a. O.

jähr. Bew. d. Aph. 100jähr. B. d. Aph.

für ♂ 15,″46 25′ 46″ von W. n. O. rechtläufig,

„ ♁ 11,″25 18′ 45″ „ W. n. O. „

„ ♀ 03,″24 05′ 24″ „ O. n. W. rückläufig,

für ☿ 05,″81 09′ 41″ „ W. n. O. rechtläufig.

[20] [625] No. 219. S. 399. Nach Hansen a. a. O. sind diese Werthe: für den Jupiter 9^h 55^m, für den Mars 24^h 37^m, für die Venus 23^h 21^m, für die Erde 23^h 56^m, für die Sonne 25½ Tage, für den Mond 27 Tage 7^h 43^m.

[21] [625] No. 220. S. 400. 27½ Tage machen ungefähr 10/133 vom Jahre aus, und die Erde bewegt sich daher in jenem Zeiträume um 10/133 ihrer Bahn fort. Den gleichvielten Theil ihrer Umdrehungszeit x, in Bezug auf die Fixsterne, braucht die Sonne mehr, um in Bezug auf die Erde ihre Drehung zu vollenden. Aus $\scriptstyle \left(1+{\frac {10}{133}}\right)$ = 27,5 folgt x = 25,6 Tagen.

[22] [625] No. 221. S. 401. Da nach der Tabelle in Schumacher’s Jahrbuch für 1837, pag. 261 7000 engl. Fuss = 1094,67507 Toisen, so werden 367196 engl. Fuss = 57300 Toisen.

[23] [625] No. 222. S. 401. Nimmt man aus den drei im Texte für 1° aufgeführten Werthen das arithmetische Mittel = 57140,3 Toisen, und führt hiermit die Rechnung durch, so ergiebt sich die Peripherie = 123423048 par. Fuss, der Halbmesser = 19643390 par. Fuss.

[24] [625]
Fig. 255.
No. 223. S. 401. Beim Nachrechnen fand ich die hier im Text aufgeführten Zahlen etwas verschieden, jedoch ist der Unterschied so gering, dass das Endresultat unverändert bleibt. Ich finde, wenn ich den gesuchten, in eine Secunde zurückgelegten Bogen durch x bezeichne und den Erdradius r = 19615800 Fuss setze, aus 2rπ : x = 86164 : 1, x = 1430,41 Fuss. Ferner wird sin versus x = $\scriptstyle {\frac {x^{2}}{2r}}$ = 0,0521536 Fuss = 7,51012 Linien. Unter dem Aequator in A sei c die Centrifugalkraft, alsdann ist dieselbe dem Radius CA = r proportional. Unter der Breite φ in P wird die c parallele Centrifugalkraft c' dem Radius DP = r cosφ proportional. Zerlegt man nun c' in zwei Seitenkräfte, die eine längs P, die andere auf CP senkrecht, so wird erstere = c' cos φ = cos φ², und da cos φ² = 0,43325, c cos φ² = 7,510 · 0,43325 = 3,254. Das Verhältniss 2177,254 : 7,510 wird, wie im Text, gleich 289 : 1.

[25] [625]
Fig. 256.
No. 224. S. 402. Nach der in der Bemerkung 74 zu S. 217, [626] ausgeführten Rechnung findet sich die Anziehung des Punktes Q gegen das Sphäroïd durch das Integral $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx, wo QT = x, QR = z, QC = PC = b, TR = y ist. Es ist nun im vorliegenden Falle z² = x² + y² = x² + $\scriptstyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ (2bx – x²) = $\scriptstyle {\frac {2a^{2}bx-\left(a^{2}-b^{2}\right)x^{2}}{b^{2}}}$ ,
mithin $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx

$\scriptstyle =2b+{\frac {b}{a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-4b^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\int \limits _{0}^{2b}{\frac {dx}{\sqrt {2a^{2}bx-\left(a^{2}-b^{2}\right)x^{2}}}}$

$\scriptstyle ={\frac {2a2b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ [Arc. sin. $\scriptstyle \left(1-{\frac {2b^{2}}{a^{2}}}\right)$ + Arc. sin. 1]

oder

1. $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx={\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {2Q^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ Arc. sin. $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ .

Für die entsprechende Kugel ist z = $\scriptstyle {\sqrt {2bx}}$ und so $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx

= 2b – $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {2b}}}$ · ⅔ · (2b)^3/2

oder 2. $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx = ⅔b, und nach Gleichung 1. und 2. das gesuchte Verhältniss

3. $\scriptstyle \left[{\frac {2a^{2}}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {a^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\cdot Arc.\sin .{\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right]$ : ⅔. Nach der Voraussetzung ist a : b = 101 : 100, also $\scriptstyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {201}{100^{2}}}$ ; $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}\cdot {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=2{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}}={\frac {200}{101^{2}}}\cdot {\sqrt {201}}$ ; Arc. sin. $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ = 16° 8′ 18,″9 = 58098,″9. Führt man die numerische Rechnung weiter, so wird $\scriptstyle {\frac {2a^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$ = 101,50251; $\scriptstyle {\frac {a^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ · Arc. sin. $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ = 100,83038, das Verhältniss 3. 0,67213 : ⅔ = 201639 : 200000 = 126,02 : 125.

[26] [626] No. 225. S. 402. In diesem Falle geht nach der obigen Figur, indem wir AP = x', VW = y', AW = z' setzen, das Integral über in
$\scriptstyle \int \limits _{0}^{2a}\left(1-{\frac {x'}{z'}}dx'\right)=\int \limits _{0}^{2a}\left[1-{\frac {ax'}{\sqrt {2ab^{2}x'+\left(a^{2}-b^{2}\right)x'^{2}}}}\right]dx'$
[627]
$\scriptstyle =2a-{\frac {a{\sqrt {2ab^{2}\cdot 2a+\left(a^{2}-b^{2}\right)4a^{2}}}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {2a^{2}b^{2}}{2\left(a^{2}-b^{2}\right)}}\int \limits _{0}^{2a}{\frac {dx'}{\sqrt {2ab^{2}x'+\left(a^{2}-b^{2}\right)x'^{2}}}}$

$\scriptstyle =-{\frac {2a\ b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\cdot {\frac {1}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}$

$\scriptstyle \left\{\log \left[{\frac {2ab^{2}+2\left(a^{2}-b^{2}\right)2a}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}+{\sqrt {2ab^{2}\cdot 2a+\left(a^{2}-b^{2}\right)4a^{2}}}\right]-\log {\frac {2ab^{2}}{2{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}}\right\}$

oder 4. $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2a}\left(1-{\frac {x'}{z'}}\right)dx'$

$\scriptstyle =-{\frac {2ab^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {a^{2}b^{2}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\log {\frac {2a^{2}-b^{2}+2a{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b^{2}}}$

Die log. sind hier hyperbolische, und für die entsprechende Kugel wird hier 5. $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2a}\left(1-{\frac {x'}{z'}}\right)dx'$ = ⅔a; also nach Gl. 4. und 5. das gesuchte Verhältniss

6. $\scriptstyle \left(-{\frac {2b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}+{\frac {a^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\log {\frac {2a^{2}-b^{2}+2a{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b^{2}}}\right)$ : ⅔.

Da ferner $\scriptstyle {\frac {2b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$ = 99,502488, log $\scriptstyle \log {\frac {2a^{2}-b^{2}+2a{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}}{b^{2}}}$ = 0,2826078, so wird das Verhältniss 6. [– 99,502488 + 100,163650] : ⅔ = 198348 : 200000 = 125 : 126,02.

[27] [627] No. 226. S. 402. Setzt man die durch die Kugel, die Erde und das Sphäroïd auf A ausgeübte Schwerkraft respective gleich K, E, S; so hat man K : E = 101 : 100, E : S = 101 : 100, also K : E = E : S, oder E = $\scriptstyle {\sqrt {K\cdot S}}={\sqrt {126\cdot 125}}$ = 125,5…

[28] [627] Nr. 227. S. 403. Bezeichnet man die Schwere in einem unbestimmten Orte X auf der Erde durch F(X), auf der Kugel durch φ(X), auf dem Sphäroïd durch ψ(X); so hat man F(Q) : φ(Q) = 126 : 125, φ(A) : F(A) = 126 : 125,5, φ(Q) : φ(A) = 100 : 101; mithin F(Q) : F(A) = 126 · 126 · 100 : 125 · 125,5 · 101 = 501 : 500.

[29] [627] No. 228. S. 404. Nach Hansen a. a. O. ist 2a = 38,″4, 2b = 35″,6, a : b = 14 : 13.

[30] [627]
Fig. 257.
No. 229. S. 405. Stellt die nebenstehende Figur ¼ des Spharoïds vor, ist A'C = a die halbe grosse, PC = b die halbe kleine Axe; so verhält sich die Schwere unter dem Aequator in A' zu der unter dem Pole in P, wie b : a, und zu der in B wie b : r, wo CB = r. Mithin ist, wenn α die Schwere in A', β die Schwere in B [628] bezeichnet, α proportional $\scriptstyle {\frac {1}{a}}$ , β proportional $\scriptstyle {\frac {1}{r}}$ und so die Zunahme der Schwere von A' bis B, oder β bis α proportional $\scriptstyle {\frac {1}{r}}-{\frac {1}{a}}={\frac {1}{a}}\left({\frac {a}{r}}-1\right)$ . Ist nun CA = x, AB = y, die Breite BCA' = φ, so haben wir $\scriptstyle {\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {x^{2}}{a^{2}}}$ = 1 und weil y = r sinφ, x = r cosφ, $\scriptstyle {\frac {r^{2}\sin \varphi ^{2}}{b^{2}}}+{\frac {r^{2}\cos \varphi ^{2}}{a^{2}}}$ =1. Setzt man nun b² = a² (1 – e²), wo e² nothwendig sehr klein ist, so wird
$\scriptstyle r^{2}={\frac {a^{2}\left(1-e^{2}\right)}{1-e^{2}+e^{2}\sin \varphi ^{2}}}=a^{2}{\frac {1}{1+{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}}}$ ,

oder $\scriptstyle {\frac {a}{r}}={\sqrt {1+{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}}}=1+{\frac {1}{2}}{\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}$ … oder mit grosser Annäherung $\scriptstyle {\frac {1}{a}}\left({\frac {a}{r}}-1\right)={\frac {1}{2a}}\cdot {\frac {e^{2}}{1-e^{2}}}\sin \varphi ^{2}$ , d. h. proportional sinφ².

[31] [628] No. 230. S. 405. Vernachlässigt man die höheren unbedeutenden Glieder, so wird der Ausdruck des Meridiangrades m = α – βcos2φ, wo α und β constant sind, mithin für φ = o, m' = α – β und m – m = β (1 – cos2φ) = βsin. ver. 2φ = 2βsinφ².

[32] [628] No. 231. S. 405. Da für Paris die Länge des Pendels l = 3 Fuss 85/9 Linien = 440,550 Linien, so wird die Länge des synchronischen Pendels unter dem Aequator: l' = $\scriptstyle {\frac {2290000}{2295667}}$ · 440,555 = 439,468, also l – l' = 1,087 Linien.

[33] [628] No. 232. S. 409. Bezeichnet a und b bezüglich den Halbmesser am Aequator und am Pole, so ist nach §. 23. a : b = 230 : 229, welche Proportion der Berechnung der Tabelle im gegenwärtigen §. zum Grunde liegt und womit Richer’s Resultat nahe übereinstimmt. Es wird also a – b = $\scriptstyle {\frac {1}{230}}$ a und da $\scriptstyle {\frac {a+b}{2}}$ = 3923,16 Meilen (§. 23.) a = 3932 M. a – b = 171/10 M. wie §. 23.

[34] [628] No. 233. S. 409. Bekanntlich wird gegenwärtig bei allen astronomischen Rechnungen die Nutation gehörig berücksichtigt.

[35] [628] No. 234. S. 409. Nach Hansen a. a. O. beträgt die tägliche Bewegung des Perigeums 6′ 41,″0 von Westen nach Osten, die tägliche Bewegung der Knotenlinie 3′ 10,″64 von Osten gegen Westen.

[36] [628] No. 235. S. 410. Nach Hansen a. a. O. beträgt die rückläufige Bewegung der Knotenlinie des Mondes in 100 Jahren 5 Umläufe 134° 9′ 57,″5 = 1934,°41, die siderische Umlaufszeit der Erde um die Sonne 365,^d25, die des Jupiters um die Sonne 4332,6, die Umlaufszeit des Mondes um die Erde 27,32 Tage, des vierten Trabanten um ♃ 16,7 Tage. Wir haben daher, wenn wir die Bewegung der Knoten des 4. Trabanten in 100 Jahren durch x bezeichnen: [629]

x : 1934,″41 = $\scriptstyle {\begin{cases}365,25^{2}:4332,6^{2}\\16,7:37,32\end{cases}}$

log (16,7 · 365,25²) 6,34790

log 1934,41 3,28659

Compl. log (27,32 · 4332,6²) 1,29122

log x 0,92571

x = 8° 26′

[37] [629] No. 236. S. 411. Man kann auch so sagen: Die Variation x des 4. Trabanten verhält sich zur Variation V unseres Mondes, wie die jährliche Bewegung der Mondsknoten zur jährlichen Bewegung der Knoten des Trabanten, und wie die Umlaufszeit des Mondes zur Umlaufszeit des Trabanten. Nun ist die Bewegung der Mondsknoten in 100 Jahren = 1934°,41, also in 1 Jahre = 19°,3441 = 69639″, die Bewegung der Knoten des Trabanten in 100 Jahren = 8° 26′ = 30360″, mithin die einjährige = 303″,6. Die Variation

nach Newton nach Hansen

V 33′ 14″ = 1994″ 39′ 30″ = 2370″

mithin x : V = $\scriptstyle {\begin{cases}303,6:69639\\27,32:16,7\end{cases}}$

x = 5″,31 x=6″,3.

[8] Vorlage: ketrifft

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