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	Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre

ausgeführten Rechnung findet sich die Anziehung des Punktes Q gegen das Sphäroïd durch das Integral $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$dx, wo QT = x, QR = z, QC = PC = b, TR = y ist. Es ist nun im vorliegenden Falle z² = x² + y² = x² + $\scriptstyle {\frac {a^{2}}{b^{2}}}$ (2bx – x²) = $\scriptstyle {\frac {2a^{2}bx-\left(a^{2}-b^{2}\right)x^{2}}{b^{2}}}$,

mithin $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx

$\scriptstyle =2b+{\frac {b}{a^{2}-b^{2}}}{\sqrt {4a^{2}b^{2}-4b^{2}\left(a^{2}-b^{2}\right)}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{a^{2}-b^{2}}}\int \limits _{0}^{2b}{\frac {dx}{\sqrt {2a^{2}bx-\left(a^{2}-b^{2}\right)x^{2}}}}$

$\scriptstyle ={\frac {2a2b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {a^{2}b^{2}}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ [Arc. sin. $\scriptstyle \left(1-{\frac {2b^{2}}{a^{2}}}\right)$ + Arc. sin. 1]

oder

1.     $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)dx={\frac {2a^{2}b}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {2Q^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ Arc. sin. $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$.

Für die entsprechende Kugel ist z = $\scriptstyle {\sqrt {2bx}}$ und so $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx

= 2b – $\scriptstyle {\frac {1}{\sqrt {2b}}}$ · ⅔ · (2b)^3/2

oder 2.     $\scriptstyle \int \limits _{0}^{2b}\left(1-{\frac {x}{z}}\right)$ dx = ⅔b, und nach Gleichung 1. und 2. das gesuchte Verhältniss

3.     $\scriptstyle \left[{\frac {2a^{2}}{a^{2}-b^{2}}}-{\frac {a^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}\cdot Arc.\sin .{\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}\right]$ : ⅔. Nach der Voraussetzung ist a : b = 101 : 100, also $\scriptstyle {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}={\frac {201}{100^{2}}}$; $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}\cdot {\sqrt {a^{2}-b^{2}}}=2{\frac {b^{2}}{a^{2}}}\cdot {\sqrt {\frac {a^{2}-b^{2}}{b^{2}}}}={\frac {200}{101^{2}}}\cdot {\sqrt {201}}$; Arc. sin. $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ = 16° 8′ 18,″9 = 58098,″9. Führt man die numerische Rechnung weiter, so wird $\scriptstyle {\frac {2a^{2}}{a^{2}-b^{2}}}$ = 101,50251; $\scriptstyle {\frac {a^{2}b}{\left(a^{2}-b^{2}\right)^{\frac {3}{2}}}}$ · Arc. sin. $\scriptstyle {\frac {2b}{a^{2}}}{\sqrt {a^{2}-b^{2}}}$ = 100,83038, das Verhältniss 3.     0,67213 : ⅔ = 201639 : 200000 = 126,02 : 125.

No. 225. S. 402. In diesem Falle geht nach der obigen Figur, indem wir AP = x', VW = y', AW = z' setzen, das Integral über in

$\scriptstyle \int \limits _{0}^{2a}\left(1-{\frac {x'}{z'}}dx'\right)=\int \limits _{0}^{2a}\left[1-{\frac {ax'}{\sqrt {2ab^{2}x'+\left(a^{2}-b^{2}\right)x'^{2}}}}\right]dx'$

Empfohlene Zitierweise:
Isaac Newton: Mathematische Principien der Naturlehre. Robert Oppenheim, Berlin 1872, Seite 626. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:NewtonPrincipien.djvu/634&oldid=- (Version vom 1.8.2018)