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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/219

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als -ten Grade enthalten kann. Da als Trägheitskörper des Primideals eine zyklische Relativgruppe in bezug auf besitzen muß und der Körper den Körper enthält, so folgt, daß jene zyklische Relativgruppe von in bezug auf höchstens den Grad hat.

Andrerseits stellen wir folgende Betrachtungen an. Die beiden Körper und haben den Körper , aber keinen Körper höheren Grades als gemeinsamen Unterkörper, da sonst in noch weiter zerlegbar sein müßte. Desgleichen haben die beiden Körper und den Körper zum größten gemeinsamen Unterkörper. Wir legen nun als Rationalitätsbereich zugrunde; es ist dann ein solcher Relativkörper in bezug auf , der weder mit , noch mit einen Relativkörper in bezug auf gemein hat. Hieraus schließen wir ohne Mühe, daß , höchstens vom Relativgrade in bezug auf sein kann. Der Körper , ist daher höchstens vom Grade , d. h. die Relativgruppe von in bezug auf hat mindestens den Grad . Dies zusammen mit der oben bewiesenen Tatsache zeigt, daß der Grad der Relativgruppe von in bezug auf gleich sein muß, womit sich für den gegenwärtig betrachteten besonderen Fall die Aussage des Satzes 125 deckt.

Nach Satz 123 genügt einer irreduziblen Gleichung vom -ten Grade mit ganzen rationalen Koeffizienten, und nach dem Beweise zu Satz 87 bleibt diese Gleichung auch noch irreduzibel, wenn man als Rationalitätsbereich irgendeinen Körper zugrunde legt, dessen Diskriminante zu prim ist [Kronecker (3[1], 21[2])].

Die Bildung der linken Seite dieser Gleichung geschieht in folgender Weise. Wird für den Augenblick zur Abkürzung allgemein

und

gesetzt, so ist:

.

[Dedekind (1[3]), Bachmann (2[4])].

Ist eine ganze rationale Zahl und eine in aufgehende zu prime Primzahl, so hat mit Rücksicht auf Satz 125 stets die Kongruenzeigenschaft nach . Es gibt danach offenbar unendlich viele Primzahlen mit dieser Kongruenzeigenschaft.


  1. [358] Mémoire sur les facteurs irréductibles de l’expression . Werke 1, 75 (1854).
  2. [359] Ein Satz über Diskriminanten-Formen. J. Math. 100 (1886).[WS 1]
  3. [356] Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 2. bis 4. Aufl. Braunschweig 1871–1894.[WS 2]
  4. [356] Die Lehre von der Kreisteilung und ihre Beziehungen zur Zahlentheorie. Leipzig 1872.

Anmerkungen (Wikisource)

  1. Kronecker, Leopold: Ein Satz über Discriminanten-Formen, in: Journal für die reine und angewandte Mathematik, Band 100 (1886), S. 79–82 GDZ Göttingen
  2. Dedekind, Richard: Vorlesungen über Zahlentheorie von P. G. Lejeune Dirichlet, 4. Auflage, Braunschweig, 1894, Internet Archive
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 202. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/219&oldid=- (Version vom 31.7.2018)