Die Diskriminante des Körpers
der
-ten Einheitswurzeln ergibt sich durch die erste Aussage in Satz 88.
Endlich kann auf Grund des Satzes 88 unter Zuhilfenahme der Eigenschaften der Zerlegungs- und der Trägheitskörper die Zerlegung einer rationalen Primzahl
im Körper
ausgeführt werden. Man erhält so den Satz:
Satz 125. Ist
eine in
nicht aufgehende rationale Primzahl und
der kleinste positive Exponent, für welchen
nach
ausfällt, und wird dann
gesetzt, so findet im Kreiskörper
der
-ten Einheitswurzeln die Zerlegung
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statt, wo
, …,
voneinander verschiedene Primideale
-ten Grades in
sind.
Ist ferner
eine Potenz von
, und wird
gesetzt, so findet im Körper
der
-ten Einheitswurzeln die Zerlegung
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statt,
, …,
voneinander verschiedene Primideale
-ten Grades in
sind [Kummer (15)‚ Dedekind (5), Weber (4)].
Zum Beweise des Satzes 125 nehmen wir der Kürze wegen
an und bezeichnen dann die Kreiskörper der
-ten,
-ten Einheitswurzeln mit
bez.
. Ferner sei
eine von
,
verschiedene rationale Primzahl und
,
seien je ein idealer Primfaktor von
bez. in den Körpern
,
; wir bezeichnen in
,
die Zerlegungskörper der Primideale
,
bez. mit
,
. Es seien
,
die kleinsten Exponenten, für welche
nach
bzw.
nach
ausfällt, und es möge
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gesetzt werden: dann sind
,
bez. die Grade der Körper
,
und
,
der Relativgrad von
in bezug auf
bez. der Relativgrad von
in bezug auf
. Nach Satz 88 zerfällt die rationale Primzahl
in dem aus
,
zusammengesetzten Körper
in
Ideale; diese sind daher sämtlich Primideale ersten Grades in
. Wir betrachten unter diesen insbesondere das Primideal
und bezeichnen mit
einen Primfaktor von
in dem aus
,
zusammengesetzten Körper
; es sei
, der Zerlegungskörper des Primideals
in
. Es folgt zunächst aus der Definition der Zerlegungskörper, daß
entweder mit
, übereinstimmen oder in
als Unterkörper enthalten sein muß. Die Relativgruppe des aus
,
zusammengesetzten Körpers in bezug auf
ist zyklisch vom Grade
; die Relativgruppe des aus
,
zusammengesetzten Körpers in bezug auf
ist zyklisch vom Grade
. Wir entnehmen hieraus, daß, wenn
das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen
,
bedeutet, die Relativgruppe von
in bezug auf
keine zyklische Untergruppe von höherem