§ 98.
Die Einheiten des Kreiskörpers
. Die Definition der Kreiseinheiten.
Es gelten folgende Tatsachen:
Satz 126. Wenn
eine Potenz einer Primzahl
ist und
eine nicht durch
teilbare Zahl bedeutet, so stellt in dem durch
bestimmten Kreiskörper der Ausdruck
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stets eine Einheit dar.
Wenn die Zahl
verschiedene Primfaktoren enthält und
eine zu
prime Zahl bedeutet, so stellt in dem durch
bestimmten Kreiskörper der Ausdruck
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stets eine Einheit dar.
Beweis. Der erste Teil dieses Satzes 126 ist bereits in den Beweisen der Sätze 117 und 120 festgestellt worden. Um den zweiten Teil zu beweisen, setzen wir
und
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,
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wo
eine zu
und
eine zu
prime ganze rationale Zahl bezeichnet; dabei wird
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.
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Nun ist:
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,
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wo das Produkt über
zu erstrecken ist, oder:
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,
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wo das Produkt über
zu erstrecken ist.
Wir unterscheiden jetzt zwei Fälle, je nachdem die Anzahl der Primzahlen
‚ die in
enthalten sind, zwei oder mehr als zwei beträgt. Im ersteren Falle ist die rechte Seite der Formel (37) nach dem bereits feststehenden ersten Teile des Satzes 126 eine Einheit. Im zweiten Falle können wir annehmen, der zu beweisende Satz 126 sei bereits für diejenigen Kreiskörper
als richtig erkannt, bei welchen die Zahl
durch weniger