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Schwere, Elektricität und Magnetismus:285

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 271
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Fortsetzung.


§. 78.
Fortsetzung: Andere Lösung der Aufgabe.


 Die Aufgabe des vorigen Paragraphen lässt sich auch noch auf einem anderen Wege lösen. Wir setzen


(1)




Diese Ausdrücke sind so beschaffen, dass sie die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen von selbst erfüllen. Die Gleichungen (1), (2), (3) des vorigen Paragraphen geben jetzt:


(2)




Durch diese partiellen Differentialgleichungen sind die Functionen noch nicht völlig bestimmt. Denn angenommen, man habe eine Lösung gefunden, so bezeichne man mit irgend eine Function von , die mit ihren Derivirten endlich und stetig variabel ist. Dann genügen auch die Functionen



den partiellen Differentialgleichungen (2) und geben vermöge der Gleichungen (1) für dasselbe wie die Lösung . Und umgekehrt, wenn man ausser der Lösung noch eine andere Lösung gefunden hat, so sind die Differenzen





die partiellen Derivirten einer und derselben Function , resp. nach , nach , nach genommen. Denn aus den Gleichungen (2) ergibt sich für diese Differenzen: