Schwere, Elektricität und Magnetismus:285

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
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Fortsetzung.

§. 78. Fortsetzung: Andere Lösung der Aufgabe.

 Die Aufgabe des vorigen Paragraphen lässt sich auch noch auf einem anderen Wege lösen. Wir setzen

(1)	$X={\frac {\partial u_{2}}{\partial z}}-{\frac {\partial u_{3}}{\partial y}},\,$ $Y={\frac {\partial u_{3}}{\partial x}}-{\frac {\partial u_{1}}{\partial z}},\,$ $Z={\frac {\partial u_{1}}{\partial y}}-{\frac {\partial u_{2}}{\partial x}}.\,$

Diese Ausdrücke sind so beschaffen, dass sie die Gleichung (4) des vorigen Paragraphen von selbst erfüllen. Die Gleichungen (1), (2), (3) des vorigen Paragraphen geben jetzt:

(2)

${\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial z^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y\partial x}}-{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial z\partial x}}=4\pi i_{1},$ ${\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial x^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial z\partial y}}-{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial x\partial y}}=4\pi i_{2},$ ${\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{3}}{\partial y^{2}}}-{\frac {\partial ^{2}u_{1}}{\partial x\partial z}}-{\frac {\partial ^{2}u_{2}}{\partial y\partial z}}=4\pi i_{3}.$

Durch diese partiellen Differentialgleichungen sind die Functionen $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ noch nicht völlig bestimmt. Denn angenommen, man habe eine Lösung $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ gefunden, so bezeichne man mit $F(x,\,y,\,z)$ irgend eine Function von $x,\,y,\,z$, die mit ihren Derivirten endlich und stetig variabel ist. Dann genügen auch die Functionen

$u_{1}+{\frac {\partial F}{\partial x}},\quad u_{2}+{\frac {\partial F}{\partial y}},\quad u_{3}+{\frac {\partial F}{\partial z}}$

den partiellen Differentialgleichungen (2) und geben vermöge der Gleichungen (1) für $X,\,Y,\,Z$ dasselbe wie die Lösung $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$. Und umgekehrt, wenn man ausser der Lösung $u_{1},\,u_{2},\,u_{3}$ noch eine andere Lösung $U_{1},\,U_{2},\,U_{3}$ gefunden hat, so sind die Differenzen

$U_{1}-u_{1}\,$ $U_{2}-u_{2}\,$ $U_{3}-u_{3}\,$

die partiellen Derivirten einer und derselben Function $F(x,\,y,\,z)$, resp. nach $x\!$, nach $y\!$, nach $z\!$ genommen. Denn aus den Gleichungen (2) ergibt sich für diese Differenzen: