Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 32.

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§. 32. Fortsetzung: Die Dichtigkeit in jedem Punkte der Oberfläche.

 Für die Dichtigkeit haben wir die Gleichung abgeleitet

(1)	$-4\;\pi \;\rho =\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a+0}-\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a-0}.$

Für $V'\!$ nehmen wir am besten den Ausdruck (7) des vorigen Paragraphen. Dann findet sich

(2)

${\begin{aligned}2{\frac {\partial V'}{\partial r'}}=&\mp {\frac {a}{r'^{2}}}F(\pi )-{\frac {a}{r'^{2}}}F(0)\\&\pm \left(1+{\frac {a^{2}}{r'^{2}}}\right)\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {1}{2}}}}\\&\pm {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )}{a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}F'(\theta )d\theta ,\\\end{aligned}}$

und daraus wird für $r'=a\pm 0\!$

(3)

${\begin{aligned}2\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a\pm 0}=&\mp {\frac {1}{a}}F(\pi )-{\frac {1}{a}}F(0)\pm 2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )d\theta }{2a\sin {\frac {1}{2}}\theta }}\\&\pm \lim {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )F'(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}.\\\end{aligned}}$

Das letzte Integral ist noch zu transformiren. Wir schreiben

${\begin{aligned}a\cos \theta -r'&=(a-r')-a(1-\cos \theta )\\&=(a-r')-2\,a\sin {\frac {1}{2}}\theta ^{2}.\\\end{aligned}}$

Demnach ist

${\begin{aligned}&\lim {\frac {r'^{2}-a^{2}}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )F'(\theta )d\theta }{a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\=&\lim {\frac {(r'+a)}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {-(r'-a)^{2}F'(\theta )d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\,a\,r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}\\-&\lim {\frac {(r'^{2}-a^{2})}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {2\,a\sin {\frac {1}{2}}\theta ^{2}}{\left(2\,a\sin {\frac {1}{2}}\theta \right)^{3}}}F'(\theta )d\theta .\\\end{aligned}}$

Der letzte Bestandtheil der rechten Seite verschwindet, wenn das Integral einen endlichen Werth hat, d. h. wenn $F'(0)=0\!$ ist. Den ersten Bestandtheil zerlegen wir weiter. Es ist nemlich

$-(r'-a)^{2}=-(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )+4\;a\;r'\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{2}.$

Folglich

$\lim {\frac {(r'^{2}-a^{2})}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )\,F'(\theta )\,d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}$ $=-2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{2\;a\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta }}\,+2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {4\;a^{2}\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{2}\;F'(\theta )\,d\theta }{8\;a^{3}\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{3}}}=0.$

 Danach geht die Gleichung (3) über in

$2\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a\pm 0}=\mp \,{\frac {1}{a}}\,F(\pi )-\,{\frac {1}{a}}\,F(0)\pm \,{\frac {1}{a}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{sin\,{\frac {1}{2}}\,\theta }},\,$

und die Gleichung (1) gibt jetzt

(4)	$\rho =\,{\frac {1}{4\;a\;\pi }}\,\left\lbrace F(\pi )-\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{sin\,{\frac {1}{2}}\,\theta }}\right\rbrace .$

 Man sieht aus dieser Gleichung, wie die Dichtigkeit $\rho \!$ in irgend einem Punkte der Kugeloberfläche abhängig ist von den Werthe, welche die Potentialfunction in allen Punkten dieser Oberfläche besitzt.

 Zur Berechnung von $\rho \!$ ist die Formel nicht brauchbar. Vielmehr hat man zu diesem Zweck sie in eine Reihe von Kugelfunctionen zu entwickeln. Die Convergenz der Reihe darf nicht a priori angenommen, sie muss vielmehr bewiesen werden. Das hat Dirichlet*)^[1] gethan, indem er die Reihe summirt und allgemein nachweist, dass ihre Summe gleich dem obigen Integral-Ausdruck ist.

 Wir haben noch zu zeigen, dass im allgemeinen, d. h. abgesehen von einzelnen Ausnahmefällen, $F'(\theta )=0\!$ ist für $\theta =0\!$. Zu dem Ende ziehen wir im Pol der Kugel (Fig. 25) zwei Tangenten, parallel resp. zu den Axen der positiven $x\!$ und der positiven $y\!$, und

Fig. 25.

bezeichnen die auf ihnen gezählten Strecken resp. mit $\xi \!$ und $\eta \!$. Nehmen wir dann auf irgend einem Meridian, der mit dem Anfangsmeridian den Winkel $\varphi \!$ einschliesst, vom Pol aus eine unendlich kleine Strecke $\theta \!$, so darf man diese durch ihre Tangente ersetzen und hat (unter Vernachlässigung der höheren Potenzen von $\theta \!$) die Gleichungen

$\xi =\theta \cos \varphi ,\!$ $\eta =\theta \cos \varphi .\!$

Setzen wir voraus, dass $f(\theta ,\,\varphi )$ in der Nähe des Pols endliche Derivirte hat, so können wir nach Taylor's Satze entwickeln

$f(\theta ,\,\varphi )=V=V_{0}+\xi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}+\eta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}+\dotsb$

Dabei sind die nicht hingeschriebenen Glieder der zweiten und höheren Potenzen von $\theta \!$ proportional. Hieraus erhalten wir

${\begin{aligned}F(\theta )=V_{0}&+{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left[\theta \cos \varphi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}+\theta \sin \varphi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}\right]d\varphi \\&+\dotsb \\=V_{0}&+{\frac {1}{2\pi }}\theta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}\int \limits _{0}^{2\pi }\cos \varphi \,d\varphi \,+{\frac {1}{2\pi }}\theta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}\int \limits _{0}^{2\pi }\sin \varphi \,d\varphi \\&+\dotsb \\=V_{0}&+\theta \cdot 0+\dotsb \\\end{aligned}}$

In der Entwicklung von $F(\theta )\!$ nach Potenzen von $\theta \!$ ist also der Coefficient der ersten Potenz gleich Null, d. h.

$F'(\theta )=0\!$ für $\!\theta =0,$

was zu beweisen war.

 In besonderen Fällen können Ausnahmen eintreten, die dann eine besondere Untersuchung nöthig machen.

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1. *) Dirichlet. Ueber einen neuen Ausdruck zur Bestimmung der Dichtigkeit einer unendlich dünnen Kugelschale, wenn der Werth des Potentials in jedem Punkte der Oberfläche gegeben ist. (Abhandlungen der K. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1850. Seite 99.)