Schwere, Elektricität und Magnetismus:154

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 140
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Zweiter Abchnitt. §. 32.

$-(r'-a)^{2}=-(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )+4\;a\;r'\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{2}.$

Folglich

$\lim {\frac {(r'^{2}-a^{2})}{r'}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {(-r'+a\cos \theta )\,F'(\theta )\,d\theta }{(a^{2}+r'^{2}-2\;a\;r'\cos \theta )^{\frac {3}{2}}}}$ $=-2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{2\;a\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta }}\,+2\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {4\;a^{2}\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{2}\;F'(\theta )\,d\theta }{8\;a^{3}\sin \,{\frac {1}{2}}\,\theta ^{3}}}=0.$

 Danach geht die Gleichung (3) über in

$2\left({\frac {\partial V'}{\partial r'}}\right)_{a\pm 0}=\mp \,{\frac {1}{a}}\,F(\pi )-\,{\frac {1}{a}}\,F(0)\pm \,{\frac {1}{a}}\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{sin\,{\frac {1}{2}}\,\theta }},\,$

und die Gleichung (1) gibt jetzt

(4)	$\rho =\,{\frac {1}{4\;a\;\pi }}\,\left\lbrace F(\pi )-\int \limits _{0}^{\pi }{\frac {F'(\theta )\,d\theta }{sin\,{\frac {1}{2}}\,\theta }}\right\rbrace .$

 Man sieht aus dieser Gleichung, wie die Dichtigkeit $\rho \!$ in irgend einem Punkte der Kugeloberfläche abhängig ist von den Werthe, welche die Potentialfunction in allen Punkten dieser Oberfläche besitzt.

 Zur Berechnung von $\rho \!$ ist die Formel nicht brauchbar. Vielmehr hat man zu diesem Zweck sie in eine Reihe von Kugelfunctionen zu entwickeln. Die Convergenz der Reihe darf nicht a priori angenommen, sie muss vielmehr bewiesen werden. Das hat Dirichlet*)^[1] gethan, indem er die Reihe summirt und allgemein nachweist, dass ihre Summe gleich dem obigen Integral-Ausdruck ist.

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1. *) Dirichlet. Ueber einen neuen Ausdruck zur Bestimmung der Dichtigkeit einer unendlich dünnen Kugelschale, wenn der Werth des Potentials in jedem Punkte der Oberfläche gegeben ist. (Abhandlungen der K. Akademie der Wissenschaften zu Berlin. 1850. Seite 99.)