Fertig! Dieser Text wurde zweimal anhand der Quelle Korrektur gelesen. Die Schreibweise folgt dem Originaltext.
Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.
Wir haben noch zu zeigen, dass im allgemeinen, d. h. abgesehen von einzelnen Ausnahmefällen, ist für . Zu dem Ende ziehen wir im Pol der Kugel (Fig. 25) zwei Tangenten, parallel resp. zu den Axen der positiven und der positiven , und Fig. 25. bezeichnen die auf ihnen gezählten Strecken resp. mit und . Nehmen wir dann auf irgend einem Meridian, der mit dem Anfangsmeridian den Winkel einschliesst, vom Pol aus eine unendlich kleine Strecke , so darf man diese durch ihre Tangente ersetzen und hat (unter Vernachlässigung der höheren Potenzen von ) die Gleichungen
Setzen wir voraus, dass in der Nähe des Pols endliche Derivirte hat, so können wir nach Taylor's Satze entwickeln
Dabei sind die nicht hingeschriebenen Glieder der zweiten und höheren Potenzen von proportional. Hieraus erhalten wir
In der Entwicklung von nach Potenzen von ist also der Coefficient der ersten Potenz gleich Null, d. h.
für
was zu beweisen war.
In besonderen Fällen können Ausnahmen eintreten, die dann eine besondere Untersuchung nöthig machen.
![{\displaystyle {\begin{aligned}F(\theta )=V_{0}&+{\frac {1}{2\pi }}\int \limits _{0}^{2\pi }\left[\theta \cos \varphi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}+\theta \sin \varphi \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}\right]d\varphi \\&+\dotsb \\=V_{0}&+{\frac {1}{2\pi }}\theta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \xi }}\right)_{0}\int \limits _{0}^{2\pi }\cos \varphi \,d\varphi \,+{\frac {1}{2\pi }}\theta \,\left({\frac {\partial V}{\partial \eta }}\right)_{0}\int \limits _{0}^{2\pi }\sin \varphi \,d\varphi \\&+\dotsb \\=V_{0}&+\theta \cdot 0+\dotsb \\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/96025dc19bc8e920cb679d30d3e06236e28f6a34)
