Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 33.

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§. 33. Allgemeine Eigenschaften der Green'schen Function $U\!.$

 Wir gehen zu der Betrachtung der allgemeinen Eigenschaften der Function $\!U$ über. Sie ist im §. 21 durch drei charakteristische Merkmale definirt:

 Erstens: Sie genügt im Innern des Raumes $\!S$ der partiellen Differentialgleichung

(1)	${\frac {\partial ^{2}U}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}U}{\partial z^{2}}}=0.$

 Zweitens: Sie hat in der Oberfläche des Raumes $\!S$ überall den Werth Null.

 Drittens: Sie ist im Innern des Raumes $\!S$ überall endlich und stetig variabel, ausser im Punkte $(x',\,y',\,z')$, wo sie unendlich wird wie ${\frac {1}{t}}$, wenn

$t={\sqrt {(x-x')^{2}+(y-y')^{2}+(z-z')^{2}}}.$

 Hiernach ist $U\!$ eine Function einerseits von den Coordinaten $x',\,y',\,z'$ des Unstetigkeitspunktes, andererseits von den Coordinaten $x,\,y,\,z$ irgend eines Punktes im Innern oder auf der Oberfläche des Raumes $S\!$. Wir wollen mit $U_{\varepsilon }\!$ die Function $U\!$ bezeichnen,

Fig. 26.

welche im Punkte $\varepsilon \!$ unendlich wird, und mit $U_{\varepsilon }(\varepsilon ')$ den Werth, welchen sie im Punkte $\varepsilon '$ annimmt. Ebenso soll $U_{\varepsilon }'$ die Function $U\!$ sein, welche im Punkte $\varepsilon '\!$ unendlich wird, und $U_{\varepsilon }'(\varepsilon )$ soll den Werth bezeichnen, den sie im Punkte $\varepsilon \!$ annimmt. Um die Punkte $\varepsilon \!$ und $\varepsilon '\!$ als Mittelpunkte legen wir zwei Kugelflächen mit den Radien $t\!$ und $t'\!$. Den inneren Raum dieser Kugeln schliessen wir

von dem Raume $S\!$ aus und bezeichnen mit $S_{1}\!$ den Raum, der übrig bleibt. Dann sind $U_{\varepsilon }$ und $U_{\varepsilon '}$, sowie ihre ersten Derivirten im Innern von $S_{1}\!$ überall endlich und stetig variabel. Ausserdem genügen im Innern von $S_{1}\!$ beide Functionen der partiellen Differentialgleichung (1). Folglich ist nach dem Satze von Green (§. 20)

(2)	$\int \left(U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial n}}-U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial n}}\right)d\sigma =0,$

wenn das Integral über die Begrenzung von $S_{1}\!$ erstreckt wird und $n\!$ die in der Begrenzung nach dem Innern von $S_{1}\!$ gezogene Normale bezeichnet. Die Begrenzung von $S_{1}\!$ besteht aus der Oberfläche des Raumes $S\!$ und aus den beiden Kugelflächen um $\varepsilon \!$ und $\varepsilon '.\!$ In der Oberfläche von $S\!$ sind $U_{\varepsilon }\!$ und $U_{\varepsilon '}\!$ beide gleich Null, folglich liefert diese Oberfläche zu dem Integral (2) ebenfalls den Beitrag Null. Für die Kugelfläche um $\varepsilon \!$ (Fig. 26) fällt die Richtung von $n\!$ mit der Richtung der wachsenden $t\!$ zusammen. Das Oberflächen-Element $d\sigma \!$ ist $t^{2}d\omega \!$, wenn mit $d\omega \!$ das Element auf einer Kugel vom Radius 1 bezeichnet wird. Die um $\varepsilon \!$ gelegte Kugelfläche liefert also zu dem Integral (2) den Beitrag

$\int \left(U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}-U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}\right)t^{2}d\omega .$

Nun sind $U_{\varepsilon '},\!$ und ${\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}\!$ in der Kugelfläche endlich. Ferner ist in ihr

$U_{\varepsilon }={\frac {1}{t}}+f.\;c.$ ${\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}=-{\frac {1}{t^{2}}}+f'.\;c.$

Folglich haben wir für ein unendlich abnehmendes $t\!$

$\lim t^{2}U_{\varepsilon }{\frac {\partial U_{\varepsilon '}}{\partial t}}=0,$ $\lim t^{2}U_{\varepsilon '}{\frac {\partial U_{\varepsilon }}{\partial t}}=-U_{\varepsilon '}(\varepsilon ),$

und der Beitrag, welchen die Kugelfläche um $\varepsilon \!$ zu dem Integral (2) liefert, hat für $\lim t=0\!$ den Grenzwerth

$4\,\pi \,U_{\varepsilon '}(\varepsilon ).$

 Ebenso findet sich der Beitrag, welchen die um $\varepsilon \!$ gelegte Kugelfläche zu dem Integral (2) liefert. Sein Grenzwerth für $\lim t=0\!$ ist

$-4\,\pi \,U_{\varepsilon '}(\varepsilon ).$

Der in Gleichung (2) ausgesprochene Satz lautet jetzt also

$4\;\pi \lbrace U_{\varepsilon '}(\varepsilon )-U_{\varepsilon }(\varepsilon ')\rbrace =0$

oder kürzer

(3)	$U_{\varepsilon '}(\varepsilon )=U_{\varepsilon }(\varepsilon ').$

 D. h. die Function $U\!$ ist eine symmetrische Function von $(x,\,y,\,z)$ und von $(x',\,y',\,z')$.

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