Schwere, Elektricität und Magnetismus/§. 29.

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§. 29. Beispiel: Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

 Wir wollen die Potentialfunction $V\,$ einer kugelförmigen Masse bestimmen, wenn die Dichtigkeit $\rho \,$ nicht constant ist und der Werth von $V\,$ in der Oberfläche als gegeben vorausgesetzt wird. Der Radius der anziehenden Kugel sei $=a\,$. In ihren Mittelpunkt legen wir den Anfangspunkt des rechtwinkligen Coordinatensystems.

 Zunächst kömmt es darauf an, von den rechtwinkligen Coordinaten $x,\,y,\,z$ zu Kugel-Coordinaten $r,\,\theta ,\,\varphi$ als unabhängigen Variabeln überzugehen.

 Wir legen den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten in den Anfangspunkt des rechtwinkligen Systems. Auf der Kugel vom Radius $1\,$, welche diesen Punkt zum Centrum hat, wählen wir den Pol an der Stelle, welche von der Axe der positiven $z\,$ getroffen wird. Als Anfangsmeridian soll der vom Pol zum Gegenpol verlaufende grösste Halbkreis genommen werden, den die Axe der positiven $x\,$ durchschneidet. Der Punkt, dessen rechtwinklige Coordinaten $x,\,y,\,z$ sind, hat den Radiusvector $r\,$. Dieser schneidet die Kugel vom Radius $1\,$ in einem Punkte, dessen Poldistanz mit $\theta \,$ und dessen geographische Länge mit $\varphi \,$ bezeichnet werden möge. Der Zusammenhang von $r,\,\theta ,\,\varphi$ mit $x,\,y,\,z$ wird durch die Gleichungen ausgesprochen:

(1)	$x=r\sin \theta \cos \varphi ,\,$ $y=r\sin \theta \sin \varphi ,\,$ $z=r\cos \theta .\,$

 Auf Grund dieser Gleichungen könnte man den Ausdruck

${\frac {\partial ^{2}V}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}V}{\partial z^{2}}}$

durch blosse Rechnung transformiren. Wir ziehen es vor, den neuen Ausdruck direct herzuleiten, indem wir den Satz von Gauss

Fig. 22.

(§.12) auf ein Raumelement des Kugelcoordinaten-Systems anwenden. Dieses Raumelement (Fig.22) wird begrenzt von zwei concentrischen Kugelflächen, die mit den Radien $r\,$ und $r+dr\,$ um den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten beschrieben sind, ferner von zwei Kegelflächen, welche die $z\,$Axe zur Axe haben, und deren Erzeugende mit dieser Axe die Winkel $\theta \,$ und resp. $\theta +d\theta \,$ einschliessen, endlich von zwei Meridian-Ebenen, die mit der Ebene des Anfangsmeridians die Winkel $\varphi \,$ und $\varphi +d\varphi \,$ bilden. Die sechs Begrenzungsflächen durchschneiden sich in zwölf Kanten. Je drei von ihnen, welche eine dreiseitige Ecke bilden, stehen rechtwinklig aufeinander.

 Der Satz von Gauss lautet:

(2)	$\int N\,d\sigma =4\,\pi \,M,$

wenn die Integration über die Oberfläche des Raumelementes erstreckt wird. $N\,$ ist die Componente der Anziehung in der Oberfläche, genommen in der Richtung der nach innen gezogenen Normale, und $M\,$ die Masse im Innern des Raumelementes.

 Das Integral zerlegt sich in sechs Bestandteile, deren jeder von einer Seitenfläche herrührt. Wir haben zunächst zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Radius vector $r\,$. Der Flächeninhalt derselben ist $r^{2}\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi \,$ und resp. $(r+dr)^{2}\,\sin \theta \,d\theta \,d\varphi$. Für die erste ist $N={\frac {\partial V}{\partial r}}\,$, für die andere $N=-\left({\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r+dr}$. Folglich liefern diese beiden Seitenflächen zu dem Integral den Beitrag

$\left\lbrace r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}-\left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)_{r+dr}\right\rbrace \sin \theta \,d\theta \,d\varphi$ $=-{\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$

Es kommen ferner in Betracht zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Meridian. Ihr Flächeninhalt ist $r\,\sin \theta \,dr\,d\varphi$ und resp. $r\,\sin(\theta +d\theta )\,dr\,d\varphi$. Für die eine ist $N={\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}$, für die andere $N=-\left({\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\right)_{\theta +d\theta }$. Folglich lautet der Beitrag zu dem Integral

$\left\lbrace {\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\sin \theta -\left({\frac {\partial V}{r\,\partial \theta }}\sin \theta \right)_{\theta +d\theta }\right\rbrace r\,dr\,d\varphi$ $=-{\frac {\partial \left({\frac {\partial V}{\partial \theta }}\sin \theta \right)}{\partial \theta }}dr\,d\theta \,d\varphi .$

 Endlich handelt es sich noch um zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Parallelkreis. Jede von ihnen hat den Flächeninhalt $r\,dr\,d\theta$. Für die eine ist $N={\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,d\varphi }}$, für die andere $N=\left({\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,d\varphi }}\right)_{\varphi +d\varphi }$. Wir erhalten also zu dem Integral den Beitrag

$\left\lbrace {\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,\partial \varphi }}-\left({\frac {\partial V}{r\,\sin \theta \,\partial \varphi }}\right)_{\varphi +d\varphi }\right\rbrace r\,dr\,d\theta$ $=-{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}dr\,d\theta \,d\varphi .$

 Fassen wir diese Beiträge zusammen, so wird aus der linken Seite der Gleichung (2):

$-dr\,d\theta \,d\varphi \left\lbrace {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}\sin \theta +{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace .$

Auf der rechten Seite ist

$M=\rho \,r^{2}\,\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi .$

Stellt man hiernach die Gleichung (2) auf und dividirt auf beiden Seiten durch $-r^{2}\,\sin \theta \,dr\,d\theta \,d\varphi$, so ergibt sich:

(3)

${\frac {1}{r^{2}}}\left\lbrace {\frac {\partial \left(r^{2}{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}\right\rbrace =-4\,\pi \,\rho .$

Dies ist die partielle Differentialgleichung, welche für Kugel-Coordinaten an die Stelle der Gleichung (4) des §. 13 tritt.

 Die Gleichung von Laplace lautet demnach für dieses Coordinatensystem:

(4)	${\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$

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