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Schwere, Elektricität und Magnetismus:142

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 128
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Zweiter Abschnitt. §. 29.


 Auf Grund dieser Gleichungen könnte man den Ausdruck



durch blosse Rechnung transformiren. Wir ziehen es vor, den neuen Ausdruck direct herzuleiten, indem wir den Satz von Gauss
Fig. 22.
(§.12) auf ein Raumelement des Kugelcoordinaten-Systems anwenden. Dieses Raumelement (Fig.22) wird begrenzt von zwei concentrischen Kugelflächen, die mit den Radien und um den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten beschrieben sind, ferner von zwei Kegelflächen, welche die Axe zur Axe haben, und deren Erzeugende mit dieser Axe die Winkel und resp. einschliessen, endlich von zwei Meridian-Ebenen, die mit der Ebene des Anfangsmeridians die Winkel und bilden. Die sechs Begrenzungsflächen durchschneiden sich in zwölf Kanten. Je drei von ihnen, welche eine dreiseitige Ecke bilden, stehen rechtwinklig aufeinander.

 Der Satz von Gauss lautet:


(2)


wenn die Integration über die Oberfläche des Raumelementes erstreckt wird. ist die Componente der Anziehung in der Oberfläche, genommen in der Richtung der nach innen gezogenen Normale, und die Masse im Innern des Raumelementes.

 Das Integral zerlegt sich in sechs Bestandteile, deren jeder von einer Seitenfläche herrührt. Wir haben zunächst zwei Seitenflächen, rechtwinklig gegen den Radius vector . Der Flächeninhalt derselben ist und resp. . Für die erste ist , für die andere . Folglich liefern diese beiden Seitenflächen zu dem Integral den Beitrag