Schwere, Elektricität und Magnetismus:141

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 127
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Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

(12)	$\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{+0}-\left({\frac {\partial X}{\partial x}}\right)_{-0}=-4\,\pi \,\rho ,$

unter der Voraussetzung, dass $\sigma '=0\,$, d. h. dass ${\frac {y^{2}}{\beta ^{2}}}+{\frac {z^{2}}{\gamma ^{2}}}<1$ ist.

 Damit ist bewiesen, dass $X\,$ auch der Bedingung (2) Genüge leistet.

 Endlich muss $X=0\,$ sein, wenn der Punkt $(x,\,y,\,z)$ in unendliche Entfernung rückt. Dass dies wirklich eintrifft, ist schon in §. 26 bewiesen.

 Die Function $X\,$ genügt also in der That den Bedingungen (1), (2), (3).

§. 29. Beispiel: Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.

 Wir wollen die Potentialfunction $V\,$ einer kugelförmigen Masse bestimmen, wenn die Dichtigkeit $\rho \,$ nicht constant ist und der Werth von $V\,$ in der Oberfläche als gegeben vorausgesetzt wird. Der Radius der anziehenden Kugel sei $=a\,$. In ihren Mittelpunkt legen wir den Anfangspunkt des rechtwinkligen Coordinatensystems.

 Zunächst kömmt es darauf an, von den rechtwinkligen Coordinaten $x,\,y,\,z$ zu Kugel-Coordinaten $r,\,\theta ,\,\varphi$ als unabhängigen Variabeln überzugehen.

 Wir legen den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten in den Anfangspunkt des rechtwinkligen Systems. Auf der Kugel vom Radius $1\,$, welche diesen Punkt zum Centrum hat, wählen wir den Pol an der Stelle, welche von der Axe der positiven $z\,$ getroffen wird. Als Anfangsmeridian soll der vom Pol zum Gegenpol verlaufende grösste Halbkreis genommen werden, den die Axe der positiven $x\,$ durchschneidet. Der Punkt, dessen rechtwinklige Coordinaten $x,\,y,\,z$ sind, hat den Radiusvector $r\,$. Dieser schneidet die Kugel vom Radius $1\,$ in einem Punkte, dessen Poldistanz mit $\theta \,$ und dessen geographische Länge mit $\varphi \,$ bezeichnet werden möge. Der Zusammenhang von $r,\,\theta ,\,\varphi$ mit $x,\,y,\,z$ wird durch die Gleichungen ausgesprochen:

(1)	$x=r\sin \theta \cos \varphi ,\,$ $y=r\sin \theta \sin \varphi ,\,$ $z=r\cos \theta .\,$