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Schwere, Elektricität und Magnetismus:141

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Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 127
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Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.


(12)


unter der Voraussetzung, dass , d. h. dass ist.

 Damit ist bewiesen, dass auch der Bedingung (2) Genüge leistet.

 Endlich muss sein, wenn der Punkt in unendliche Entfernung rückt. Dass dies wirklich eintrifft, ist schon in §. 26 bewiesen.

 Die Function genügt also in der That den Bedingungen (1), (2), (3).


§. 29.
Beispiel: Potentialfunction einer nicht homogenen Kugel.


 Wir wollen die Potentialfunction einer kugelförmigen Masse bestimmen, wenn die Dichtigkeit nicht constant ist und der Werth von in der Oberfläche als gegeben vorausgesetzt wird. Der Radius der anziehenden Kugel sei . In ihren Mittelpunkt legen wir den Anfangspunkt des rechtwinkligen Coordinatensystems.

 Zunächst kömmt es darauf an, von den rechtwinkligen Coordinaten zu Kugel-Coordinaten als unabhängigen Variabeln überzugehen.

 Wir legen den Mittelpunkt der Kugel-Coordinaten in den Anfangspunkt des rechtwinkligen Systems. Auf der Kugel vom Radius , welche diesen Punkt zum Centrum hat, wählen wir den Pol an der Stelle, welche von der Axe der positiven getroffen wird. Als Anfangsmeridian soll der vom Pol zum Gegenpol verlaufende grösste Halbkreis genommen werden, den die Axe der positiven durchschneidet. Der Punkt, dessen rechtwinklige Coordinaten sind, hat den Radiusvector . Dieser schneidet die Kugel vom Radius in einem Punkte, dessen Poldistanz mit und dessen geographische Länge mit bezeichnet werden möge. Der Zusammenhang von mit wird durch die Gleichungen ausgesprochen:


(1)