Schwere, Elektricität und Magnetismus:144

Bernhard Riemann: Schwere, Elektricität und Magnetismus
Seite 130
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Zweiter Abschnitt. §. 30.

Dies ist die partielle Differentialgleichung, welche für Kugel-Coordinaten an die Stelle der Gleichung (4) des §. 13 tritt.

 Die Gleichung von Laplace lautet demnach für dieses Coordinatensystem:

(4)	${\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial V}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial V}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}V}{\partial \varphi ^{2}}}=0.$

§. 30. Fortsetzung: Die Function $U\,$.

 Soll zunächst die Function $V\,$ für irgend einen Punkt $(r',\,\theta ',\,\varphi ')$ im Innern der Kugel vom Radius $a\,$ hergestellt werden $(r'<a)\,$, so handelt es sich nach Green's Methode darum, eine Function $U\,$ ausfindig zu machen, die den folgenden Bedingungen Genüge leistet:

(1)	${\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\right)}{\partial r}}+{\frac {1}{\sin \theta }}\,{\frac {\partial \left(\sin \theta \,{\frac {\partial U}{\partial \theta }}\right)}{\partial \theta }}+{\frac {1}{\sin \theta ^{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \varphi ^{2}}}=0$

im Innern der Kugel vom Radius $a\,(r<a);$

(2)	$U=0\,$ in der Oberfläche $a\,(r=a);$

(3)	$U=\infty$ im Punkte $(r',\,\theta ',\,\varphi '),$

wie der reciproke Werth der Entfernung von diesem Punkte.

 Die partielle Differentialgleichung (1) lässt sich durch eine andere ersetzen, wenn man eine Function $u\,$ einführt durch die Gleichung:

(4)	$U=r^{-{\frac {1}{2}}}u$

und $\lg r\,$ als Variable nimmt statt $r\,$. Es ist nemlich

$r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}=r\,{\frac {\partial U}{\partial \lg r}},$

folglich

${\frac {\partial \left(r^{2}\,{\frac {\partial U}{\partial r}}\right)}{\partial r}}=\,{\frac {\partial ^{2}U}{\partial \lg r^{2}}}+{\frac {\partial U}{\partial \lg r}}.$

 Aus der Gleichung (4) findet sich durch Differentiation

${\frac {\partial U}{\partial \lg r}}=r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial u}{\partial \lg r}}-{\frac {1}{2}}\,r^{-{\frac {1}{2}}}u,$

${\frac {\partial ^{2}U}{\partial \lg r^{2}}}=r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial ^{2}u}{\partial \lg r^{2}}}-r^{-{\frac {1}{2}}}\,{\frac {\partial u}{\partial \lg r}}+{\frac {1}{4}}\,r^{-{\frac {1}{2}}}\,u.$