|[122]
§. 28.
Fortsetzung: Die Componente
kann als Potentialfunction einer Ellipsenfläche aufgefasst werden.
Es sollte
die Potentialfunction bezeichnen für den Fall, dass der von der Fläche (1) des §. 26 begrenzte cylindrische Raum von
bis
mit Masse von der constanten Dichtigkeit
und von
bis
mit Masse von der constanten Dichtigkeit
erfüllt ist. Dann ist, wie wir gesehen haben,
|
|
die Potentialfunction des Cylinders von der Dichtigkeit
, der von den Endflächen
und
begrenzt wird. Lässt man nun
unendlich klein werden, so erhält man
|
d. h.
|
als Potentialfunction des Cylinders, der von den Endflächen
und
begrenzt wird. Ein Element dieses Cylinders enthält die Masse
. Man kann sich dies auch so vorstellen, als ob die Masse mit der Dichtigkeit
auf der Basisfläche des
|[123]Cylinders ausgebreitet wäre. Folglich ist
die Potentialfunction der Ellipsenfläche
|
|
über welche die Masse mit der constanten Dichtigkeit
ausgebreitet ist.
Wir wollen nun direct beweisen, dass der Ausdruck (5) des §. 26 allen den Bedingungen Genüge leistet, durch welche die Potentialfunction der eben genannten Ellipsenfläche eindeutig bestimmt ist. Es ist dies eine zweite Art, den Ausdruck für
zu verificiren.
Es kömmt darauf an zu beweisen, dass
(1)
|
|
im ganzen unendlichen Räume, dass
(2)
|
|
für jeden Punkt der anziehenden Fläche, und dass
(3)
|
|
ist, wenn eine der drei Coordinaten
unendlich gross genommen wird.
Wir gehen aus von der Gleichung (3) des vorigen Paragraphen, nemlich
(4)
|
|
Die Integration ist durch die Linie
(Fig. 18) zu erstrecken. Zur Abkürzung schreiben wir
|
|
Durch Differentiation findet sich
|
|
|[124]
Ferner hat man
|
[1]
|
Daraus berechnet sich
(5)
|
|
|
|
Man findet aber leicht
|
|
Folglich vereinfacht sich die Gleichung (5). Man erhält nemlich
(6)
|
|
|
|
Mit Hülfe dieser Gleichung ergibt sich
(7)
|
|
|
|
Das Integral ist zu erstrecken durch die Linie
(Fig. 18) von
|[125]um
herum bis
. Das unbestimmte Integral lässt sich ausrechnen, nemlich
|
|
Diese Function ist auf dem ganzen Integrationswege einwerthig, endlich und stetig variabel. Man findet also das bestimmte Integral gleich der Differenz der Werthe des unbestimmten Integrals an den Grenzen. Diese Werthe sind aber an den Grenzen
beide gleich Null. Folglich
(8)
|
|
Dies ist die zu beweisende Gleichung (1).
Um die zweite Eigenschaft der Function
nachzuweisen, stellen wir
her nemlich
(9)
|
|
Soll hier
genommen werden, so muss der Integrationsweg von
nach
durch eine geschlossene Linie
führen, welche den Punkt
mit umschliesst. Dabei ist zu unterscheiden, ob
oder
ist.
Es sei erstens
. Dann können und dürfen wir die Linie
so legen, dass der Punkt
ausserhalb des umschlossenen Flächenstücks liegt. Das Integral auf der rechten Seite von (9) kann ersetzt werden durch den doppelten Werth des Integrals zwischen den reellen Grenzen
und
. Nun wird zwar für
die Function unter dem Integralzeichen unendlich wie
, aber das unbestimmte Integral wird an dieser Stelle Null wie
, und daher hat das bestimmte Integral einen angebbaren endlichen Werth. Folglich ist für
auch
, gleichgültig, ob
von der positiven oder von der negativen Seite in Null übergeht. Wir haben also (für
)
(10)
|
|
wenn
, d. h. wenn
. In diesem Falle liegt der
|[126]Punkt
zwar in der
Ebene, aber nicht an einer mit Masse erfüllten Stelle.
Es sei zweitens
. Dann umschliesst die Linie
den Punkt
. In ihm wird die Function unter dem Integralzeichen unendlich. Wir zerlegen jetzt das Integral (9) in zwei Bestandtheile. Für den ersten Bestandtheil ist der Integrationsweg zusammengesetzt aus der Linie
(Fig. 21) von
bis
, der Linie
von
bis
und der Linie
von
bis
. Für den zweiten Bestandtheil wird die Integration erstreckt von
bis
längs der Linie
und von
bis
längs der Linie
. Der erste Bestandtheil hat einen endlichen Werth. Multiplicirt man diesen mit
, so wird für
das Product zu Null, gleichgültig, ob
von der negativen oder von der positiven Seite in Null übergeführt ist. Es bleibt also nur der zweite Bestandtheil des Integrals (9) zu berücksichtigen. Für diesen kann der Integrationsweg ersetzt werden durch einen Kreis, der den Punkt
zum Mittelpunkt hat. Setzen wir dann zur Abkürzung
|
|
so ist das Integral, um das es sich handelt,
|
|
Der Radius des Kreises darf unendlich klein genommen werden. Das Integral bat also den Werth
|
|
d. h. mit Rücksicht auf den Werth von
:
|
|
Folglich erhält man aus der Gleichung (9)
(11)
|
|
wobei
oder
, je nachdem
von der positiven oder von der negativen Seite in Null übergeht. Demnach findet sich (für
):
|[127]
(12)
|
|
unter der Voraussetzung, dass
, d. h. dass
ist.
Damit ist bewiesen, dass
auch der Bedingung (2) Genüge leistet.
Endlich muss
sein, wenn der Punkt
in unendliche Entfernung rückt. Dass dies wirklich eintrifft, ist schon in §. 26 bewiesen.
Die Function
genügt also in der That den Bedingungen (1), (2), (3).
- ↑ WS: Sollte
lauten.