so erhält man aus der ersten Formel für das Dopplersche Prinzip

Dem Parallelwinkel
entspricht die Länge
, und so wird in diesem Falle

Es ist also

Für kleine Werte von
kann man die höheren Potenzen vernachlässigen, und dann
durch
ersetzen. Die vorhergehende Formel geht in den Ausdruck für das Dopplersche Prinzip in der gewöhnlichen Mechanik über:

Man beachte, daß im gestrichenen Bezugssysteme
ist.
Das Verhältnis der Frequenzen
und
in der Formel
läßt sich darstellen als das Verhältnis zweier Grenzkreisbögen zwischen zwei gemeinsamen Achsen.
Der Ausdruck für die Aberration wird in

transformiert. Es ist also die Aberrationsgleichung

Der Lichtstrahl
, von einer unendlich fernen Lichtquelle kommend, treffe die
-Achse im Punkte
unter dem spitzen Winkel
. Man trage im Sinne der wachsenden Abszissen die Strecke
ab, und ziehe von
aus die Lobatschefskijsche Parallele zu
. Diese Parallele
schließt mit der
-Achse den Winkel
ein.

Fig. 2.
Ist
, also
, wo wird
und der Winkel
geht in seinen Supplement
über.
Die Formeln der Relativtheorie werden in dieser Auffassung sehr vereinfacht. So z. B. für ein bewegtes Elektron von der Masse
wird
longitudinale Masse

‚
transversale Masse =

,
statt[1]

Stellt
(Fig. 1) die longitudinale Masse, so ist
die transversale.
Krümmungsradius
der Bahn, wenn eine senkrecht zur Geschwindigkeit des Elektrons wirkende magnetische Kraft
vorhanden ist, wird

statt[2]

Ein in gleichförmiger Translationsbewegung in Richtung der wachsenden
-Koordinate befindlicher Körper hat nach der Relativitätstheorie die kinetische Energie

wobei
seine Masse im gewöhnlichen Sinne bedeutet[3]. Wir können das einfacher schreiben

Statt
kann man auch
schreiben, wobei
den Flächeninhalt eines Saccherischen zweirechtwinkeligen und gleichschenkeligen Vierecks bedeutet. Seine drei Seiten, welche zwei rechte Winkel einschließen, haben
zur Länge.
Hier wurde vorausgesetzt, daß dieser Körper den äußeren Kräften nicht unterworfen war. Wirken aber auf diesen Körper äußere Kräfte, welche einander Gleichgewicht halten, dem Körper also keine Beschleunigung erteilen, so wird nach Untersuchungen von Einstein[4] seine kinetische Energie merkwürdigerweise größer um

Nach unserer Festsetzung geht dieser Ausdruck in

über. Nehmen wir ein Lobatschefskijsches rechtwinkeliges Dreieck. Sind seine Katheten 
- ↑ Einstein, Ann. d. Phys. 17, 919, 1905.
- ↑ a. a. O. S. 921.
- ↑ Einstein, Ann. d. Phys. 23, 374, 1907.
- ↑ Ebenda S. 376.