Schließen die Geschwindigkeiten
und
den Winkel
ein, und ist

so trage man vom Punkte
in der Richtung von
die Strecke
ab, und setze unter dem Winkel
die Strecke
an. Der Resultante entspricht die Strecke
. In dem Lobatschefskijschen Dreiecke
besteht die Relation

Setzt man hierin

so erhält man nach einigen leichten Umformungen das allgemeine Einsteinsche Additionstheorem der Geschwindigkeiten. Im Falle
, wird

oder

beziehungsweise

Daß diese Addition nicht kommutativ ist, ersieht man leicht aus der ersten Sommerfeldschen Figur, die man jetzt aber als eine Figur in der Lobatschefskijschen Ebene aufzufassen hat. Man hat noch zu setzen

In der hyperbolischen Geometrie ist die Summe der Winkel in jedem Dreiecke kleiner als zwei rechte. Es ist also

und so fällt
nicht in die Richtung von
. Für den Richtungsunterschied
findet man

Es ist auch

Sind
und
nicht in der
-Ebene. sondern beliebig im Raume, so kommt man zu sechs Endpunkten, während wir oben nur die Punkte
und
hatten.
Ich will noch an einigen Beispielen zeigen, wie sich die Formeln von Einstein in der Lobatschefskijschen Geometrie reell deuten lassen.
Die Gleichungen (3) im § 5 der erwähnten Einsteinschen Abhandlung bestimmen in bezug auf das ruhende System
die Geschwindigkeitskomponenten
eines relativ zu
gleichförmig bewegten Punktes. Ist
, so wird

Nimmt man
, dann schließt die Gerade, auf der jener Punkt bewegt wird, mit der
-Achse den Winkel
ein. Bleibt dagegen
endlich und gleich der Fortpflanzungsgeschwindigkeit des Lichtes im leeren Raume, so findet man als Richtungskoeffizienten jener Geraden

Ist
die Hypotenuse und
ein spitzer Winkel im rechtwinkeligen Lobatschefskijschen Dreiecke, so ist
der zweite spitze Winkel. Er wird desto kleiner, je größer die Translationsgeschwindigkeit von
ist. Für
hat man
.
Nehmen wir
als die Ausdehnung eines ruhenden Elektrons in der Richtung der
-Achse. Wird es nun mit der Geschwindigkeit
in derselben Richtung fortbewegt, so ist seine verkürzte Ausdehnung

Auf der Abstandslinie
, welche die
-Achse zur Mittellinie und
zum Parameter hat, messe man von ihrem Durchschnittspunkte
mit der Ordinatenachse angefangen die Länge
ab. Die Abszisse von
ist
.

Fig. 1.
Ebenso läßt sich das Zurückbleiben der relativ zu einem Bezugssystem gleichförmig bewegten Uhr interpretieren.
Setzt man weiter
