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	Hendrik Antoon Lorentz: Elektromagnetische Erscheinungen in einem System, das sich mit beliebiger, die des Lichtes nicht erreichender Geschwindigkeit bewegt

Folglich wegen (6), da ${\mathfrak {h}}'=0$:

(22)	${\mathfrak {G}}_{x}={\frac {k^{2}l^{4}w}{c^{2}}}\int \left({\mathfrak {d'}}_{y}^{2}+{\mathfrak {d'}}_{z}^{2}\right)dS={\frac {klw}{c^{2}}}\int \left({\mathfrak {d'}}_{y}^{2}+{\mathfrak {d'}}_{z}^{2}\right)dS'.$

7. Beim zweiten Sonderfall betrachten wir ein Teilchen mit einem elektrischen Moment, also einen kleinen Raum $S$ mit der Gesamtladung $\int \varrho dS=0$, aber solcher Dichteverteilung, daß die Integrale $\int \varrho xdS$, $\int \varrho ydS$, $\int \varrho zdS$ von Null verschiedene Werte haben.

Es seien $x$, $y$, $z$ die Koordinaten in bezug auf einen festen Punkt $A$ des Teilchens — er heiße der Mittelpunkt —, und das elektrische Moment sei definiert als ein Vektor ${\mathfrak {p}}$ mit den Komponenten

(23)	${\mathfrak {p}}_{x}=\int \varrho xdS,\quad {\mathfrak {p}}_{y}=\int \varrho ydS,\quad {\mathfrak {p}}_{z}=\int \varrho zdS.$

Dann ist

(24)	${\frac {d{\mathfrak {p}}_{x}}{dt}}=\int \varrho {\mathfrak {u}}_{x}dS,\quad {\frac {d{\mathfrak {p}}_{y}}{dt}}=\int \varrho {\mathfrak {u}}_{y}dS,\quad {\frac {d{\mathfrak {p}}_{z}}{dt}}=\int \varrho {\mathfrak {u}}_{z}dS.$

Werden $x$, $y$, $z$ als unendlich klein betrachtet, so werden natürlich auch ${\mathfrak {u}}_{x}$, ${\mathfrak {u}}_{y}$, ${\mathfrak {u}}_{z}$ unendlich klein. Wir vernachlässigen Quadrate und Produkte dieser sechs Größen.

Wir benutzen nun die Gleichung (17) zur Bestimmung des skalaren Potentiales $\varphi '$ für einen äußeren Punkt $P(x,y,z)$ in endlicher Entfernung von dem polarisierten Teilchen, für den Augenblick, in dem die Ortszeit dieses Punktes einen bestimmten Wert $t'$ hat. Dabei geben wir dem Symbol $\left[\varrho \right]$, das sich in (17) auf den Zeitpunkt bezieht, für den die Ortszeit in $dS$ gleich $\textstyle {t'-{\frac {r'}{c}}}$ ist, eine etwas andere Bedeutung. Wir bezeichnen mit $r'_{0}$ den Wert von $r'$ für den Mittelpunkt $A$ und verstehen dann unter $\left[\varrho \right]$ den Wert der Dichte am Punkte $(x,y,z)$ zu derjenigen Zeit $t_{0}$, bei der die Ortszeit von $A$ gleich $\textstyle {t'-{\frac {r'_{0}}{c}}}$ ist.

Man erkennt aus (5), daß dieser Zeitpunkt früher ist als derjenige, auf den sich der Zähler in (17) bezieht, und zwar um

$k^{2}{\frac {w}{c^{2}}}x+{\frac {k}{l}}{\frac {r'_{0}-r'}{c}}=k^{2}{\frac {w}{c^{2}}}x+{\frac {k}{l}}{\frac {1}{c}}\left(x{\frac {\partial r'}{\partial x}}+y{\frac {\partial r'}{\partial y}}+z{\frac {\partial r'}{\partial z}}\right)$

Zeiteinheiten. In diesem letzten Ausdruck können wir für die Differentialquotienten ihre Werte im Punkte $A$ einsetzen.

In (17) haben wir nun $\left[\varrho \right]$ durch

(25)	$\left[\varrho \right]+k^{2}{\frac {w}{c^{2}}}x\left[{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}\right]+{\frac {k}{l}}{\frac {1}{c}}\left(x{\frac {\partial r'}{\partial x}}+y{\frac {\partial r'}{\partial y}}+z{\frac {\partial r'}{\partial z}}\right)\left[{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}\right]$

zu ersetzen, dabei bezieht sich $\textstyle {\left[{\frac {\partial \varrho }{\partial t}}\right]}$ wieder auf die Zeit $t_{0}$. Wenn nun der Wert $t'$, für den die Berechnungen ausgeführt werden sollen, gewählt ist,

Empfohlene Zitierweise:
Hendrik Antoon Lorentz: Elektromagnetische Erscheinungen in einem System, das sich mit beliebiger, die des Lichtes nicht erreichender Geschwindigkeit bewegt. B. G. Teubner, Leipzig und Berlin 1913, Seite 13. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:Elektromagnetische_Erscheinungen.djvu/8&oldid=- (Version vom 31.7.2018)