Der nächste Schritt besteht in der Ausführung des Grenzüberganges zu
; dieser erfolgt leicht in der aus (7) und (8) entstehenden Formel
.
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(9)
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Zunächst ist nämlich klar, daß sämtliche Koeffizienten der Formen
unterhalb endlicher von
unabhängiger Grenzen bleiben, sobald
gegen
konvergiert; dies folgt aus den Limesgleichungen
,
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wie sie durch Vergleichung der Koeffizienten von
in (9) entstehen. Wegen des Umstandes, daß hiernach insbesondere
für alle
unterhalb einer endlichen Grenze bleibt, können wir für
eine gegen
konvergierende Folge von positiven Werten
,
,
finden, derart, daß der Limes
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existiert. Da ferner, wie gezeigt, auch
unterhalb einer endlichen Grenze bleibt, so läßt sich wiederum aus jener Folge von Werten
,
, … eine Folge
,
, … herausgreifen, so daß auch der Limes
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existiert. So fortfahrend erhalten wir schließlich nach 5
-maliger Anwendung dieses Verfahrens eine gegen
konvergierende Folge
,
, … derart, daß zugleich die sämtlichen Limesgleichungen
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( , …, , , …, )
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statthaben. Setzen wir sodann
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( , …, ),
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so gilt wegen (9) identisch in den Variabeln
, …,
die Formel
.
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(10)
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Diese Formel unterscheidet sich von der in Satz II behaupteten noch wesentlich dadurch, daß die Koeffizienten der Linearformen
keineswegs rationale Zahlen sind.
Der letzte entscheidende Schritt meiner Beweisführung wird darin bestehen, von der Formel (10) den Übergang zu einer Formel zu ermöglichen, in welcher alle auftretenden Zahlenkoeffizienten rational sind. Zu dem Zwecke verschaffen wir uns zunächst
Linearformen
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( , …, ),
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mit ganzzahligen Koeffizienten
, derart, daß zwischen ihren 2
-ten Potenzen keine lineare Relation mit konstanten Koeffizienten stattfindet. Dies