David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie/Kapitel 1

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David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie (1932) von David Hilbert 1. Über die Transzendenz der Zahlen $e$ und $\pi$.

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1. Über die Transzendenz der Zahlen $e$ und $\pi$.

[Nachrichten der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen S. 113–116 (1893). Mathem. Annalen Bd. 43, S. 216–219 (1893).]

Man nehme an, die Zahl $e$ genüge der Gleichung $n$-ten Grades

$a+a_{1}e+a_{2}e^{2}+\cdots +a_{n}e^{n}=0$,

deren Koeffizienten $a,a_{1},\ldots ,a_{n}$ ganze rationale Zahlen sind.

Wird die linke Seite dieser Gleichung mit dem Integral

$\int \limits _{0}^{\infty }=\int \limits _{0}^{\infty }z^{\varrho }\left[(z-1)(z-2)\cdots (z-n)\right]^{\varrho +1}e^{-z}dz$

multipliziert, wo $\varrho$ eine ganze positive Zahl bedeutet, so entsteht der Ausdruck

$a\int \limits _{0}^{\infty }+a_{1}e\int \limits _{0}^{\infty }+a_{2}e^{2}\int \limits _{0}^{\infty }+\cdots +a_{n}e^{n}\int \limits _{0}^{\infty }$

und dieser Ausdruck zerlegt sich in die Summe der beiden folgenden Ausdrücke:

${\begin{alignedat}{2}P_{1}&=a\int \limits _{0}^{\infty }+&&a_{1}e\int \limits _{1}^{\infty }+a_{2}e^{2}\int \limits _{2}^{\infty }+\cdots +a_{n}e^{n}\int \limits _{n}^{\infty },\\P_{2}&=&&a_{1}e\int \limits _{0}^{1}+a_{2}e^{2}\int \limits _{0}^{2}+\cdots +a_{n}e^{n}\int \limits _{0}^{n}.\end{alignedat}}$

Die Formel

$\int \limits _{0}^{\infty }z^{\varrho }e^{-z}dz=\varrho !$

zeigt, daß das Integral $\int \limits _{0}^{\infty }$ eine ganze rationale durch $\varrho !$ teilbare Zahl ist und ebenso leicht folgt, wenn man bezüglich die Substitutionen $z=z'+1,z=z'+2,\ldots ,z=z'+n$ anwendet, daß $e\int \limits _{1}^{\infty },e^{2}\int \limits _{2}^{\infty },\ldots ,e^{n}\int \limits _{n}^{\infty }$ ganze rationale durch $(\varrho +1)!$ teilbare Zahlen sind. Daher ist auch $P_{1}$ eine durch $\varrho !$ teilbare ganze Zahl, und zwar gilt, wie man sieht, nach dem Modul $\varrho +1$ die Kongruenz

${\frac {P_{1}}{\varrho !}}\equiv \pm a(n!)^{\varrho +1},\qquad (\varrho +1).$

(1)

Andrerseits ist, wenn mit $K$ bezüglich $k$ die absolut größten Werte bezeichnet werden, welche die Funktionen

$z(z-1)(z-2)\cdots (z-n)$

bezüglich

$(z-1)(z-2)\cdots (z-n)e^{-\varkappa }$

in dem Intervalle $z=0$ bis $z=n$ annehmen:

${\bigg \vert }\int \limits _{0}^{1}{\bigg \vert }<kK^{\varrho },\quad {\bigg \vert }\int \limits _{0}^{2}{\bigg \vert }<2kK^{\varrho },\ \ldots ,\quad {\bigg \vert }\int \limits _{0}^{n}{\bigg \vert }<nkK^{\varrho }$

und hieraus folgt, wenn zur Abkürzung

$\varkappa =\{|a_{1}e|+2|a_{2}e^{2}|+\cdots +n|a_{n}e^{n}|\}k$

gesetzt wird, die Ungleichung

$|P_{2}|<\varkappa K^{\varrho }.$

(2)

Nun bestimme man eine ganze positive Zahl $\varrho$, welche erstens durch die ganze Zahl $a\cdot n!$ teilbar ist und für welche zweitens $\varkappa {\frac {K^{\varrho }}{\varrho !}}<1$ wird. Es ist dann ${\frac {P_{1}}{\varrho !}}$ infolge der Kongruenz (1) eine nicht durch $\varrho +1$ teilbare und daher notwendig von $0$ verschiedene ganze Zahl, und da überdies ${\frac {P_{2}}{\varrho !}}$ infolge der Ungleichung (2) absolut genommen kleiner als $1$ wird, so ist die Gleichung

${\frac {P_{1}}{\varrho !}}+{\frac {P_{2}}{\varrho !}}=0$

unmöglich.

Man nehme an, es sei $\pi$ eine algebraische Zahl und es genüge die Zahl $\alpha _{1}=i\pi$ einer Gleichung $n$-ten Grades mit ganzzahligen Koefiizienten. Bezeichnen wir dann mit $\alpha _{2},\ \ldots ,\ \alpha _{n}$ die übrigen Wurzeln dieser Gleichung, so muß, da $1+e^{i\pi }$ den Wert $0$ hat, auch der Ausdruck

$(1+e^{\alpha _{1}})(1+e^{\alpha _{2}})\cdots (1+e^{\alpha _{n}})=1+e^{\beta _{1}}+e^{\beta _{2}}+\cdots e^{\beta _{N}}$

den Wert $0$ haben und hierin sind, wie man leicht sieht, die $N$ Exponenten $\beta _{1},\ \ldots ,\ \beta _{N}$ die Wurzeln einer Gleichung $N$-ten Grades mit ganzzahligen Koeffizienten. Sind überdies etwa die $M$ Exponenten $\beta _{1},\ \ldots ,\ \beta _{M}$ von $0$ verschieden, während die übrigen verschwinden, so sind diese $M$ Exponenten $\beta _{1},\ \ldots ,\ \beta _{M}$ die Wurzeln einer Gleichung $M$-ten Grades von der Gestalt

$f(z)=bz^{M}+b_{1}z^{M-1}+\cdots +b_{M}=0,$

deren Koeffizienten ebenfalls ganze rationale Zahlen sind und in welcher insbesondere der letzte Koeffizient $b_{M}$ von $0$ verschieden ist. Der obige Ausdruck erhält dann die Gestalt

$a+e^{\beta _{1}}+e^{\beta _{2}}+\cdots +e^{\beta _{M}},$

wo $a$ eine ganze positive Zahl ist. Man multipliziere diesen Ausdruck mit dem Integral

$\int _{0}^{\infty }=\int _{0}^{\infty }z^{\varrho }[g(z)]^{\varrho +1}e^{-z}dz,$

wo $\varrho$ wiederum eine ganze positive Zahl bedeutet und wo zur Abkürzung $g(z)=b^{M}f(z)$ gesetzt ist; dann ergibt sich

$a\int _{0}^{\infty }+e^{\beta _{1}}\int _{0}^{\infty }+e^{\beta _{2}}\int _{0}^{\infty }+\cdots +e^{\beta _{M}}\int _{0}^{\infty }$

und dieser Ausdruck zerlegt sich in die Summe der beiden folgenden Ausdrücke:

${\begin{alignedat}{3}P_{1}=&a\int _{0}^{\infty }+&&e^{\beta _{1}}\int _{\beta _{1}}^{\infty }+e^{\beta _{2}}\int _{\beta _{2}}^{\infty }+\cdots +e^{\beta _{M}}\int _{\beta _{M}}^{\infty },\\P_{2}=&&&e^{\beta _{1}}\int _{0}^{\beta _{1}}+e^{\beta _{2}}\int _{0}^{\beta _{2}}+\cdots +e^{\beta _{M}}\int _{0}^{\beta _{M}},\end{alignedat}}$

wo allgemein das Integral $\int _{\beta _{i}}^{\infty }$ in der komplexen $z$-Ebene vom Punkte $z=\beta _{i}$ längs einer zur Achse der reellen Zahlen parallelen Geraden bis zu $z=+\infty$ hin und das $\int _{0}^{\beta _{i}}$ vom Punkte $z=0$ längs der geraden Verbindungslinie bis zum Punkte $z=\beta _{i}$ hin zu erstrecken ist.

Das Integral $\int _{0}^{\infty }$ ist wieder gleich einer ganzen rationalen durch $\varrho !$ teilbaren Zahl, und zwar gilt, wie man sieht, nach dem Modul $\varrho +1$ die Kongruenz

${\frac {1}{\varrho !}}\int _{0}^{\infty }\equiv b^{\varrho M+M}b_{M}^{\varrho +1},$

$(\varrho +1).$

Mittels der Substitution $z=z'+\beta _{i}$ und wegen $g(\beta _{i})=0$ ergibt sich ferner

$e^{\beta _{i}}\int _{\beta _{i}}^{\infty }=\int _{0}^{\infty }(z'+\beta _{i})^{\varrho }[g(z'+\beta _{i})]^{\varrho +1}e^{-z'}dz'=(\varrho +1)!G(\beta _{i}),$

wo $G(\beta _{i})$ eine ganze ganzzahlige Funktion von $\beta _{i}$ bedeutet, deren Grad in $\beta _{i}$ unterhalb der Zahl $\varrho M+M$ bleibt und deren Koeffizienten sämtlich durch $b^{\varrho M+M}$ teilbar sind. Da $\beta _{1},\ \ldots ,\ \beta _{M}$ die Wurzeln der ganzzahligen Gleichung $f(z)=0$ sind und mithin durch Multiplikation mit dem ersten Koeffizienten $b$ zu ganzen algebraischen Zahlen werden, so ist

$G(\beta _{1})+G(\beta _{2})+\cdots +G(\beta _{M})$

notwendig eine ganze rationale Zahl. Hieraus folgt, daß der Ausdruck $P_{1}$ gleich einer ganzen rationalen durch $\varrho !$ teilbaren Zahl wird, und zwar gilt nach dem Modul $\varrho +1$ die Kongruenz

${\frac {P_{1}}{\varrho !}}\equiv ab^{\varrho M+M}b_{M}^{\varrho +1},$

$(\varrho +1).\qquad (3)$

Andrerseits ist, wenn mit $K$ bezüglich $k$ die größten absoluten Beträge bezeichnet werden, welche die Funktionen $zg(z)$ bezüglich $g(z)e^{-z}$ auf den geradlinigen Integrationsstrecken zwischen $z=0$ bis $z=\beta _{i}$ annehmen:

${\Bigg |}\int \limits _{0}^{\beta _{i}}{\Bigg |}<|\beta _{i}|kK^{\varrho }$

$(i=1,\,2,\,\ldots ,\,M)$

und hieraus folgt, wenn zur Abkürzung

$\varkappa =\left\{\left|\beta _{1}e^{\beta _{1}}\right|+\left|\beta _{2}e^{\beta _{2}}\right|+\cdots +\left|\beta _{M}e^{\beta _{M}}\right|\right\}k$

gesetzt wird, die Ungleichung

$\left|P_{2}\right|<\varkappa K^{\varrho }$.

(4)

Nun bestimme man eine ganze positive Zahl $\varrho$, welche erstens durch $abb_{M}$ teilbar ist und für welche zweitens ${\frac {\varkappa K^{\varrho }}{\varrho !}}<1$ wird. Es ist dann ${\frac {P_{1}}{\varrho !}}$ infolge der Kongruenz (3) eine nicht durch $\varrho +1$ teilbare und daher notwendig von $0$ verschiedene ganze Zahl, und da überdies ${\frac {P_{2}}{\varrho !}}$ infolge der Ungleichung (4), absolut genommen, kleiner als $1$ wird, so ist die Gleichung

${\frac {P_{1}}{\varrho !}}+{\frac {P_{2}}{\varrho !}}=0$

unmöglich.

Es ist leicht zu erkennen, wie auf dem eingeschlagenen Wege ebenso einfach auch der allgemeinste Lindemannsche Satz über die Exponentialfunktion sich beweisen läßt.

Königsberg i. Pr., den 5. Januar 1893.

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