ist gewiß möglich, da die Determinante
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offenbar nicht identisch in allen Argumenten
Null ist und zur Erfüllung unserer Forderung nur nötig wird, die
als ganze rationale Zahlen so zu bestimmen, daß
von Null verschieden ausfällt.
Nun sei in Formel (10) etwa
eine Linearform, deren Koeffizienten jedenfalls nicht sämtlich verschwinden, so daß
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eine positive von Null verschiedene Zahl wird. Setzen wir dann zur Abkürzung
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( , …, ),
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so haben die
Linearformen
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, …,
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sämtlich die nämliche Quadratsumme ihrer Koeffizienten wie
; es gibt daher gewiß eine orthogonale Transformation der Variabeln
, …,
, welche
in
, ferner je eine solche orthogonale Transformation, die
in
, …, bzw. in
überführt. Wenden wir diese
orthogonalen Transformationen sämtlich der Reihe nach auf die Formel (10) an, addieren die so entstehenden
Formeln und dividieren durch
, so wird, wenn wir noch
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, …,
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setzen:
,
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(11)
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wo die
gewisse
Linearformen der
, …,
sind, wie sie aus den
, …,
durch jene orthogonalen Transformationen nach Hineinziehung des Faktors
entstehen. Wir betrachten nun dasjenige System von
linearen Gleichungen für die
Unbekannten
, …,
, welches aus der Identität
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entspringt, wenn man die nämlichen Potenzen und Produkte von Potenzen der Variabeln
, …,
auf beiden Seiten gleich setzt. Da die Determinante dieses Gleichungssystems bis auf einen Zahlenfaktor die von Null verschiedene