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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/476

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Es sei nun eine ganze den Kongruenzen

genügende Zahl des Körpers ; wir bestimmen dann zunächst ein Primideal in derart, daß die Gleichungen

gelten; hierbei sollen , …, , , …, die Bedeutung wie in Satz 42 haben. Da folglich

wird, so können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl derart bestimmen, daß das Ideal () gleich wird und überdies die Zahl dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul kongruent ausfällt; wir setzen und haben dann .

Andererseits bestimmen wir ein Primideal derart, daß die Gleichungen

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gelten. Indem wir wie vorhin verfahren, können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl derart bestimmen, daß das Ideal () gleich wird und überdies die Zahl dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul kongruent ausfällt; wir setzen und haben dann .

Zufolge Satz 40 haben wir

wo die Produkte über sämtliche zu primen Primideale des Körpers erstreckt werden sollen; mit Rücksicht auf die Definition 17 ergibt sich hieraus