und folglich bei Benutzung der Formeln des Satzes 45
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und
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.
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Somit erhalten wir schließlich
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und infolge der Voraussetzung des Satzes 48 ist daher
.
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(2)
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Da
und folglich auch die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent ist, so nimmt mit Rücksicht auf die Definition 17 die Gleichung (2) die Gestalt
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an, und hieraus schließen wir wegen (1), daß notwendig
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(3)
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ausfallen muß.
Wir betrachten jetzt den Körper
und werden beweisen, daß
stets gleich der Relativnorm einer solchen Zahl dieses Körpers
ist, deren Nenner prim zu
ausfällt. Zu dem Zwecke unterscheiden wir folgende drei Fälle:
Erstens nehmen wir an, es sei das Primideal
primär und
eine Primärzahl von
. Die Relativdiskriminante des Körpers
enthält dann nur den einen Primfaktor
, und wir können in diesem Falle genau wie im zweiten Teile des Beweises zu Satz 47 zeigen, daß
die Relativnorm einer Zahl des Körpers
ist, deren Nenner zu
prim ausfällt.
Nehmen wir zweitens an, es sei
ein primäres Primideal; dagegen sei
nicht eine Primärzahl von
, sondern es sei vielmehr
, wobei
eine Primärzahl von
und
eine Einheit in
bedeutet, welche nicht gleich dem Quadrat einer Einheit in
ausfällt. Die Relativdiskriminante des Körpers
enthält, da
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ist, wegen Satz 4 lediglich die beiden Primideale
und
. Setzen wir in Satz 23
ein, so folgt aus demselben wegen
die Ungleichung
, d. h. die Anzahl
aller ambigen Komplexe des Körpers
ist höchstens gleich
.