II. Die Theorie der relativquadratischen Körper für einen Grundkörper mit lauter imaginären Konjugierten und von ungerader Klassenanzahl.
Um die weiteren Sätze der Theorie der relativquadratischen Zahlkörper in möglichst leicht faßlicher Weise auszudrücken und ihre Beweise in naturgemäßer Stufenfolge entwickeln zu können, beschränke ich mich fortan in der gegenwärtigen Arbeit auf die Untersuchung eines besonderen Falles, indem ich durchweg folgende zwei Annahmen über den zugrunde gelegten Körper
mache:
1. Der Körper
vom
-ten Grade sei nebst allen konjugierten Körpern
imaginär.
2. Die Anzahl
der Idealklassen im Körper
sei ungerade.
§ 14. Die relativen Grundeinheiten des Körpers ![{\displaystyle {\boldsymbol {K}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7938cb396dcc28e8a66ae6e2a13cc2c12439855b)
Infolge der ersteren der beiden soeben gemachten Annahmen ist die Anzahl der Einheiten, welche ein volles System von Grundeinheiten in
bilden, gleich
es sei
ein volles System von Grundeinheiten in
Wir beweisen zunächst folgende Tatsache:
Satz 19. (Hilfssatz.) Im relativquadratischen Körper
lassen sich stets
Einheiten
finden, so daß für irgendeine Einheit
in
jedes Mal eine Gleichung von der Gestalt
|
|
besteht, wo der Exponent
eine ungerade Zahl und die Exponenten
, …,
irgendwelche ganze rationale Werte oder den Wert
haben können; endlich bedeutet
eine Einheit des Körpers
oder eine solche Einheit in
, deren Quadrat eine Einheit in
wird, so daß
im allgemeinen eine Einheit in
sein muß und nur dann die Wurzel aus einer Einheit in
darstellen kann, wenn
eine Einheit in
oder das Produkt einer solchen in das Quadrat einer Zahl des Körpers
ist.
Die Einheiten
, …,
sind in dem Sinne voneinander unabhängig, daß zwischen ihnen keine Relation von der Gestalt
|
|
mit ganzen rationalen Exponenten
, …,
besteht, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich verschwinden und
ist.
Beweis. Im Körper
gibt es ein volles System von
Grundeinheiten
, …,
. Wir betrachten die Gesamtheit der
Einheiten
|
, …, , , …, .
|
Sobald
ist, besteht zwischen diesen Einheiten jedenfalls eine Relation von der Gestalt
,
|
(1)
|
wo
, …,
,
, …,
ganze rationale Exponenten und
, …,
nicht sämtlich Null sind. Wir setzen
|
;
|
dabei bedeute
die höchste in den sämtlichen Zahlen
, …,
aufgehende Potenz von
und es sei etwa
eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung
|
,
|
so erhalten wir aus der Relation (1) die folgende Gleichung
.
|
(2)
|
Da hier die rechte Seite eine gewisse
-te Wurzel aus einer Einheit
in
bedeutet und wegen dieser Relation (2) zugleich eine Einheit in
sein soll, so steht rechter Hand entweder eine Einheit in
oder die Quadratwurzel aus einer Einheit in
; wir schreiben demgemäß die Relation (2) in der Gestalt
|
|
und hieraus folgt
|
(3)
|
wo
die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat.
Nunmehr schalten wir die Einheit
aus dem ursprünglichen System von Grundeinheiten aus und betrachten nur die Gesamtheit der
Einheiten
|
.
|
Falls noch
ausfällt, besteht zwischen diesen Einheiten eine Relation von der Gestalt
,
|
(4)
|
wo
, …,
,
, …,
ganze rationale Exponenten und
, …,
nicht sämtlich Null sind. Wir setzen
|
;
|
dabei bedeute
die höchste in den sämtlichen Zahlen
, …,
aufgehende Potenz von
und es sei etwa
eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung
|
,
|
so erhalten wir aus der Relation (4) die folgende Gleichung
|
|
und hieraus schließen wir, wie vorhin, die Gleichung
,
|
(5)
|
wo
wiederum die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat. Wir betrachten nun das Einheitensystem
, …,
,
, …,
. Es läßt sich dann das beschriebene Verfahren offenbar so lange fortsetzen, bis von den ursprünglichen Grundeinheiten
, …,
nur
Einheiten, etwa die Einheiten
, …,
, übrig bleiben; wir erkennen leicht, daß diese Einheiten dann die im Satze 19 verlangte Eigenschaft besitzen. Denn da
, …,
ein System von Grundeinheiten des Körpers
darstellen, so ist überhaupt jede Einheit
in
in der Gestalt
|
(6)
|
darstellbar, wo
![{\displaystyle U_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9e7f892894bc50c32ce1b9f9a68a15562146ac)
, …,
![{\displaystyle U_{m-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56913feebf914c1dc33935f4a3356396137804c6)
ganze rationale Exponenten und
![{\displaystyle {\mathsf {Z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efee63fa51d44e5bea778c13f38537cd20f927eb)
eine Einheitswurzel bezeichnet. Nun ist
![{\displaystyle {\mathsf {Z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efee63fa51d44e5bea778c13f38537cd20f927eb)
offenbar entweder eine in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
liegende Einheitswurzel oder die Quadratwurzel aus einer in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
liegenden Einheitswurzel, multipliziert in eine Einheitswurzel
![{\displaystyle {\mathsf {Z}}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34ba6a6792aae98aa834a0afff723c3a508ab4a3)
mit ungeradem Wurzelexponenten
![{\displaystyle u^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cfeddccb8efb954b55c85480a6fe7d4e33b60ab4)
; wir dürfen daher
![{\displaystyle {\mathsf {Z}}=[\xi ]{\mathsf {Z}}^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fa31aa7b603006d1cd3909ba0a44647d28aa826)
setzen, wo
![{\displaystyle [\xi ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/878f77f23015a816373256f81f2ec1aabe0a56a8)
die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat. Wenn wir dann die Gleichung (6) in die
![{\displaystyle u=u^{*}A_{m-1}^{'}B_{m-2}^{'}\ldots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3909a87f152c7de84ebf451e0cb7c1b70db1dfc)
-te Potenz erheben, so folgt, bei Benutzung der Gleichungen (3), (5) und der späteren analogen, eine Relation, welche, da
![{\displaystyle u}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3e6bb763d22c20916ed4f0bb6bd49d7470cffd8)
ungerade ausfällt, die Richtigkeit des Satzes 19 erkennen läßt.
Definition 10. Die Einheiten
, …,
welche die Eigenschaft des Satzes 19 besitzen, nenne ich ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers
in bezug auf
.
Satz 20. (Hilfssatz.) Wenn
, …,
ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers
bilden und deren Relativnormen bez. mit
|
|
bezeichnet werden, so läßt sich jede Einheit
in
, welche die Relativnorm irgendeiner Einheit
des Körpers
ist, in der Gestalt
|
|
darstellen, wo die Exponenten
, …,
gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
oder eine in
liegende Quadratwurzel aus einer Einheit in
bezeichnet.
Beweis. Nach dem Satze 19 gilt für die Einheit
eine Gleichung
|
,
|
wo die Bezeichnungen wie im Satz 19 zu verstehen sind. Indem wir von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, ergibt sich
|
|
und hieraus folgt
|
,
|
wenn allgemein
oder
genommen wird, je nachdem
gerade oder ungerade ausfällt und wo ferner
|
|
gesetzt ist; damit ist Satz 20 bewiesen.
§ 15. Die Anzahl der aus ambigen Idealen entspringenden ambigen Komplexe in
.
Satz 21. Ein ambiger Komplex
des relativquadratischen Körpers
enthält lauter ambige Klassen. Die Anzahl der ambigen Klassen in
ist genau gleich der
-fachen Anzahl der ambigen Komplexe.
Beweis. Wenn
irgendeine Klasse des ambigen Komplexes
ist, so folgt aus
offenbar
, wo
eine der
Klassen des Körpers
bedeutet. Bilden wir auf beiden Seiten der letzten Gleichung die Relativnorm, so erhalten wir leicht
und da andererseits auch
ist, wobei die Klassenanzahl
eine ungerade Zahl sein soll, so folgt
, d. h. es wird
; mithin ist
eine ambige Klasse. Soll andererseits
sein, wo
eine Klasse in
ist, so folgt ebenso
und damit ergibt sich die zweite Aussage des Satzes 21.
Satz 22. Wenn die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers
gleich
ist und wenn diejenigen Einheiten in
, welche Relativnormen von Einheiten in
sind, zusammengenommen
Einheitenverbände in
ausmachen: dann ist die Anzahl derjenigen ambigen Komplexe des Körpers
, welche aus ambigen Idealen entspringen, genau gleich
, wo
den Wert
|
|
hat.
Beweis. Wir nehmen im folgenden zunächst an, daß die Zahl
nicht das Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl des Körpers
sei; es ist dann jeder Ausdruck
notwendig eine in
gelegene Einheit
.
Nunmehr mögen, wie in Satz 20,
, …,
ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers
und
|
, …,
|
deren Relativnormen bedeuten. Nach Satz 20 läßt sich bei unserer Annahme jede Einheit
in
, welche die Relativnorm einer Einheit in
ist, in der Gestalt
|
|
darstellen, wo die Exponenten
, …,
gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
bedeutet. Da nun die Anzahl der Verbände von Einheiten in
, die Relativnormen von Einheiten in
sind, nach Voraussetzung
betragen soll, so muß es möglich sein, unter den
Einheiten
, …,
gewisse
auszuwählen – es seien hierfür die Einheiten
, …,
geeignet – derart, daß jede Einheit
in
, welche die Relativnorm einer Einheit in
ist, sich auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt
|
|
darstellen läßt, wo die Exponenten
, …,
wiederum gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
bedeutet.
Wir stellen insbesondere die Einheiten
, …,
auf diese Weise dar und setzen demgemäß
|
, ,
|
wo
, …,
gewisse Werte
,
haben und
Einheiten in
sind. Die
Ausdrücke
|
(1)
|
sind dann offenbar Einheiten in
, deren Relativnormen gleich
ausfallen, und folglich erfüllen die
ganzen Zahlen
|
|
bez. die Gleichungen
.
|
(2)
|
Wir setzen noch
und betrachten dann die durch
|
, , …,
|
bestimmten Hauptideale
|
, , …, .
|
Da wegen (2) diese Hauptideale je ihren relativkonjugierten Idealen gleich ausfallen und mithin Produkte ambiger Ideale mit Idealen in
sein müssen, so können wir wegen Definition 3 setzen:
|
(3)
|
wo
, …,
, die
ambigen Primideale des Körpers
, ferner
,
, …,
Ideale in
und
,
, …,
gewisse Exponenten
,
bedeuten.
Wir wollen nun beweisen, daß zwischen den Idealen
|
|
keine Relation von der Gestalt
|
(4)
|
stattfinden kann, wo die Exponenten
,
, …,
irgendwelche Werte
,
haben und
ein Ideal in
bedeutet, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich gleich
sind und
wird.
Zu dem Zwecke erheben wir die Relation (4) in die
-te Potenz und setzen
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet; wir erhalten dann eine Relation von der Gestalt
,
|
|
wo
eine Einheit des Körpers
ist. Wenden wir auf diese Relation die Substitution
an und dividieren sie dann durch die so entstehende neue Relation, so folgt
|
|
oder vermöge (2)
.
|
|
Wir schreiben diese Relation in der Gestalt
,
|
(5)
|
wo
eine Einheit in
bezeichnet.
Nach Satz 19 gibt es für jede Einheit
einen ungeraden Exponenten
, so daß
|
(6)
|
wird, wo die Exponenten
, …,
gewisse ganze rationale Werte haben und
eine Einheit in
ist; aus (5) und (6) folgt mit Rücksicht auf (1) eine Gleichung von der Gestalt
|
(7)
|
wo
, …,
gewisse ganze rationale Exponenten sind und
wiederum eine Einheit in
bedeutet. Da
und
ungerade Zahlen sind, so würde, wenn unter den Zahlen
, …,
auch nur eine gleich
ausfiele, notwendig der betreffende Exponent in der Reihe
|
|
ungerade und daher gewiß von
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
verschieden sein; dann aber widerspräche die Relation (7) der zweiten Aussage des Satzes 19. Hiermit ist gezeigt, daß in der Relation (4) die Exponenten
![{\displaystyle e_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e81caf3d4bcb929315801cbabc83543829484ee)
, …,
![{\displaystyle e_{{\frac {m}{2}}-v^{*}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d7ce3bc3645e96965a0ce6ce3ef1c76146e2c935)
notwendig sämtlich gleich
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
sind.
Nunmehr erkennen wir leicht, daß in (4) auch der Exponent
verschwinden muß. Würde
nämlich den Wert
haben können, so wäre
ein Ideal
in
und folglich
; das Erheben zur
-ten Potenz würde
liefern und, wenn
gesetzt wird, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet, so würde
oder
folgen, wo
eine Einheit in
und
eine gewisse Zahl in
bedeutet. Diese Annahme ist jedoch zu Anfang unseres Beweises vorläufig ausgeschlossen. Hiermit ist in der Tat bewiesen, daß eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann; es sei denn, daß die Exponenten
,
, …,
sämtlich gleich
sind.
Nunmehr kehren wir zu den Gleichungen (3) zurück und wählen unter den
ambigen Primidealen
, …,
solche
aus – es seien dazu etwa
, …,
geeignet –, welche sich vermöge dieser Gleichungen (3) durch die Ideale
,
, …,
, durch die übrigen ambigen Primideale
, …,
und gewisse Ideale
des Körpers
, wie folgt, ausdrücken lassen:
|
(8)
|
|
|
wo die Exponenten
,
,…,
,
, …,
gewisse Werte
,
haben. Daß dies möglich sein muß, erkennen wir, wenn wir die vorhin bewiesene Tatsache benutzen, derzufolge eine Relation von der Gestalt (4) nicht stattfinden kann, es sei denn, daß sämtliche Exponenten
,
, …,
verschwinden. Überdies haben wir dabei den Umstand zu berücksichtigen, daß die Quadrate der ambigen Primideale
, …,
und ebenso die Quadrate der Ideale
|
|
Ideale in
werden.
Da die Ideale
Hauptideale sind, so zeigen die Gleichungen (8) unmittelbar, daß die durch
, …,
bestimmten ambigen Komplexe gewisse Produkte derjenigen Komplexe sind, die durch die Ideale
, …,
bestimmt sind. Die Anzahl der voneinander unabhängigen, aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe ist also sicher nicht größer als
und die Anzahl aller überhaupt aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe ist demnach nicht größer als
.
Wir beweisen jetzt, daß die aus den
ambigen Primidealen
, …,
entspringenden
Komplexe wirklich voneinander unabhängig sind. In der Tat, würde einer dieser Komplexe, etwa der aus
entspringende Komplex, sich durch die übrigen ausdrücken lassen, so müßte eine Äquivalenz von der Gestalt
|
|
statthaben, worin
, …,
gewisse Exponenten
,
bedeuten und
ein Ideal in
ist. Verstehen wir unter
ein Ideal in
, für welches in
die Äquivalenz
gilt, so folgt die weitere Äquivalenz
;
|
|
wir können demnach
|
(9)
|
setzen, wobei
eine ganze Zahl des Körpers
bedeuten soll.
Da der Gleichung (9) zufolge das Hauptideal
seinem relativ konjugierten Ideale gleich sein muß, so findet eine Gleichung von der Gestalt
|
(10)
|
statt, wo
eine Einheit in
bedeutet. Nun wenden wir den Satz 19 auf die Einheit
an; es sei demgemäß
ein ungerader Exponent, so daß
|
|
wird, wo die Exponenten
, …,
gewisse ganze rationale Werte haben und
eine Einheit in
ist. Wegen (1) können wir auch setzen
,
|
(11)
|
wo
, …,
die in (1) bestimmten Einheiten,
, …,
gewisse ganze rationale Exponenten sind und
wiederum eine Einheit in
bedeutet. Wenn wir hierin auf beiden Seiten die Relativnorm bilden und berücksichtigen, daß wegen (10)
wird und daß auch die Relativnormen der Einheiten (1) den Wert
haben, so ergibt sich leicht
;
|
|
da die durch
![{\displaystyle \eta _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0f05ea928db07c86bb11863e431b8406febd09d)
, …,
![{\displaystyle \eta _{v^{*}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/034f5ab17eb253249273f2f492afd49361a6fb2c)
bestimmten Einheitenverbände in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
voneinander unabhängig sein sollen, so folgt hieraus, daß die Exponenten
![{\displaystyle U'_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/45947acc064cf7595ae9a378f6207a9e1a43cc59)
, ...,
![{\displaystyle U'_{v^{\ast }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f99a64e8aec8e7a194f9f5cf44ba1711ed2337c0)
sämtlich gerade sind. Wir setzen nun in Formel (11) die Werte
|
|
ein und erhalten dann, wenn zur Abkürzung
|
(12)
|
gesetzt wird, aus (11) die Gleichung
,
|
(13)
|
wo
wiederum eine Einheit in
bezeichnet. Wir bilden die Relativnorm von (13) und erhalten so
; wir setzen
, wo
einen der Werte
,
bedeute. Demgemäß können wir (13) in die Gestalt
oder
|
|
bringen, d. h.
ist eine Zahl in
. Indem wir die Werte (9) und (12) für die Zahlen
und
benutzen und bedenken, daß
eine ungerade Zahl ist, leiten wir aus der zuletzt gefundenen Tatsache leicht eine Relation von der Gestalt
|
(14)
|
ab, worin
,
, ...,
,
, ...,
gewisse Werte
,
bedeuten und
ein Ideal in
ist. Setzen wir diesen Wert für
in die rechten Seiten der Formeln (8) ein und fügen wir den so entstehenden
Gleichungen noch die Gleichung (14) hinzu, so erhalten wir ein System von
Gleichungen von der Gestalt
,
|
(15)
|
,
|
|
worin
|
|
gewisse Exponenten
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
,
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
und
![{\displaystyle {\mathfrak {n}}^{(i)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5a3bc181bf2a14d14e552f4d8d8b934f791bb237)
wiederum gewisse Ideale in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
sind. Das Bestehen dieser Gleichungen (15) ist aber unmöglich. In der That, bestimmen wir
![{\displaystyle \textstyle {\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/221c3a7b576f675cd8239432e58426e5dc506329)
ganze rationale Zahlen
,
|
|
die nicht sämtlich gerade sind, derart daß nach dem Modul
die
Kongruenzen
,
|
|
|
|
gelten, so ergibt sich, indem wir (15) in die
-te Potenz erheben und die so für
entstehenden Gleichungen miteinander multiplizieren, eine Gleichung von der Gestalt:
,
|
(16)
|
wo die Exponenten
, ...,
gewisse Werte
,
bedeuten und
ein Ideal in
ist. Diese Gleichung (16) ist unmöglich, weil ihre linke Seite wenigstens einen der Primfaktoren
, ...,
zu einer ungeraden Potenz erhoben enthält, rechts dagegen diese Primfaktoren nur in
und also sämtlich zu einer geraden Potenz vorkommen. Wir müssen daher unsere ursprüngliche Annahme verwerfen, wonach der aus
entspringende Komplex sich durch die aus
, ...,
entspringenden Komplexe sollte ausdrücken lassen; mithin haben wir gezeigt, daß es in
genau
Komplexe von der Art gibt, wie es Satz 22 behauptet.
In dem soeben geführten Beweise für Satz 22 wurde zu Anfang der Fall ausgeschlossen, daß
gleich dem Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl des Körpers
ausfällt; es lassen sich jedoch ohne Schwierigkeit die Abänderungen auffinden, welche in diesem speziellen Falle an dem eben mitgeteilten Beweise anzubringen sind.
Da die Anzahl der aus ambigen Idealen entspringenden Komplexe mindestens gleich
ist, so folgt insbesondere aus dem Satze 22 die Ungleichung
.
|
|
§ 16. Die Anzahl aller ambigen Komplexe in
.
Satz 23. Wenn die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers
gleich
ist und wenn diejenigen Einheiten in
, welche Relativnormen von Einheiten oder von gebrochenen Zahlen des Körpers
sind, zusammen genau
Einheitenverbände in
ausmachen: dann ist die Anzahl aller ambigen Komplexe des Körpers
genau
, wo
die Zahl
|
|
bedeutet.
Beweis. Wir machen über die Zahl
zunächst wieder die nämliche Annahme wie zu Beginn des Beweises von Satz 22 und benutzen durchweg die dort angewandte Bezeichnungsweise. Da die Anzahl der Verbände von Einheiten in
, welche Relativnormen irgendwelcher Zahlen in
sind,
betragen soll, so muß es möglich sein, zu den im vorigen Beweise bestimmten Einheiten
, ...,
gewisse
Einheiten
, ...,
von folgenden Eigenschaften hinzuzufügen: die Einheiten
, ...,
sind Relativnormen von gewissen gebrochenen Zahlen
, ...,
des Körpers
, so daß die Gleichungen
|
(1)
|
bestehen, und überdies soll jede Einheit
in
, welche Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in
ist, auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt
|
|
darstellbar sein, wo die Exponenten
, ...,
,
, ...,
gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
bedeutet. Es sind dann die aus
, ...,
,
, ...,
entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig.
Wir setzen nun
|
|
wo
und
je zwei zueinander prime Ideale des Körpers
seien; dann folgt wegen (1)
und hieraus
|
(2)
|
und aus dieser Gleichung (2) wiederum schließen wir
, d. h. die durch die Ideale
bestimmten Komplexe sind sämtlich ambig.
Wir wollen nun beweisen, daß diese
durch die Ideale
bestimmten Komplexe zusammen mit den im Beweise zu Satz 22 gefundenen aus den ambigen Idealen
entspringenden
|
|
ambigen Komplexen ein System voneinander unabhängiger Komplexe bilden und daß ferner überhaupt jeder ambige Komplex des Körpers
ein Produkt von denjenigen
|
|
ambigen Komplexen ist, die aus den Idealen
![{\displaystyle {\mathfrak {A}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9505ea6e9c5c4dcc9c1fbbe9b530ec7387350210)
, ...,
![{\displaystyle {\mathfrak {A}}_{v-v^{\ast }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d45b06445c49c619ba93a24ab9dd0b9be49cf46)
,
![{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{{\frac {m}{2}}-v^{\ast }+2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1350c555d088719fdc13b45190be6b225b94d935)
, ...,
![{\displaystyle {\mathfrak {D}}_{t}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fcd237c70f842869dfd917375f55dc26aa7ff7ad)
entspringen.
In der Tat, nehmen wir an, es seien diese Komplexe nicht voneinander unabhängig, so müßte für die betreffenden Ideale eine Relation von der Gestalt
|
(3)
|
gelten, worin die Exponenten
, ...,
,
, ...,
gewisse Werte
,
, jedoch nicht sämtlich den Wert
haben, ferner
ein Ideal in
und
eine ganze Zahl in
bedeutet. Aus (3) folgt leicht wegen (2) die Gleichung
,
|
(4)
|
wo
eine gewisse Einheit in
ist. Indem wir von beiden Seiten der Formel (4) die Relativnorm bilden, erhalten wir mit Rücksicht auf (1)
|
|
und hieraus ersehen wir, daß die Einheit
|
(5)
|
die Relativnorm einer Einheit in
ist. Wir dürfen folglich
|
(6)
|
setzen, wo
, ...,
gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
bedeutet. Aus (5) und (6) erhalten wir die Gleichung
.
|
|
Wegen der Unabhängigkeit der durch
, ...,
,
, ...,
bestimmten Einheitenverbände ist diese Gleichung nur möglich, wenn sämtliche Exponenten
, ...,
,
, ...,
gerade und also gleich
sind. Hierdurch erhält die Relation (3) die Gestalt
|
|
und diese Relation erfordert wegen der Unabhängigkeit der aus
, ...,
entspringenden Komplexe, daß auch sämtliche Exponenten
, ...,
gleich
sind – eine Folgerung, die unserer ursprünglichen Annahme über die Exponenten in der Relation (3) widerspricht.
Es bleibt noch übrig, den Nachweis dafür zu führen, daß jeder ambige Komplex
als Produkt von solchen Komplexen dargestellt werden kann, die aus den Idealen
, ...,
,
, ...,
entspringen. Ist
ein beliebiges Ideal des Komplexes
, so gilt wegen Satz 21 eine Gleichung von der Gestalt
,
|
(7)
|
wo
![{\displaystyle \Theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc927b19f46d005b4720db7a0f96cd5b6f1a0d9b)
eine Zahl in
![{\displaystyle K}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2b76fce82a62ed5461908f0dc8f037de4e3686b0)
bedeutet. Indem wir auf beiden Seiten dieser Gleichung (7) die Relativnorm bilden, erkennen wir, daß die Relativnorm der Zahl
![{\displaystyle \Theta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc927b19f46d005b4720db7a0f96cd5b6f1a0d9b)
eine Einheit
![{\displaystyle \vartheta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00eaf197c35bbfa391b9477490a4af955416837)
in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
wird; wir können demgemäß
|
|
setzen, wo die Exponenten
, ...,
,
, ...,
gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
bedeutet. Wir entnehmen hieraus für die Zahl
,
|
|
wo das Vorzeichen so angenommen werde, daß jedenfalls
ist, die Gleichung
.
|
|
Wegen dieser Gleichung haben wir
.
|
(8)
|
Nunmehr entsteht aus der Gleichung
|
|
vermöge (2), (7), (8) die Gleichung für Ideale
,
|
|
und wenn daher zur Abkürzung
|
(9)
|
gesetzt wird, so erhalten wir schließlich
,
|
|
d.h.
ist ein Produkt eines gewissen ambigen Ideals in ein Ideal des Körpers
und folglich zeigt die Gleichung (9), daß
einem Produkt von gewissen Idealen aus der Reihe
, ...,
,
, ...,
in ein Ideal des Körpers
äquivalent ist. Da die ambigen Ideale
, ...,
als gewisse Produkte aus den Idealen
, ...,
darstellbar sind, so ist hiermit der Beweis des Satzes 23 vollständig geführt. Wird angenommen, daß
gleich dem Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl in
ist, so sind geringe Abänderungen dieses Beweises nötig.
§ 17. Das Charakterensystem einer Zahl und eines Ideals im Körper
.
Wir erörtern nunmehr die Einteilung der Idealklassen des relativquadratischen Körpers
in Geschlechter. Zu dem Zwecke bezeichnen wir die
in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgehenden Primideale des Körpers
mit
, ...,
und machen für die folgenden Definitionen und Beweise in § 17 bis § 19 die vorläufige Annahme, daß diese Primideale
, ...,
sämtlich zu
prim sind, oder, was nach Satz 5 im wesentlichen auf das nämliche hinauskommt, daß die Zahl
zu
prim ist und zugleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt. Erst im Laufe der weiteren Untersuchung werden wir diese Einschränkung aufheben.
Definition 11. Zu einer beliebigen ganzen von
verschiedenen Zahl
des Körpers
gehören bestimmte Werte der
einzelnen Symbole
|
|
welche gemäß der Definition 6 gewisse
Einheiten
bedeuten; diese Einheiten sollen das Charakterensystem der Zahl
im Körper
heißen.
Um auch einem jeden Ideal
des Körpers
in bestimmter Weise ein Charakterensystem zuzuordnen, bilden wir die Relativnorm
und dann ihre
-te Potenz
, wo
eine ganze Zahl in
sein soll. Nunmehr verstehen wir unter
eine Einheit in
. Haben dann für jede beliebige Einheit
alle
Symbole
|
|
durchweg den Wert
, so setzen wir
und bezeichnen die
Einheitswurzeln
|
|
als das Charakterensystem des Ideals
; dasselbe ist dann durch das Ideal
völlig eindeutig bestimmt.
Es sei andererseits eine spezielle Einheit
in
vorhanden, für welche wenigstens eines der
Symbole
|
|
gleich
wird; dann können wir, ohne damit eine Beschränkung einzuführen, annehmen, es sei etwa
. Wir betrachten nun alle diejenigen Einheiten
in
, für welche
wird. Es sei unter diesen wieder eine solche Einheit
vorhanden, für welche wenigstens eines der
Symbole
|
|
gleich
wird; dann können wir annehmen, es sei etwa
. Wir betrachten ferner alle diejenigen Einheiten
, für welche sowohl
als auch
wird, und sehen nach, ob unter diesen eine Einheit
vorhanden ist, für welche wenigstens eines der
Symbole
|
|
gleich
wird. Fahren wir in der begonnenen Weise fort, so erhalten wir schließlich eine gewisse Anzahl
und dazu ein System von
Einheiten
,
, ...,
des Körpers
, von der Art, daß bei geeigneter Anordnung der Primideale
, ...,
die Gleichungen
|
|
gelten und daß außerdem für eine jede solche Einheit
, die den
Gleichungen
|
|
genügt, notwendig auch die
Symbole
|
|
sämtlich den Wert
besitzen.
Wir können nunmehr mit Rücksicht auf die zweite Formel in Satz 14 die vorhin aus dem Ideal
gebildete Zahl
des Körpers
derart mit gewissen der Einheiten
, ...,
multiplizieren, daß das entstehende Produkt
den Gleichungen
|
|
genügt; ist
derart bestimmt, so bezeichne ich die
Einheiten
|
|
als das Charakterensystem des Ideals
. Dasselbe ist durch das Ideal
völlig eindeutig bestimmt. In § 19 wird gezeigt werden, daß stets
und mithin
wird.
§ 18. Der Begriff des Geschlechtes.
Wir erkennen sofort die Tatsache, daß die Ideale ein und derselben Klasse des Körpers
sämtlich dasselbe Charakterensystem besitzen. Hierdurch ist überhaupt einer jeden Idealklasse des Körpers
ein bestimmtes Charakterensystem zugeordnet. Definition 12. Alle diejenigen Idealklassen, denen ein und dasselbe Charakterensystem zugeordnet ist, deren Ideale also sämtlich ein und dasselbe Charakterensystem besitzen, fassen wir zu einem Geschlecht zusammen und definieren insbesondere das Hauptgeschlecht als die Gesamtheit aller derjenigen Klassen, deren Charakterensystem aus lauter Einheiten
besteht. Da das Charakterensystem der Hauptklasse offenbar von der letzteren Eigenschaft ist, so gehört insbesondere die Hauptklasse stets zum Hauptgeschlecht.
Aus der zweiten Formel des Satzes 14 entnehmen wir leicht die folgenden Tatsachen: Wenn
und
zwei beliebige Geschlechter sind und die Klassen in
mit den Klassen in
multipliziert werden, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum ein Geschlecht; dieses werde das Produkt der Geschlechter
und
genannt. Das Charakterensystem desselben erhalten wir durch Multiplikation der entsprechenden Charaktere der beiden Geschlechter
und
.
Jedes Geschlecht des Körpers
enthält gleich viel Klassen, nämlich so viel Klassen als das Hauptgeschlecht. Die zu irgendeiner Klasse
relativ konjugierte Klasse
gehört zu demselben Geschlechte wie
selbst. Das Quadrat einer jeden Klasse
gehört stets zum Hauptgeschlecht.
Die
Klassen eines beliebigen Komplexes
gehören offenbar sämtlich zu dem nämlichen Geschlecht; ich bezeichne dieses Geschlecht als das Geschlecht des Komplexes
.
§ 19. Obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter in
.
Es entsteht die wichtige Frage, ob ein System von
beliebig vorgelegten Einheiten
stets das Charakterensystem für ein Geschlecht in
sein kann. Wir beweisen zunächst einige zur Beantwortung dieser Frage notwendige Hilfssätze.
Satz 24. (Hilfssatz.) Wenn
und
die Bedeutung wie in Satz 23 haben und
wie in § 17 die Anzahl der Charaktere ist, welche das Geschlecht einer Idealklasse in
bestimmen, so ist stets
|
|
Beweis. Im Beweise zu Satz 22 und Satz 23 sind
Einheiten
, …,
und
Einheiten
, …,
mit gewissen dort entwickelten Eigenschaften aufgestellt worden. Es seien ferner
, …,
diejenigen besonderen
Einheiten des Körpers
, die in § 17 eingeführt worden sind; dann ist
. Wir beweisen zunächst, daß die
aus
|
|
entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig sind. In der Tat, nehmen wir an, es gäbe zwischen den genannten
Einheiten eine Relation von der Gestalt
|
(1)
|
so daß die Exponenten
![{\displaystyle a_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bbf42ecda092975c9c69dae84e16182ba5fe2e07)
, ...,
![{\displaystyle a_{r^{\ast }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/deb2805a50a73b8d3a7b1288d17d9a559cf473ce)
,
![{\displaystyle b_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9af2720c91be489f57ecde4bb651b95e113d0144)
, ...,
![{\displaystyle b_{\nu ^{\ast }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f5fa3f334de56e85d51c1689b65393ac3dd7d07)
,
![{\displaystyle c_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/77b7dc6d279091d354e0b90889b463bfa7eb7247)
, ...,
![{\displaystyle c_{\nu -\nu ^{\ast }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/87569d88f05a8b7c6d0aefb7a257a315f146acd1)
gewisse Werte
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
,
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
, jedoch nicht sämtlich den Wert
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
haben und
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
eine geeignete Einheit in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
vorstellt: dann müßte für jedes Primideal
![{\displaystyle {\mathfrak {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab40f4f1d73fa42cc8270b9ef7d1257784619595)
des Körpers
|
|
ausfallen, und wenn wir berücksichtigen, daß die Einheiten
|
, ..., , , ...,
|
sämtlich Relativnormen von Zahlen in
sind und daher auch stets
|
,
|
|
|
sein muß, so ergibt sich
|
.
|
Hierin setzen wir der Reihe nach für
jedes der
in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale
, ...,
ein und erhalten so die Gleichungen
, .
|
(2)
|
Wegen des in § 17 aufgestellten Systems von Formeln (1) für die Einheiten
, ...,
können diese Gleichungen (2) nur bestehen, wenn die Exponenten
, ...,
sämtlich gerade und also gleich
sind. Die Relation (1) erhält dann die Gestalt
|
.
|
Das Bestehen dieser Relation ist aber, da nach § 16 die durch
, ...,
,
, ...,
bestimmten Einheitenverbände voneinander unabhängig sind, nur möglich, falls die Exponenten
, ...,
,
, ...,
sämtlich gerade und also gleich
sind. Daraus folgt, daß eine Relation von der Gestalt (1), wie wir sie annahmen, nicht statthaben kann, d. h. die aus den Einheiten
, ...,
,
, ...,
,
, ...,
entspringenden Verbände sind voneinander unabhängig; durch Multiplikation erhalten wir also aus diesen Verbänden genau
voneinander verschiedene Einheitenverbände in
, und da es im ganzen in
nach § 11 nur
Einheitenverbände gibt, so haben wir
. Hiermit deckt sich die Aussage des Satzes 24.
Da nach der Bemerkung am Schluß von § 15 stets
und also um so mehr
ausfällt, so folgt aus Satz 24 insbesondere
und also
. Satz 25. (Hilfssatz.) Die Anzahl
der verschiedenen Geschlechter im Körper
ist kleiner oder höchstens gleich der Anzahl
der ambigen Komplexe des Körpers
.
Beweis. Wenn
die Anzahl der Geschlechter ist, in welche sich die Ideale oder die Idealklassen des Körpers
einteilen, so zerfallen zufolge der letzten Bemerkung in § 18 auch die Komplexe des Körpers
genau in
Geschlechter. Bezeichnen wir daher mit
die Anzahl der Komplexe vom Hauptgeschlecht, so ist die Anzahl aller überhaupt vorhandenen Komplexe, welche
heiße, genau
|
.
|
Wie bereits in § 18 bemerkt worden ist, gehört das Quadrat einer beliebigen Klasse
stets zum Hauptgeschlecht, und daher ist auch das Quadrat eines beliebigen Komplexes stets ein Komplex des Hauptgeschlechtes. Wir fassen nun diejenigen Komplexe des Hauptgeschlechtes ins Auge, welche Quadrate von Komplexen sind; ihre Anzahl sei
, und wir bezeichnen sie mit
, …,
, so daß
, ...,
wird, wo
, ...,
gewisse Komplexe bedeuten. Es fällt offenbar
aus. Ist jetzt
ein beliebiger Komplex, so wird
notwendig ein bestimmter der
Komplexe
, ...,
; es sei etwa
. Dann folgt
, d. h.
und nach § 12 ist aus diesem Grunde
ein ambiger Komplex
; es wird
, und folglich stellt der Ausdruck
überhaupt alle Komplexe dar, sobald
alle ambigen Komplexe und
die
Komplexe
, ...,
durchläuft. Auch ist klar, daß diese Darstellung für jeden Komplex nur auf eine Weise möglich ist; es ist daher die Anzahl aller überhaupt vorhandenen Komplexe
|
.
|
Die Zusammenstellung dieser Gleichung mit der vorhin gefundenen
liefert
, und wegen
folgt hieraus
, womit der Satz 25 bewiesen ist.
Nunmehr sind wir imstande, die folgende Tatsache zu beweisen, welche für unsere späteren Entwicklungen von besonderer Bedeutung ist:
Satz 26. (Hilfssatz.) Wenn im Körper
die Anzahl der Charaktere, welche das Geschlecht einer Klasse bestimmen, gleich
ist, so genügt die Anzahl
der Geschlechter jenes Körpers stets der Bedingung
|
.
|
Beweis. Nach Satz 23 ist die Anzahl
aller ambigen Komplexe in
|
.
|
Nach Satz 24 gilt die Ungleichung
|
;
|
mithin ist auch
|
|
und daraus folgt, vermöge Satz 25, die Richtigkeit des Satzes 26.
§ 20. Das primäre Primideal
und das Symbol
.
Es ist für die folgenden Entwicklungen von Nutzen, eine gewisse Art von Primidealen in
besonders zu benennen.
Definition 13. Ein solches zu
primes Primideal des Körpers
, nach welchem jede Einheit in
quadratischer Rest ist, möge ein primäres Primideal heißen; dagegen möge jedes solche Primideal nichtprimär genannt werden, nach welchem wenigstens eine Einheit in
quadratischer Nichtrest ist.
Wir führen für primäre Primideale noch ein neues Symbol ein.
Definition 14. Es sei
ein primäres Primideal und
ein beliebiges Ideal in
, es werde
gesetzt, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet; dieselbe ist bis auf eine Einheit als Faktor eindeutig durch das Ideal
bestimmt. Das Symbol
ist folglich ein durch
und
völlig bestimmter Wert
oder
oder
; dieser Wert werde mit
bezeichnet, so daß das neue Symbol
durch die Gleichung
|
|
definiert ist.
Sind
,
irgend zwei zu
prime Ideale in
, so gilt offenbar stets die Gleichung
|
|
Ist
eine ganze Zahl in
und
das durch
dargestellte Hauptideal, so ist offenbar
|
|
denn da
ungerade ist, so haben beide Seiten dieser Gleichung den Wert
.
In § 21 werden wir gewisse Systeme von
nichtprimären Primidealen des Körpers
untersuchen und in § 23 die wichtigste Eigenschaft der primären Primideale beweisen.
§ 21. Ein System von
nichtprimären Primidealen des Körpers
.
Es sei, wie zu Beginn von § 14,
, …,
ein volles System von Grundeinheiten in
; ferner sei
eine wie in § 11 bestimmte Einheitswurzel in
, so daß nach § 11 jede beliebige Einheit
des Körpers
sich auf eine und nur auf eine Weise in der Gestalt
|
|
darstellen läßt, wo
![{\displaystyle e_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e81caf3d4bcb929315801cbabc83543829484ee)
, ...,
![{\displaystyle e_{\frac {m}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ff13c65065483465ca12b8f3f725dae5391d45c)
gewisse Werte
![{\displaystyle 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2aae8864a3c1fec9585261791a809ddec1489950)
,
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
haben und
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
eine Einheit in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
bedeutet. Es sind dann die aus
![{\displaystyle \varepsilon _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e900f9bee793f99d10877ef108da074cbca60ce)
, ...,
![{\displaystyle \varepsilon _{\frac {m}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b0ba0748163fcb7fb777486fbf5a5ed41481e3)
entspringenden Verbände des Körpers
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
voneinander unabhängig und diese
![{\displaystyle \textstyle {\frac {m}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bb88c3edf53f6b22363a47867ce5d40147b2c05)
Verbände liefern durch Multiplikation die sämtlichen
![{\displaystyle 2^{\frac {m}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea37617df871dab6bd7e1178aeddcb3aaadce690)
Einheitenverbände des Körpers
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
.
Satz 27[1]. Die Relativdiskriminante eines relativquadratischen Körpers
in bezug auf
ist stets von
verschieden.
Beweis. Zufolge der Bemerkung am Ende des § 15 gilt bei Benutzung der in Satz 22 erklärten Bezeichnungen die Ungleichung
|
.
|
Da die Anzahl sämtlicher Einheitenverbände im Körper
genau
beträgt, so ist notwendig
und mithin erhalten wir
. Diese Folgerung stimmt mit der Aussage des Satzes 27 überein.
Satz 28. Wenn eine Einheit
des Körpers
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl nach
ausfällt, so ist sie das Quadrat einer Einheit in
.
Beweis. Nehmen wir im Gegenteil an, es wäre
nicht das Quadrat einer Zahl in
, so würde
einen relativquadratischen Körper bestimmen; wegen der Sätze 4 und 5 besäße dieser Körper die Relativdiskriminante
und, da dies nach Satz 27 nicht sein kann, so ist die Annahme, von der wir ausgingen, unzutreffend.
Die Gültigkeit der Sätze 27 und 28 ist wesentlich durch die beiden besonderen Annahmen bedingt, welche wir im Anfange dieses Abschnittes II (S. 393) für den Körper
gemacht haben. Wenn also etwa
ein Zahlkörper ist, der entweder selbst reell ist, bez. einen reellen konjugierten Körper besitzt oder dessen Klassenanzahl gerade ausfällt, so kann es sehr wohl einen relativquadratischen Körper
geben, der in bezug auf
die Relativdiskriminante
besitzt, und es ist die Aufstellung und Untersuchung aller solcher relativquadratischen Körper
sogar die wichtigste und schwierigste Aufgabe, die sich bei der Ausdehnung unserer Theorie auf beliebige Grundkörper
bietet.
Satz 29. Es sei
, ...,
das zu Beginn dieses § 21 aufgestellte System von Einheiten in
; es seien ferner
, ...,
solche zu
prime Primideale des Körpers
, für welche allemal
|
|
|
|
ausfällt; endlich setzen wir
|
,
|
so daß
, ...,
gewisse ganze Zahlen des Körpers
bedeuten: dann gilt für jede beliebige zu
prime ganze Zahl
in
nach dem Modul
eine Kongruenz von der Gestalt
|
,
|
worin die Exponenten
, ...,
,
, ...,
gewisse Werte
,
haben und
eine geeignete ganze Zahl in
ist.
Beweis. Wir behandeln zunächst die Annahme, es gäbe
Exponenten
, ...,
,
, ...,
, die gewisse Werte
,
haben, aber nicht sämtlich gleich
sind, derart, daß die vermöge dieser Exponenten gebildete Zahl
|
(1)
|
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent werde. Die Zahl
bestimmt, wie leicht ersichtlich, einen relativquadratischen Körper
in bezug auf
. Zufolge des Satzes 5 ist die Relativdiskriminante dieses Körpers
prim zu
und nach Satz 4 besitzt sie diejenigen von den Primidealen
, ...,
zu Faktoren, für welche in (1) die betreffenden Exponenten
, ...,
gleich
werden. Wegen Satz 27 ist die Anzahl
dieser Primideale mindestens gleich
; es seien etwa die
Primideale
, ...,
diejenigen, die in der Relativdiskriminante des Körpers
als Faktoren enthalten sind.
Ist nun
irgendeine Einheit in
, die gleich der Relativnorm einer Einheit in
gesetzt werden kann, und bringen wir
in die Gestalt
|
,
|
wo die Exponenten
, ...,
gewisse Werte
,
haben und
eine Einheit in
bedeutet, so folgt aus Definition 6 unmittelbar
|
|
für
und, da nach Satz 9 mit Rücksicht auf unsere über
, ...,
gemachten Voraussetzungen
|
|
ausfällt, so folgt notwendig
|
, , ..., ,
|
d. h. die Einheit
muß ein Produkt aus gewissen von den
Einheiten
,
, ...,
in das Quadrat einer Einheit des Körpers
sein. Die sämtlichen Einheiten in
, welche Relativnormen von Einheiten in
sind, machen also höchstens
Verbände in
aus; somit würde unter Anwendung der in Satz 22 erklärten Bezeichnungsweise
|
oder
|
sein müssen, was der Bemerkung am Schluß von § 15 widerspricht. Unsere vorhin versuchte Annahme ist also unzutreffend, d. h. es ist keine Zahl
von der Gestalt (1) nach
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
kongruent, es sei denn, daß die Exponenten
|
, ..., , , ...,
|
sämtlich gleich
sind.
Wir verstehen nun unter
,
, ...,
ein volles System von
ganzen nach dem Modul
einander inkongruenten und zu
primen Zahlen in
. Dann stellt der Ausdruck
|
(2)
|
|
|
ein System von
Zahlen dar, welche untereinander nach
inkongruent sind. In der Tat, wären zwei von diesen
Zahlen (2) nach
kongruent, wäre etwa
, ,
|
|
so würde, da
,
zu
prim sind, aus dem vorhin Bewiesenen sofort folgen, daß die Exponenten
, ...,
,
, ...,
sämtlich bez. mit den Exponenten
, ...,
,
, ...,
übereinstimmen, und es wäre mithin
, .
|
(3)
|
Betrachten wir jetzt ein in der Zahl
als Faktor enthaltenes Primideal
und nehmen an, es gehe dasselbe in
genau zur
-ten Potenz auf, so folgt aus (3)
, ;
|
|
es ist mithin entweder
oder
durch
teilbar, und da offenbar
,[WS 1]
|
|
ist, so folgt in jedem Falle
, .
|
|
Die nämliche Betrachtung gilt für jedes in
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
aufgehende Primideal und daher erhalten wir
|
,
|
und schließen hieraus
|
,
|
d. h. die beiden ganzen Zahlen des Systems (2) waren nicht voneinander verschieden. Bezeichnen wir die verschiedenen in
aufgehenden Primideale des Körpers
mit
, ...,
, so haben wir[2]
|
|
es ist somit
und die Zahlen von der Gestalt (2), deren Anzahl
ist, bilden folglich ein volles System von Resten nach dem Modul
, die zu
prim sind; dies ist die Aussage des Satzes 29.
§ 22. Die unendliche Reihe
.
Ehe wir näher die Natur der primären Primideale ergründen, entwickeln wir einige Sätze, die sich an die Überlegungen in § 13 anschließen.
Satz 30. (Hilfssatz.) Die reellen Veränderlichen
, ...,
mögen als rechtwinklige Koordinaten eines
-dimensionalen Raumes betrachtet werden und es sei in diesem Raume eine endliche Anzahl von
-dimensionalen Flächenscharen durch Gleichungen von der Gestalt
|
|
gegeben, wo
,
, ... analytische Funktionen der Argumente
, ...,
,
bedeuten, die in der Umgebung des Parameterwertes
sich regulär verhalten; diese Flächen mögen, wenn wir dem Parameter
einen festen positiven Wert oder den Wert
erteilen, einen bestimmten ganz im Endlichen gelegenen Teil
des
-dimensionalen Raumes abgrenzen. Nunmehr wählen wir für den Parameter
einen positiven Wert und fixieren in dem
-dimensionalen Raume alle Punkte, deren Koordinaten von der Form
|
|
sind, wo
,
, ...,
sämtliche ganze rationale Zahlen durchlaufen: dann wird die Anzahl
aller derjenigen solchen Punkte, die in jenem Raume
liegen, durch die Formel
|
|
dargestellt, wo
den Inhalt des für
sich ergebenden Raumes
und
eine von
abhängige Größe bezeichnet, welche stets zwischen endlichen Grenzen bleibt, sobald
gegen
konvergiert.
Dieser Hilfssatz ist eine Erweiterung desjenigen Satzes, welchen bereits H. Minkowski[3] und H. Weber[4] aufgestellt und bewiesen haben, und man erkennt ohne Schwierigkeit die Abänderungen, welche diese Beweise verlangen, wenn man die Richtigkeit der soeben von mir aufgestellten Erweiterung einsehen will.
Satz 31. Ist
ein bestimmtes primäres Primideal, so stellt die über sämtliche Primideale
des Körpers
zu erstreckende unendliche Summe
|
|
eine solche Funktion der reellen Veränderlichen
dar, welche stets unterhalb einer positiven endlichen Grenze bleibt, wenn die reelle Veränderliche
sich der Grenze
nähert.
Beweis. Aus den
konjugierten Körpern
,
, ...,
wählen wir irgend solche
Körper aus, von denen keine zwei zu einander konjugiert imaginär sind, und bezeichnen diese mit
,
, ...,
. Ist ferner
irgendeine von
verschiedene Zahl in
, so bezeichnen wir die zu
konjugierten in
, ...,
liegenden Zahlen bez. mit
, ...,
und nennen die
reellen Logarithmen
|
|
kurz die Logarithmen zur Zahl
. Endlich bezeichnen wir mit
, ...,
ein System von
Grundeinheiten in
und berechnen dann aus den Gleichungen
|
|
![{\displaystyle \textstyle {\frac {m}{2}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c0813587702d4b512be7d54437156509cfc6ba)
reelle Größen
![{\displaystyle e_{1}(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab2404185ddae1a0df1f0444c59973aded5161f6)
, ...,
![{\displaystyle e_{{\frac {m}{2}}-1}(\alpha )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7c261dda79a9a16d41fd9461ab5a7d5542fe6ea3)
; diese
![{\displaystyle \textstyle {\frac {m}{2}}-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/74c0813587702d4b512be7d54437156509cfc6ba)
Größen mögen kurz die Exponenten zur Zahl
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
heißen. Es ist klar, daß jede Zahl
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
durch Multiplikation mit ganzen Potenzen von
![{\displaystyle \varepsilon _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e900f9bee793f99d10877ef108da074cbca60ce)
, ...,
![{\displaystyle \varepsilon _{{\frac {m}{2}}-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14bc2bd80616b4e0d114cb55f490ca8f55df8e5a)
auf eine und nur auf eine Weise in eine solche Zahl
![{\displaystyle \alpha ^{\ast }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c68e27a654cda76b5955a27c9fdcce3d2ea5d071)
verwandelt werden kann, zu der die Exponenten
![{\displaystyle e_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e81caf3d4bcb929315801cbabc83543829484ee)
, ...,
![{\displaystyle e_{{\frac {m}{2}}-1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/37cda94d87db58e75535cb2a04cfdce92b2e0b39)
den Bedingungen
|
|
genügen. Umgekehrt sehen wir leicht, daß zwei Einheiten, deren Exponenten bez. einander gleich sind, sich nur um einen Faktor unterscheiden können, welcher eine Einheitswurzel ist. Die Anzahl aller in
liegenden Einheitswurzeln werde mit
bezeichnet.
Es sei nun
eine beliebige Idealklasse in
und
ein zu
primes Ideal der zu
reziproken Klasse
; ferner bestimmen wir ein volles System von quadratischen Resten nach
, etwa
,
,
, ..., und zwar derart, daß diese
Zahlen
,
,
, ... sämtlich durch
teilbar sind: dann läßt sich offenbar jede durch
teilbare ganze Zahl in
, welche quadratischer Rest nach
ist, in einer der
Formen
|
(1)
|
darstellen, wo
, ...,
gewisse ganze rationale Zahlen und
, ...,
die Basiszahlen des Ideals
bedeuten. Es sei ferner
irgendein durch
teilbarer quadratischer Rest nach
; da
ein primäres Primideal sein soll, so besitzt jede Zahl
, die durch Multiplikation der Zahl
mit einer beliebigen Einheit entspringt, die gleiche Eigenschaft und ist mithin ebenfalls in einer jener Formen (1) darstellbar.
Indem wir diese Tatsachen zusammen nehmen, erkennen wir folgendes: das
-fache der Anzahl
aller durch
teilbaren Hauptideale
, deren Normen die reelle positive Zahl
nicht überschreiten und für welche
ausfällt, ist gleich der Anzahl
der verschiedenen Systeme von rationalen ganzzahligen Werten
, ...,
, für welche die Ungleichungen
|
(2)
|
erfüllt sind, vermehrt um die entsprechenden Anzahlen
![{\displaystyle T'}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b32d735f4fbb6eff3b35ed3dc1005a069d0b2e5)
,
![{\displaystyle T''}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b7376c7d3d25151dd6965ecc52ccf169873d0a43)
, ..., wo allgemein
![{\displaystyle T^{(s)}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa3f70355e2bc8acf9274c2bc2821b838baa8bfd)
die Anzahl der verschiedenen rationalen ganzzahligen Wertsysteme
![{\displaystyle u_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b0c788a124a32684f109737f7cfab7611d6a58)
, ...,
![{\displaystyle u_{m}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2386eb991562d2a692a08e9bde848d0033268af0)
bedeutet, für welche die Ungleichungen
|
|
erfüllt sind; es ist also
.
|
|
Um zunächst die Anzahl
abzuschätzen, setzen wir in den Ungleichungen (2)
|
|
ein; dieselben gehen dadurch in die folgenden Ungleichungen über:
|
(3)
|
wo die Größen
, ...,
durch die Gleichungen
|
(4)
|
als Funktionen von
, ...,
,
zu bestimmen sind; hierin bedeuten
, ...,
,
, ...,
die zu
,
konjugierten und bez. in den Körpern
, ...,
gelegenen Zahlen. Die Anzahl
ist mithin gleich der Anzahl aller Punkte mit den Koordinaten
,
|
|
die in den durch die Ungleichungen (3) charakterisierten Teil des
-Raumes fallen. Dieser Raumteil liegt ganz im Endlichen und wird durch eine endliche Anzahl analytischer Flächen begrenzt. Die Gleichungen dieser Flächen enthalten noch einen Parameter
, und da ihre linken Seiten für
im fraglichen Gebiete sich regulär verhalten, so sind alle Voraussetzungen des Satzes 30 erfüllt. Wir bezeichnen mit
den Inhalt dieses Raumteiles für
, d. h. den Inhalt desjenigen Raumteiles, der durch die Ungleichungen
,
|
|
,
|
|
|
|
|
|
charakterisiert ist, wo jetzt die Größen
, ...,
aus den Gleichungen
|
|
als Funktionen von
, ...,
zu bestimmen sind.
Nach Satz 30 ist die Anzahl
derjenigen Punkte mit den Koordinaten
,
|
|
die in den durch (3) definierten Teil des
-Raumes fallen, durch die Formel
|
|
dargestellt, wo
eine von
abhängige Größe bedeutet, die für unendlich wachsende
stets zwischen endlichen Grenzen bleibt. Ebenso folgt
|
|
wo
,
, ... ebenfalls von
abhängige und für unendlich wachsende
zwischen endlichen Grenzen bleibende Größen bedeuten. Durch Addition aller solchen
Formeln erhalten wir
;
|
|
und folglich ist
.
|
(5)
|
Nach der nämlichen Methode erhalten wir für die Anzahl
![{\displaystyle G(t)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e3d6c09ba5569413364689bf4837c7b71ef0892f)
aller durch
![{\displaystyle {\mathfrak {a}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f656feeddb5d98500bb4d3fc31038d0b87484b)
teilbaren Hauptideale
![{\displaystyle {\mathfrak {h}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8f80a9d9b4cf9b0b6f562d5eff0f290da478ebe)
des Körpers
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
, deren Normen die reelle positive Zahl
![{\displaystyle t}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/65658b7b223af9e1acc877d848888ecdb4466560)
nicht überschreiten und für welche
![{\displaystyle \textstyle \left({\frac {\mathfrak {h}}{\mathfrak {p}}}\right)=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7193f603f48f891a2879f9b0fd9e57232b89d065)
wird,
,
|
(6)
|
wo
,
,
, ... wiederum von
abhängige Größen bedeuten, die für unendlich wachsende
stets zwischen endlichen Grenzen bleiben. Durch Subtraktion der beiden Formeln (5), (6) ergibt sich
,
|
(7)
|
wo
ebenfalls eine von
abhängige Größe bezeichnet, die für unendlich wachsende
zwischen endlichen Grenzen bleibt.
Wir haben offenbar
,
|
|
wenn die Summe linker Hand über alle zu
primen und durch
teilbaren Hauptideale
des Körpers
erstreckt wird, während auf der rechten Seite die erste Summe über alle zu
primen und durch
teilbaren Hauptideale
mit der Eigenschaft
und die zweite Summe über alle zu
primen und durch
teilbaren Hauptideale
mit der Eigenschaft
genommen wird. Andererseits ist mit Rücksicht auf die Bedeutung der Anzahlen
,
|
|
und folglich wird
,
|
(8)
|
wo die Summen rechter Hand stets über
,
,
, ... zu erstrecken sind und
,
,
gleich Null zu setzen sind. Nun haben wir
,
|
|
und da für
,
,
|
|
|
|
ist, so erhalten wir weiter
,
|
|
und wegen (7) und (8) folgt hieraus
.
|
(9)
|
Da nach dem vorhin Bewiesenen
für unendlich wachsende
zwischen endlichen Grenzen bleibt und der Wert der unendlichen Reihe
|
|
für
gegen eine endliche Grenze konvergiert, so folgt aus (9), daß auch die unendliche Summe
|
(10)
|
eine Funktion von
darstellt, welche für
gegen eine endliche Grenze konvergiert.
Setzen wir in (10)
, so gehört das zu
prime Ideal
der Klasse
an und wir erhalten mit Rücksicht auf die Gleichung
|
|
aus der zuletzt bewiesenen Tatsache das Resultat, daß die über alle zu
primen Ideale
der Klasse
zu erstreckende unendliche Summe
|
(11)
|
ebenfalls eine Funktion von
darstellt, welche für
gegen eine endliche Grenze konvergiert. Bilden wir die dem Ausdrucke (11) entsprechenden unendlichen Summen unter Benutzung der
verschiedenen Klassen des Körpers
und addieren alle so entstehenden
unendlichen Summen, so erkennen wir, daß auch die über alle zu
primen Ideale
des Körpers
erstreckte unendliche Summe
|
(12)
|
für
gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert.
Nun ist
,
|
|
wenn das Produkt
![{\displaystyle \textstyle \prod \limits _{({\mathfrak {w}})}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/13f0ce7721b3f50c4f2c31e020c0e4026f7bdcf5)
über alle Primideale
![{\displaystyle {\mathfrak {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab40f4f1d73fa42cc8270b9ef7d1257784619595)
des Körpers
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
erstreckt wird und folglich erhalten wir
,
|
(13)
|
wobei die Summe
ebenfalls über alle Primideale
des Körpers
zu erstrecken ist und wo
eine Größe darstellt, die für
gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert. Da (12) für
gegen einen endlichen Grenzwert konvergiert, so muß notwendig (13) für
entweder ebenfalls gegen einen endlichen Grenzwert konvergieren oder negativ über alle Grenzen wachsen; in beiden Fällen ersehen wir mithin die Richtigkeit des zu beweisenden Satzes 31.
§ 23. Eine Eigenschaft primärer Primideale.
Durch die beiden Sätze 29 und 31 gelangen wir zu folgendem wichtigen Satze über primäre Primideale:
Satz 32. Wenn
ein primäres Primideal ist, so ist es stets möglich, in
eine ganze Zahl
zu finden, so daß das Ideal
gleich
wird und überdies die Zahl
nach dem Modul
eine Kongruenz von der Gestalt
|
|
erfüllt, wo
eine geeignete ganze Zahl des Körpers
ist.
Beweis. Es sei
, ...,
das zu Beginn von § 21 aufgestellte System von Einheiten in
; es seien ferner
, ...,
, wie in Satz 29, solche zu
prime Primideale des Körpers
, für welche allemal
|
|
ausfällt. Die Existenz solcher Primideale folgt aus Satz 18. Wir setzen dann
,
|
|
so daß
,
, ...,
gewisse ganze Zahlen des Körpers
bedeuten. Wenden wir nun den Satz 29 insbesondere auf die ganze Zahl
an, so ergibt sich, daß
einer Kongruenz von der Gestalt
|
(1)
|
genügt, wo
eine geeignete Einheit in
, ferner
, ...,
gewisse Exponenten
,
und
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet. Hätten in diesem Ausdrucke (1) rechter Hand die Exponenten
, ...,
sämtlich den Wert
, so wäre bereits
eine Zahl von der Art, wie sie Satz 32 verlangt. Wir nehmen also an, die Anzahl
derjenigen unter den Exponenten
, ...,
, welche gleich
ausfallen, sei größer als
.
Setzen wir
,
|
|
so besitzt nach Satz 5 der relativquadratische Körper
eine zu
prime Relativdiskriminante. Für diesen Fall ist der Satz 26 von uns bereits bewiesen worden. Indem wir die in Definition 11 gebrauchten Bezeichnungen beibehalten, haben wir offenbar
,
|
|
und nach dem Satze 26 ist folglich die Anzahl
der Geschlechter des Körpers
höchstens gleich
und also gleich
, d. h. alle Idealklassen des Körpers
sind vom Hauptgeschlecht.
Aus der eben bewiesenen Tatsache ziehen wir folgende Schlüsse: es sei
irgendein zu
primes Primideal in
mit der Eigenschaft
,
|
|
so daß
nach Satz 7 in
in das Produkt zweier Primideale
,
zerfällt. Soll nun
zum Hauptgeschlechte gehören, so muß das Charakterensystem dieses Primideals im Körper
aus lauter Einheiten
bestehen; es muß also das Charakterensystem einer Zahl
, wobei
eine geeignete Einheit in
und
eine ganze Zahl in
mit der Eigenschaft
bedeutet, aus lauter Einheiten
bestehen. Wir bilden insbesondere den Charakter der Zahl
in bezug auf das in der Relativdiskriminante von
aufgehende Primideal
und erhalten dadurch
,
|
|
und wenn wir berücksichtigen, daß
ein primäres Primideal ist, so wird
,
|
|
d. h. jedes Primideal
, für welches
ausfällt, besitzt auch die Eigenschaft
.
Wir bestimmen nun an Stelle der Primideale
, ...,
irgend
andere Primideale
, ...,
mit den entsprechenden Eigenschaften
|
|
|
|
und setzen wiederum
![{\displaystyle {{\mathfrak {q}}'_{1}}^{h}=(\varkappa '_{1})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa1708c2a11bb3220fa4a346d4c88a8440cfaee2)
, ...,
![{\displaystyle {{\mathfrak {q}}'_{\frac {m}{2}}}^{h}=(\varkappa '_{\frac {m}{2}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa405cdef9cf415f4eea2b890ea0e3c904d0b56b)
, wo
![{\displaystyle \varkappa '_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e23ce6f2340c51d257a26b0dda51fdd45d8ec55)
, ...,
![{\displaystyle \varkappa '_{\frac {m}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5208e75b9f512cf5a657aa573487495479502ef)
ganze Zahlen in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
sind; sodann denken wir uns die sämtlichen Schlußfolgerungen dieses Beweises für das neue System von Primidealen
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}'_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2251d5e732c320b6662543fc2ce3ee2a3f9244a9)
, ...,
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}'_{\frac {m}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34d1f49fb99adf1e62d0e9586508748ee13c32d4)
wiederholt.
Auf diese Weise gelangen wir zu einem Ausdruck
,
|
|
in dem
eine gewisse Einheit und
, ...,
gewisse Exponenten
,
bedeuten. Hätten hier die Exponenten
, ...,
sämtlich den Wert
, so wäre wiederum
eine Zahl von der Art, wie sie Satz 32 verlangt; wir nehmen also an, daß diese Exponenten
, ...,
nicht sämtlich gleich
ausfallen und folgern dann wie vorhin, daß jedes Primideal
, für welches
ist, auch die Eigenschaft
besitzt.
Wir bezeichnen nun kurz mit
alle diejenigen Primideale in
, für welche
|
|
ist und mit
alle diejenigen Primideale in
, für welche zugleich
und
|
|
ausfällt, ferner mit
,
diejenigen Primideale, für welche
bez.
|
|
wird. Da die Zahlen
,
sicher nicht Quadrate von ganzen Zahlen in
sind und bei unseren Annahmen das nämliche auch für das Produkt
gilt, so folgen aus Satz 17 die Gleichungen
|
(2)
|
hier sind die unendlichen Summen über alle Primideale
bez.
zu erstrecken und
,
bedeuten Funktionen der reellen Veränderlichen
, welche stets zwischen endlichen Grenzen bleiben, wenn
sich dem Werte
nähert.
Die Primideale
sind offenbar sämtlich von den Primidealen
verschieden und da nach dem vorhin Bewiesenen die Primideale
,
sämtlich unter den Primidealen
vorkommen, so haben wir
|
|
und folglich wegen (2)
;
|
(3)
|
hier sind die unendlichen Summen wiederum über alle Primideale mit den betreffenden Eigenschaften zu erstrecken.
Die Primideale
,
erschöpfen offenbar, wenn man von dem einen Primideale
absieht, die sämtlichen Primideale
in
und es ist daher
,
|
(4)
|
wo die Summe
über sämtliche Primideale
in
erstreckt werden soll und
wiederum eine für
zwischen endlichen Grenzen bleibende Größe bezeichnet. Aus (3) und (4) zusammen folgt die Ungleichung
.
|
(5)
|
Wegen
|
|
enthält die Ungleichung (5) unmittelbar einen Widerspruch gegen den Satz 31 und mithin sind unsere Annahmen zu verwerfen, d. h. es müssen die Exponenten
, ...,
in der Kongruenz (1) oder das zweitemal die Exponenten
, ...,
in der entsprechenden Kongruenz sämtlich
sein; dann ist aber, wie bereits hervorgehoben wurde,
bez.
eine Zahl von der Art, wie sie der Satz 32 verlangt und damit haben wir die Richtigkeit dieses Satzes erkannt.
Auch die Umkehrung des Satzes 32 ist gültig, wie der folgende Satz zeigt:
Satz 33. Wenn
eine ganze Zahl in
bedeutet, welche dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt, und wenn überdies
gleich
ist, wo
ein Primideal in
bedeutet, so ist dieses Primideal
stets primär.
Beweis. Wir betrachten den Körper
: Wegen Satz 4 und 5 besitzt die Relativdiskriminante dieses Körpers nur den einen Primfaktor
. Mit Hilfe von Satz 22, nach der Bemerkung am Schluß von § 15, und bei Anwendung der Bezeichnungsweise dieses Satzes 22 für den Körper
erhalten wir wegen
die Ungleichung
d. h. .
|
|
Da andererseits
nach § 11 nicht größer als
sein kann, so haben wir
; es ist mithin jede Einheit
in
die Relativnorm einer Einheit des Körpers
und hieraus folgt nach Satz 9
|
,
|
d. h.
ist ein primäres Primideal.
§ 24. Zwei besondere Fälle des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper
.
Auf Grund des Satzes 32 können wir folgende neue Definition aufstellen:
Definition 15. Wenn
ein primäres Primideal in
ist und
wird, wo
eine solche ganze Zahl in
bedeutet, die dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent ausfällt, so nenne ich
eine Primärzahl des primären Primideals
. Wegen Satz 28 ist die Primärzahl
durch das primäre Primideal
bis auf das Quadrat einer Einheit in
bestimmt.
Satz 34. Es sei
ein primäres Primideal in
und
ein beliebiges Primideal in
; ferner sei
eine Primärzahl von
und
irgendeine ganze Zahl in
, so daß
wird: wenn dann
ist, so fällt auch
aus.
Beweis. Mit Rücksicht auf Definition 15 und wegen Satz 4 und 5 besitzt die Relativdiskriminante des Körpers
nur den einen Primfaktor
, und daher ist wegen Satz 26 in diesem Relativkörper die Anzahl der Geschlechter gleich
, d. h. es gehören alle Ideale des Körpers
dem Hauptgeschlechte an. Wegen der Annahme
ist nach Satz 7
in
in das Produkt zweier Primideale zerlegbar; für den Charakter eines jeden dieser beiden Primideale erhalten wir den Wert
|
,
|
womit der Satz 34 bewiesen ist.
Satz 35. Wenn
,
zwei primäre Primideale in
und
,
bez. Primärzahlen von
,
sind, so gilt die Gleichung
|
.
|
Beweis. Im Falle
![{\displaystyle \textstyle \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bea6aae42e6399119d825ea90dab15ffcf4079b)
folgt die Richtigkeit dieses Satzes unmittelbar aus dem Satze 34. Nehmen wir andererseits
![{\displaystyle \textstyle \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/18a6a2f561c15eccc1f4d159d1435c87cab95313)
an, so muß notwendig auch
![{\displaystyle \textstyle \left({\frac {\pi ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42955667a3ba58097ab8532b9a81b7c32fa9eecc)
sein; denn wäre
![{\displaystyle \textstyle \left({\frac {\pi ^{\ast }}{\mathfrak {p}}}\right)=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/326d1705af65eab8a81435186f2bea6757f63782)
, so würde aus dem nämlichen Satze 34 die Gleichung
![{\displaystyle \textstyle \left({\frac {\pi }{{\mathfrak {p}}^{\ast }}}\right)=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4bea6aae42e6399119d825ea90dab15ffcf4079b)
folgen, was der Annahme widerspricht.
§ 25. Das Produkt
für ein zu
primes
und bei gewissen Annahmen über
.
Wir sind jetzt imstande, einen weiteren wichtigen Bestandteil des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper
abzuleiten.
Satz 36. Wenn
,
zu
prime ganze Zahlen in
sind und überdies die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent wird, so ist stets
|
,
|
wo das Produkt über sämtliche zu
primen Primideale
des Körpers
erstreckt werden soll.
Beweis. Wir nehmen erstens
gleich einer Zahl
des Körpers
an, die von der Beschaffenheit ist, daß das Ideal
die
-te Potenz eines nichtprimären Primideals
in
wird; die Zahl
dagegen sei ein Produkt von lauter Potenzen primärer Primideale. Bedeuten
, ...,
diejenigen unter diesen Primfaktoren von
, die in
zu einer ungeraden Potenz aufgehen, so finden wir, wenn bez.
, ...,
Primärzahlen von
, ...,
bezeichnen, bei Anwendung des Satzes 28 leicht die Gleichung
,
|
(1)
|
wo
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet. Wir betrachten den Körper
; nach Satz 4 sind
, ...,
die in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale. Da diese
Primideale sämtlich primär sein sollen und mithin für jede Einheit
stets
|
|
ausfällt, so ist
die Anzahl der Charaktere, welche das Geschlecht einer Klasse in diesem Körper
bestimmen; es gibt daher nach Satz 26 in
höchstens
Geschlechter.
Wir weisen nun nach, daß im Körper
wirklich
Geschlechter vorhanden sind. Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit
, ...,
irgend
solche Einheiten
, deren Produkt gleich
ist, und bestimmen dann ein Primideal
in
, welches den Bedingungen
,
|
(2)
|
|
(3)
|
genügt, wobei
, ...,
das zu Beginn von § 21 aufgestellte System von Einheiten in
bedeuten soll; nach Satz 18 gibt es sicher Primideale
von der verlangten Beschaffenheit. Wegen (2) ist
ein primäres Primideal; es sei
eine Primärzahl von
. Nach Satz 35 folgen aus den Gleichungen (3) die Gleichungen
(4)
|
, …, .
|
Wenn wir die Gleichungen (3) miteinander multiplizieren, erhalten wir wegen (1) und wegen
die Gleichung
|
,
|
d. h.
zerfällt im Körper
in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren stimmen wegen (4) mit
, …,
überein. Die Anzahl der möglichen Systeme von Einheiten
, …,
mit der Bedingung
ist offenbar
; es existieren daher wirklich so viele Geschlechter, und da es nach dem vorhin Bewiesenen eine größere Anzahl von Geschlechtern nicht geben kann, so erkennen wir hieraus die Tatsache, daß das Charakterensystem
, …,
eines jeden Geschlechts im Körper
notwendig die Bedingung
erfüllen muß.
Um aus dieser Tatsache unter den an erster Stelle gemachten Annahmen den Satz 36 abzuleiten, nehmen wir zunächst an, es sei
. Dann zerfällt
in
in zwei Primfactoren; das Charakterensystem eines jeden dieser Primfaktoren ist
|
, …, .
|
Da das Produkt dieser Charaktere nach dem vorhin Bewiesenen gleich
sein soll, so folgt wegen
|
|
notwendig die Gleichung
|
|
wenn das Produkt über alle zu
primen Primideale
des Körpers
erstreckt wird; diese Gleichung zeigt unmittelbar die Richtigkeit der Behauptung.
Ist dagegen
, so bestimme man ein von den Primidealen
, …,
verschiedenes primäres Primideal
von der Art, daß
ausfällt; nach Satz 18 ist dies stets möglich. Bezeichnet
eine Primärzahl von
, so muß notwendig auch
ausfallen, weil im entgegengesetzten Falle aus Satz 34
folgen würde. Nunmehr ist
, und wenn wir daher in der voranstehenden Betrachtung an Stelle von
jetzt
nehmen, so geht aus derselben die Gleichung
|
|
hervor. Es ist aber
|
|
und folglich
;
|
(5)
|
damit ist die Behauptung des Satzes 36 unter den an erster Stelle gemachten Annahmen als richtig erkannt.
Wenden wir die Formel (5) insbesondere auf den Fall an, daß
eine Primärzahl
eines primären Primideals
ist, so erhalten wir die Gleichung
;
|
(6)
|
es ist folglich stets
.
|
(7)
|
Wir behandeln zweitens den Fall, daß
eine Primärzahl
eines primären Primideals
sei, während die Zahl
beliebige primäre oder nichtprimäre Primideale enthalten möge. Setzen wir
..., wo
,
, ... Primideale sind, und bezeichnen
,
, ... ganze Zahlen in
, so daß
|
|
ausfällt, so wird
,
|
|
wobei
eine Einheit in
sein muß. Bei Anwendung der dritten Formel des Satzes 14 erhalten wir
.
|
(8)
|
Andererseits ist mit Rücksicht auf Satz 13
.
|
(9)
|
Ferner gelten die Gleichungen
,
|
(10)
|
wie wir für ein primäres
aus Satz 35 und für ein nichtprimäres
aus Formel (6) schließen. Nunmehr führt die Gleichung (8) in Verbindung mit (9) und (10) zu der Gleichung
,
|
(11)
|
und diese lehrt die Richtigkeit des Satzes 36 für den an zweiter Stelle behandelten Fall.
Wir nehmen drittens an, es sei
gleich einer Einheit
in
, während
beliebige primäre oder nichtprimäre Primideale enthalten möge. Wir betrachten den Relativkörper
. Bedeuten, wie in unserem ersten Falle,
diejenigen unter den Primfaktoren von
, die in
zu einer ungeraden Potenz aufgehen, und sind
solche ganze Zahlen in
, daß
|
|
wird, so finden wir eine Gleichung von der Gestalt
,
|
(12)
|
wo
eine Einheit in
und
eine ganze Zahl in
bezeichnet. Nach Satz 4 sind
die in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgehenden Primideale. Wir bezeichnen mit
die Anzahl der Charaktere, die das Geschlecht einer Klasse in
bestimmen, und es seien unter den Primidealen
die Primideale
,
nach der in Definition 11 gemachten Vorschrift ausgewählt. Dann beweisen wir folgende Tatsache: wenn
irgend
Einheiten
sind, deren Produkt
ausfällt, so gibt es im Körper
stets Ideale, deren Charaktere mit
übereinstimmen. In der Tat nach Satz 18 gibt es in
sicher ein Primideal
, welches den Gleichungen
,
|
(13)
|
|
(14)
|
genügt. Wegen (13) ist
ein primäres Primideal; es sei
eine Primärzahl von
. Vermöge des Satzes 35 bez. der Relation (7) folgen aus (14) die Gleichungen
.
|
(15)
|
Da
sein soll, so erhalten wir aus (14)
|
|
und folglich ist wegen (12)
,
|
|
d. h.
zerfällt in
in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren stimmen wegen (15) mit
überein. Da die Anzahl der Systeme von je
Einheiten
mit der Bedingung
gleich
ist und andererseits nach Satz 26 im Körper
nicht mehr als
Geschlechter existieren können, so schließen wir, wie in unserem ersten Falle, daß das Charakterensystem
eines jeden in
vorhandenen Geschlechtes notwendig die Bedingung
erfüllen muß.
Um aus dieser Tatsache im gegenwärtigen dritten Falle den Satz 36 zu beweisen, sei
ein Primideal, welches den Bedingungen
|
(16)
|
|
(17)
|
|
(18)
|
genügt. Wegen der Gleichung (16) zerfällt
im Körper
in zwei Primfaktoren und wegen der Gleichungen (17) ist
ein primäres Primideal; es sei
eine Primärzahl von
. Wegen (18) erhalten wir unter Benutzung des Satzes 35 bez. der Relation (7) die Gleichungen
,
|
(19)
|
und daher haben die
Charaktere eines Primfaktors von
folgende Werte
.
|
|
Nun muß nach dem vorhin Bewiesenen das Produkt dieser Charaktere gleich
sein; dies liefert mit Rücksicht auf (16) und (19) die Beziehung
,
|
|
und da wegen der an zweiter Stelle bewiesenen Tatsache
|
|
sein muß, so folgt auch die Gleichung
,
|
(20)
|
womit der Satz 36 unter den an dritter Stelle gemachten Annahmen als richtig erkannt ist. Das Produkt
ist hier wie auch im folgenden stets über alle zu
primen Primideale
des Körpers
zu erstrecken.
Wir machen viertens die Annahme, daß
die
-te Potenz eines nichtprimären Primideals
sei, und setzen
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet; die Zahl
enthalte jedoch beliebig viele primäre oder nicht primäre Primideale als Faktoren. Wir betrachten den Körper
, wenden für ihn die Bezeichnungen wie im vorigen Falle an und entnehmen aus der Behandlung dieses dritten Falles die Tatsache, daß das Produkt der
Charaktere eines Geschlechtes in
gleich
sein muß. Es sei zunächst
; dann zerfällt
im Körper
in zwei Primfaktoren. Die
Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren von
sind, wenn
eine geeignete Einheit in
bedeutet, und im übrigen die Bezeichnungsweise, die im dritten Falle benutzt wurde, beibehalten wird:
|
(21)
|
während überdies die Gleichungen
|
(22)
|
gelten. Durch Multiplikation dieser Gleichungen (21), (22) folgt leicht
|
|
und vermöge der im dritten Falle bewiesenen Relation (20) schließen wir hieraus
|
(23)
|
Fällt andererseits
aus, so bestimmen wir ein primäres Primideal
von der Art, daß
ausfällt. Bezeichnet
eine Primärzahl von
, so erhalten wir wegen (7)
, und folglich wird
. Nach der eben bewiesenen Formel (23) folgt mithin, wenn wir jetzt
an Stelle von
nehmen,
|
|
und hieraus wiederum mit Hinzuziehung von (11)
|
(24)
|
damit ist der Satz 36 auch unter der vierten Annahme bewiesen.
Wir beweisen endlich den Satz 36 allgemein. Zu dem Zwecke setzen wir
|
|
wo
eine Einheit in
und
,
, …, sei es Primärzahlen von primären Primidealen, sei es solche ganze Zahlen in
bedeuten, die
-te Potenzen von nichtprimären Primidealen darstellen. Dann entnehmen wir aus (20), (11), (24) die zu beweisende Gleichung
|
.
|
Der Satz 36 enthält bereits wesentliche Bestandteile des quadratischen Reziprozitätsgesetzes zwischen den zu
primen Zahlen im Körper
. Wir fassen einige wichtige Folgerungen des Satzes 36 in nachstehendem Satze zusammen:
Satz 37. Bedeuten
,
,
,
irgendwelche ganze Zahlen in
, die zu
prim sind und nach dem Modul
den Kongruenzen
|
|
genügen, und fällt überdies
zu
und
zu
prim aus, so gilt stets die Formel
|
.
|
Bedeuten
,
irgendwelche zueinander und zu
prime ganze Zahlen in
, von denen wenigstens eine dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt, so gilt stets die Formel
|
.
|
Beweis. Unter den zuerst gemachten Annahmen haben wir nach Satz 36
|
|
und mithin
|
;
|
hieraus entnehmen wir leicht die erste Aussage des Satzes 37. Die zweite Aussage folgt unmittelbar durch Anwendung des Satzes 36.
Die Formeln des Satzes 37 können auf die mannigfaltigste Weise durch numerische Beispiele bestätigt werden.
§ 26. Das primäre Ideal und seine Eigenschaften.
Wir erweitern die Definition 13 in folgender Weise:
Definition 16. Ein solches zu
primes Ideal
des Körpers
, in bezug auf das für jede Einheit
in
|
|
ausfällt, heiße ein primäres Ideal; dagegen mögen diejenigen Ideale nichtprimär genannt werden, in bezug auf die jene Gleichung nicht für jede Einheit
erfüllt ist.
Auf Grund des Satzes 36 gelingt es nun, den Satz 32 in folgender Weise zu verallgemeinern:
Satz 38. Es sei
ein beliebiges primäres Ideal in
: dann ist es stets möglich, in
eine ganze Zahl
zu finden, so daß das Ideal (
) gleich
wird, und überdies die Zahl
nach dem Modul
dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers
kongruent ausfällt.
Beweis. Es sei
irgendeine ganze Zahl in
, so daß
wird. Bezeichnen ferner
, …,
,
, …,
die
Ideale bez. ganze Zahlen, wie in Satz 29, so ist nach dem dort Bewiesenen jede ganze zu
prime Zahl nach dem Modul
in einer gewissen Gestalt (vgl. S. 414) darstellbar; wir dürfen danach insbesondere
|
(1)
|
setzen, wo
eine geeignete Einheit in
, ferner
, …,
gewisse Exponenten
,
und
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet. Da wegen (1) die Zahl
|
|
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
ausfällt, so ist nach dem Satze 36 für jede Einheit
in
|
|
und folglich
|
;
|
da nach Voraussetzung
sein soll, so entnehmen wir hieraus, daß für jede Einheit
in
die Gleichung
|
|
bestehen muß. Indem wir hierin der Reihe nach für
die in § 21 aufgestellten Einheiten
, …,
einsetzen, schließen wir aus den Formeln S. 413, daß die Exponenten
, …,
sämtlich gleich
sind, und daher ist wegen (1)
eine ganze Zahl in
von der im Satze 38 verlangten Beschaffenheit.
Die Umkehrung des Satzes 38 stellt eine Verallgemeinerung des Satzes 33 dar und lautet wie folgt:
Satz 39. Wenn
ein zu
primes Ideal in
und
eine ganze Zahl in
von der Beschaffenheit ist, daß das Ideal (
) gleich
wird und überdies die Zahl
nach dem Modul
dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers
kongruent ausfällt, so ist
ein primäres Ideal in
.
Den Beweis dieses Satzes gewinnen wir aus Satz 36, wenn wir in der Gleichung dieses Satzes 36 für
eine beliebige Einheit
in
und für
die Zahl
nehmen.
§ 27. Beispiele für die Sätze 32, 33, 38, 39.
Die Sätze 32, 33 entsprechen dem bekannten Satze aus der Theorie der rationalen Zahlen, demzufolge
quadratischer Rest oder Nichtrest nach einer rationalen positiven Primzahl ist, je nachdem diese von der Form
oder
ausfällt. Zur Erläuterung und Bestätigung der genannten Sätze 32, 33 wie der allgemeineren Sätze 38, 39 mögen folgende Beispiele dienen:
Beispiel 1. Der quadratische Körper
hat die Klassenanzahl
; er besitzt zwei Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten
und
bestimmt sind. Die Zahlen
|
|
sind Primzahlen mit den Normen bez.
|
|
Nun gelten die Kongruenzen:
|
und
|
also haben wir im Körper
|
und ,
|
d. h. die Primideale
und
sind primär. Dagegen finden wir mittels Satz 1
|
|
d. h. die Primideale
,
,
sind nichtprimär. In Übereinstimmung mit dem Satze 32 haben wir in der Tat
|
und
|
d. h.
![{\displaystyle -3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8e8ffb51bb3837cabdd202845d15aedc67a4ac88)
und
![{\displaystyle -1-2{\sqrt {-7}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0fc9311eb338d20a0eac01150ebf6ab5d9b58de0)
sind Primärzahlen der Primideale
![{\displaystyle (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ff45737214013a8e04d59d0de54318086be26a)
bez.
![{\displaystyle \left(1+2{\sqrt {-7}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/178ca3282874f872a108467a7a6a2707497b47f9)
. Dagegen ist von den sechs Zahlen
|
|
keine dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent, womit Satz 33 bestätigt wird.
Nach Definition 16 sind die Ideale
|
|
primär; in der Tat gelten in Bestätigung des Satzes 38 nach dem Modul
die Kongruenzen
|
|
Beispiel 2. Der biquadratische Körper
hat die Klassenanzahl
; wir setzen
und
, so daß
und
wird. Der Körper
besitzt
Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten
,
,
,
bestimmt sind.
Die Zahlen
, , , , ,
|
(1)
|
sind Primzahlen mit den Normen bez.
|
|
Wir finden nun leicht mittels Satz 1 im Körper
die Gleichungen
|
|
Dem Satze 33 zufolge darf daher keine der vier Primzahlen
,
,
,
nach dem Modul
einem Ausdrucke von der Gestalt
kongruent sein, wo
,
gewisse Werte
,
haben dürfen und
irgendeine ganze Zahl in
bedeutet; dagegen muß nach Satz 32 jede der beiden übrigen Zahlen aus der Reihe (1) einer solchen Kongruenz genügen. In der Tat ist
|
und .
|
Aus der obigen Tabelle erkennen wir ferner, daß die Ideale
|
|
primär sind; in der Tat gelten in Bestätigung der Sätze 38 und 39 die Kongruenzen:
|
|
Beispiel 3. Der biquadratische Körper
hat die Klassenanzahl
; wir setzen
und
, so daß
wird. Der Körper
besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten
,
,
,
bestimmt sind.
Durch Zerlegung der Zahl 5 erhalten wir in
die drei Primzahlen
, , ;
|
(2)
|
das Produkt der beiden letzteren ist gleich
, und das Produkt aller drei Primzahlen ist gleich 5. Wir finden leicht in diesem Körper
:
, , ,
|
(3)
|
und
, , ,
|
(4)
|
und in der Tat ist keine der drei Primzahlen (2) nach dem Modul
einem Ausdruck von der Gestalt
kongruent, wo
,
gewisse Werte
,
haben und
irgendeine ganze Zahl in
bedeutet. Dagegen ist
nach
, und wegen (3), (4) haben wir
|
|
d. h. das Ideal (5) ist in Übereinstimmung mit Satz 39 primär.
Die Zahl
ist in
gleich dem Produkt der drei Primzahlen
|
|
Wir finden leicht
, ,
|
(5)
|
und
, , .
|
(6)
|
Die Primfaktoren von 37 sind ebenso wie diejenigen von 5 sämtlich nichtprimär; dagegen ist das Ideal (37) primär. Ferner sind wegen (3), (4), (5), (6) die Ideale
|
|
primär; in der Tat gelten in Übereinstimmung mit Satz 38 die Kongruenzen
|
|
Die Zahlen 3 und 7 sind in
unzerlegbar, und da
und
nach dem Modul
ausfällt, so müssen nach Satz 33 (3) und (7) primäre Primideale mit den Primärzahlen
und
sein. In der Tat sind die Einheiten
beide in
quadratische Reste nach den Moduln (3) und (7); denn wir haben
|
und
|
sowie ferner
und
|
(7).
|
Beispiel 4. Der biquadratische Körper
hat die Klassenanzahl
; wir setzen
, so daß
wird. Der Körper
besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten
,
,
,
bestimmt sind, wobei zur Abkürzung
|
|
gesetzt ist.
Die Zahlen
|
(7)
|
sind Primzahlen ersten Grades in
mit den Normen bez.
|
|
wir schließen hieraus mittels Satz 1
|
(8)
|
Die Zahl
genügt nach den Primzahlen in (7) bez. den Kongruenzen
|
|
und daher gelten für
![{\displaystyle \varepsilon }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a30c89172e5b88edbd45d3e2772c7f5e562e5173)
bez. nach jenen Primzahlen die Kongruenzen
|
|
Da nun im Bereiche der rationalen Zahlen
quadratischer Best nach
,
Nichtrest nach
,
Nichtrest nach
,
Rest nach
und
Rest nach
ist, so haben wir im Körper
die Gleichungen
|
(9)
|
Wegen (8), (9) ist von den fünf Primzahlen in (7) nur die letzte primär, und in der Tat gilt in Bestätigung des Satzes 32 nach dem Modul
die Kongruenz
|
|
so daß
eine Primärzahl des Primideals
wird.
Die Zahlen
|
|
sind Primzahlen zweiten Grades in
mit den Normen bez.
|
, .
|
Zunächst ergibt sich
|
|
Ferner finden wir mit Benutzung der Kongruenz
|
|
leicht, daß
quadratischer Nichtrest nach
ist, d. h. wir haben
|
|
und die Primzahl
ist mithin nichtprimär. Dagegen gilt die Kongruenz
|
|
Nach Satz 33 muß mithin
ein primäres Primideal sein. In der Tat haben wir
|
|
und überdies gilt die Kongruenz
|
|
Endlich sind wegen (8), (9) die Ideale
|
|
primär und in Bestätigung des Satzes 38 finden wir in der Tat
|
|
Die Zahl
ist in
unzerlegbar und wegen
nach
ist mithin dem Satze 33 zufolge
ein primäres Primideal; in der Tat ist
quadratischer Rest nach
wegen der Kongruenz
|
|
Beispiel 5. Der durch die
-ten Einheitswurzeln bestimmte Körper ist ein biquadratischer zyklischer Körper mit der Klassenanzahl
; es sei
eine von
verschiedene
-te Einheitswurzel, so daß
|
|
wird. Der Körper
besitzt 4 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, welche durch die Einheiten
,
,
,
bestimmt sind.
Die Zahlen
|
(10)
|
sind Primzahlen ersten Grades in
mit den Normen bez.
|
|
wir schließen hieraus mittels Satz 1 leicht
|
(11)
|
Die Einheit
genügt nach den Primzahlen (10) bez. den Kongruenzen
|
|
Da nun im Bereich der rationalen Zahlen
quadratischer Rest nach
,
quadratischer Rest nach
,
Nichtrest nach
,
Nichtrest nach
,
Rest nach
, und
Rest nach
ist, so haben wir im Körper
die Gleichungen
|
(12)
|
Wegen (11), (12) sind von den sechs Primzahlen in (10) nur die zwei letzten primär, und in der Tat gelten in Bestätigung der Sätze 32 und 33 nach dem Modul
die Kongruenzen
|
|
so daß
|
und
|
Primärzahlen der betreffenden beiden Primideale werden.
Aus den Gleichungen (11), (12) entnehmen wir leicht die Gleichungen
|
|
Die Zahlen
und
müssen daher dem Satze 38 zufolge dem Produkte einer Einheit in das Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers
nach dem Modul
kongruent ausfallen; in der Tat gelten die Kongruenzen:
|
|
Beispiel 6. Der durch eine Wurzel
der Gleichung
|
|
bestimmte Körper ist ein biquadratischer Körper ohne quadratischen Unterkörper; er hat die Klassenanzahl
und besitzt
Einheitenverbände, nämlich diejenigen, die durch die Einheiten
,
,
,
bestimmt sind.
Für die Zahlen
,
gelten in
die Zerlegungen
|
|
worin beidemal der erste Faktor auf der rechten Seite eine Primzahl ersten Grades und der zweite Faktor eine Primzahl dritten Grades ist. Mit Hilfe des Satzes 1 erhalten wir darnach leicht
|
(13)
|
Andererseits findet man aus den Kongruenzen
|
und
|
die Gleichungen
|
(14)
|
Wegen
![{\displaystyle -3\equiv 1^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4f6924a2fa1125c51129a3be237765865f0f3c)
und
![{\displaystyle 5\equiv 1^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01e70c227d274a4b35e93c8eab002daa9218e0ce)
nach
![{\displaystyle 2^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd7711cd907a2d46557a410fb67fc0d84c52ba3)
sind (3), (5) nach Satz 39 primäre Ideale und mithin folgt
|
|
hieraus entnehmen wir mit Rücksicht auf (14), daß notwendig
und
|
(15)
|
sein muß. In der Tat wird die erstere Gleichung durch die Kongruenz
|
|
bestätigt. Um die letztere Gleichung zu bestätigen, berücksichtigen wir, daß wegen
|
|
und wegen
|
|
nach Satz 1
|
|
ausfällt
Die Zahl
ist in
unzerlegbar und wegen
nach
muß demnach
nach
quadratischer Rest in
sein; in der Tat finden wir
|
.
|
Die Zahlen
,
sind Primzahlen ersten Grades in
mit den Normen 19 bez. 23. Wir erhalten leicht
|
|
Hieraus und aus (13), (14), (15) entnehmen wir die Gleichungen
|
|
Dem Satze 38 zufolge muß daher jedes der beiden betreffenden Primzahlprodukte nach Multiplikation mit einer geeigneten Einheit dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent werden; in der Tat ist
|
|
Beispiel 7. Der durch die
![{\displaystyle 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee716ec61382a6b795092c0edd859d12e64cbba8)
-ten Einheitswurzeln bestimmte Körper ist ein Abelscher Körper
![{\displaystyle 6}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39d81124420a058a7474dfeda48228fb6ee1e253)
-ten Grades mit der Klassenanzahl
![{\displaystyle h=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d5d82ae0a834e0d0b839e2ea7a0f8eac0ee791d)
; derselbe läßt sich aus einem quadratischen und einem kubischen Körper zusammensetzen. Verstehen wir unter
![{\displaystyle \vartheta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d00eaf197c35bbfa391b9477490a4af955416837)
eine von
![{\displaystyle 1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92d98b82a3778f043108d4e20960a9193df57cbf)
verschiedene
![{\displaystyle 7}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ee716ec61382a6b795092c0edd859d12e64cbba8)
-teEinheitswurzel und setzen
|
und ,
|
so wird
|
und .
|
Der Körper
besitzt 8 Einheitenverbände, nämlich diejenigen, welche durch die Einheiten
,
,
,
,
,
,
,
bestimmt sind.
Die Zahlen
,
|
(16)
|
sind Primzahlen ersten Grades in
mit den Normen bez.
|
, .
|
Da überdies nach jenen Primzahlen bez. die Kongruenzen
|
|
gelten, so finden wir leicht
|
|
Nach Definition 16 ist also das Produkt der beiden Primzahlen in (16) ein primäres Ideal des Körpers
, und in der Tat gilt in Bestätigung der Sätze 38 und 39 nach dem Modul (
) die Kongruenz
|
.
|
Die Zahl 37 gestattet die Zerlegung
|
,
|
wobei die beiden Faktoren rechter Hand Primzahlen dritten Grades in
sind. Da dieselben nach dem Modul
kongruent
ausfallen, so stellen sie nach Satz 33 primäre Primideale dar. In Übereinstimmung damit finden wir
|
|
Die Zahl
![{\displaystyle 3}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/991e33c6e207b12546f15bdfee8b5726eafbbb2f)
ist Primzahl in
![{\displaystyle k(\vartheta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c710c7abca0cb59e40be7acfd82e3c06e706b93)
und wegen
![{\displaystyle -3\equiv 1^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fe4f6924a2fa1125c51129a3be237765865f0f3c)
nach
![{\displaystyle 2^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd7711cd907a2d46557a410fb67fc0d84c52ba3)
ist das Ideal
![{\displaystyle (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a0ff45737214013a8e04d59d0de54318086be26a)
nach Satz 33 ein primäres Primideal. In der Tat haben wir
|
|
Die angeführten Beispiele lassen erkennen, welche reiche Mannigfaltigkeit an arithmetischen Wahrheiten insbesondere in den Sätzen 32, 33, 38, 39 enthalten ist – und doch bilden diese Sätze nur Bestandteile des ersten Ergänzungssatzes zu dem später von mir zu entwickelnden allgemeinen Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste. Der vollständige erste Ergänzungssatz wird erst im Satz 53 (§ 36) zum Ausdruck kommen. Endlich erinnern wir daran, daß wir des leichteren Verständnisses wegen in dem zweiten Abschnitte der vorliegenden Abhandlung durchweg über den Grundkörper
die auf Seite 27 angegebenen besonderen Annahmen gemacht haben; wir müssen es uns daher auch an dieser Stelle versagen, mitzuteilen, wie der erste Ergänzungssatz lautet und wie tief derselbe das Wesen des Begriffes der Idealklasse berührt, falls der zugrunde gelegte Körper
eine gerade Klassenanzahl aufweist.
§ 28. Das Produkt
für ein beliebiges
und bei gewissen Annahmen über
.
Für die späteren Entwicklungen ist es erforderlich, den Satz 36 in folgender Weise zu erweitern:
Satz 40. Es seien
,
, …,
die sämtlichen von einander verschiedenen Primfaktoren der Zahl
und es gehe
genau zur
-ten,
genau zur
-ten, …,
genau zur
-ten Potenz in
auf, so daß
|
|
wird; wenn dann
eine beliebige ganze Zahl und
eine solche ganze Zahl in
bedeutet, die zu
prim ist und dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ist, so fällt stets
|
|
aus, wo das Produkt über alle zu
primen Primideale
des Körpers
erstreckt werden soll.
Beweis. Wir setzen
|
,
|
so daß
![{\displaystyle e_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e81caf3d4bcb929315801cbabc83543829484ee)
, …,
![{\displaystyle e_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/237434415c6fd3f47c255a2a07017f94affce732)
gewisse ganze rationale Exponenten und
![{\displaystyle {\mathfrak {n}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fab30f69b7fab337592fdb8b5384bf004f88c574)
ein zu
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
primes Ideal bedeutet. Nach Satz 8 sind die Ideale
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae38e83699ab4855233f0c24e196197def92e60)
, …,
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c396abbb2d6c1cd212961b0dabf4a98965a1251)
sämtlich im Körper
![{\displaystyle K\left({\sqrt {\mu }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1257960ad48be06f73466623a6a3e17146a9d0)
weiter zerlegbar; es seien
![{\displaystyle {\mathfrak {L}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5ba7bc5764129c5839f3ac8209b07da3805a2825)
, …,
![{\displaystyle {\mathfrak {L}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4856504718529b0e470b50bc201b6a4db7cb7ef7)
bez. je ein Primfaktor von
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aae38e83699ab4855233f0c24e196197def92e60)
, …,
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}_{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c396abbb2d6c1cd212961b0dabf4a98965a1251)
in
![{\displaystyle K\left({\sqrt {\mu }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1257960ad48be06f73466623a6a3e17146a9d0)
; endlich sei
![{\displaystyle {\mathsf {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102043e55e1bdbf81aad8c9c1419ba91d44d6755)
eine durch das Ideal
![{\displaystyle {\mathfrak {L}}_{1}^{e_{1}}\ldots {\mathfrak {L}}_{z}^{e_{z}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b14b371a7028f782652420f2872346c8aec7a810)
teilbare ganze Zahl des Körpers
![{\displaystyle K\left({\sqrt {\mu }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1257960ad48be06f73466623a6a3e17146a9d0)
von der Art, daß der Quotient
![{\displaystyle \textstyle {\frac {\mathsf {A}}{{\mathfrak {L}}_{1}^{e_{1}}\cdots {\mathfrak {L}}_{z}^{e_{z}}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58bb2aa5fbb75cd902ff61a86f1092129a8757ec)
zu
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
prim ausfällt. Die Relativnorm
![{\displaystyle \alpha }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b79333175c8b3f0840bfb4ec41b8072c83ea88d3)
der Zahl
![{\displaystyle {\mathsf {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102043e55e1bdbf81aad8c9c1419ba91d44d6755)
erhält dann die Gestalt
|
,
|
wo
ein zu
primes Ideal des Körpers
bedeutet, und es läßt sich infolgedessen der Quotient
als ein Bruch
darstellen, dessen Zähler
und dessen Nenner
ganze zu
prime Zahlen sind. Wegen der Definition 6 ist für jedes Primideal
|
|
und mithin auch
|
,
|
wo
über alle zu
primen Primideale
in
erstreckt werden soll. Berücksichtigen wir ferner, daß nach Satz 36 die Gleichungen
|
|
gelten, so erhalten wir mit Rücksicht auf die zweite Formel in Satz 14
|
,
|
wie der zu beweisende Satz 40 behauptet.
§ 29. Der Fundamentalsatz über die Anzahl der Geschlechter in einem relativquadratischen Körper.
In § 19 haben wir für den Fall, daß die Relativdiskriminante des Körpers
zu
prim ist, den Satz 26 bewiesen und dadurch eine obere Grenze für die Anzahl der Geschlechter in
aufgestellt. Wir sind nunmehr imstande, unter der nämlichen Einschränkung das folgende wichtige Theorem zu beweisen:
Satz 41. Es sei
die Anzahl der Charaktere, welche ein Geschlecht des relativquadratischen Körpers
bestimmen; ist dann ein System von
beliebigen Einheiten
vorgelegt, so wird dieses System dann und nur dann das Charakterensystem eines Geschlechtes in
, wenn das Produkt der sämtlichen
Einheiten gleich
ist. Die Anzahl
der in
vorhandenen Geschlechter ist daher gleich
.
Beweis. Es seien
, …,
die
in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale des Körpers
und man setze
|
, …, ,
|
wo
, …,
gewisse ganze Zahlen in
bedeuten. Es ist offenbar
,
|
(1)
|
wo
eine Einheit und
eine gewisse ganze Zahl in
bedeutet. Ferner wähle man nach der Vorschrift des § 17 von diesen
Primidealen gewisse
aus; es seien dies etwa die Primideale
, …,
. Endlich mögen
, …,
beliebige
Einheiten
bedeuten, die der Bedingung
|
(2)
|
genügen. Wegen Satz 18 gibt es in
gewiß ein primäres Primideal
, für welches
, …, , , …,
|
(3)
|
ausfällt. Es sei
eine Primärzahl von
; dann ist nach Satz 37
|
, .
|
Wegen (1), (2), (3) haben wir
|
,
|
d.h.
zerfällt in
in zwei Primfaktoren. Ein jeder derselben hat wegen
|
, …,
|
im Körper
die Charaktere
|
, …, .
|
Es lassen sich nun die Einheiten
, …,
offenbar auf
Weisen so bestimmen, daß die Bedingung
erfüllt ist. Nach dem eben Bewiesenen gehört zu jedem solchen Systeme von
Einheiten wirklich ein Geschlecht in
, und da die Anzahl
der Geschlechter von
nach Satz 26 auch nicht größer sein kann als
, so ist der Satz 41 hiermit für den Fall bewiesen, daß die Relativdiskriminante des Körpers
zu
prim ausfällt. Den allgemeinen Nachweis des Satzes 41 werden wir erst in § 41 führen.
§ 30. Ein gewisses System von
zu
primen Primidealen des Körpers
.
Wir leiten jetzt einen Satz ab, der im folgenden Paragraphen gebraucht werden wird und der eine Erweiterung des Satzes 29 ist. Dieser Satz lautet: Satz 42. Es mögen
, …,
,
, …,
,
, …,
die Bedeutung wie in Satz 29 haben; ferner werde
|
|
gesetzt, wo
, …,
die voneinander verschiedenen Primfaktoren der Zahl
in
und
, …,
die Potenzexponenten bedeuten, zu denen bez. jene Primideale in der Zahl
aufgehen. Es werde
|
, …,
|
gesetzt, wo
, …,
gewisse ganze Zahlen in
sind; endlich seien
, …,
solche primäre Primideale, daß allemal
|
|
ausfällt, und es seien
, …,
bez. Primärzahlen der primären Primideale
, …,
: dann gilt für jede beliebige zu
prime ganze Zahl
in
eine Kongruenz von der Gestalt
|
|
wo die Exponenten
, …,
,
, …,
,
, …,
gewisse Werte
,
haben und
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet.
Beweis. Wir behandeln zunächst die Annahme, es gäbe
Exponenten
, …,
,
, …,
,
, …,
gewisse Werte
,
haben, aber nicht sämtlich gleich
sind, derart, daß die vermöge dieser Exponenten gebildete Zahl
|
(1)
|
dem Quadrat einer gewissen ganzen Zahl in
nach
kongruent werde. Die Zahl
bestimmt dann offenbar einen relativquadratischen Körper
, und zufolge des Satzes 5 ist die Relativdiskriminante dieses Körpers
prim zu
. Aus dem Beweise zu Satz 29 schließen wir, daß die Exponenten
, …,
,
, …,
im Ausdruck (1) sämtlich gleich
sind. Die Relativdiskriminante von
besitzt demnach mit Rücksicht auf Satz 4 keines der Primideale
, …,
,
, …,
als Faktor, sondern enthält lediglich diejenigen unter den Primidealen
, …,
, für welche in (1) bez. die Exponenten
, …,
gleich
ausfallen; es seien dies etwa die
Primideale
, …,
. Infolge unserer Annahme ist dann notwendig
.
Wir dürfen nunmehr Satz 41 anwenden, da derselbe in § 29 für den hier zutreffenden Fall bewiesen worden ist. Nach diesem Satze gibt es, da hier
ausfällt, im Körper
genau
Geschlechter und das Produkt der sämtlichen Charaktere ist für jedes Geschlecht gleich
. Da
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent sein soll, so zerfällt inbesondere das Primideal
im Körper
in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren sind offenbar
|
|
und da das Produkt derselben gleich
sein soll, so würden wir
|
|
erhalten. Diese Folgerung widerspricht den Voraussetzungen, die wir im Satze 42 über die Primideale
, …,
getroffen haben, und demnach ist unsere zu Anfang dieses Beweises gemachte Annahme zu verwerfen, d. h. irgendein Ausdruck von der Gestalt (1) kann nur dann kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
sein, wenn sämtliche Exponenten
, …,
,
, …,
,
, …,
gleich
sind.
Wir setzen nun zur Abkürzung
|
|
und verstehen unter
|
|
ein volles System von ganzen zu
primen und nach
einander inkongruenten Zahlen in
, die überdies sämtlich kongruent
nach dem Modul
sein sollen. Da allgemein
|
|
ist, so können wir annehmen, es sei etwa stets
|
|
Die
Zahlen
, …,
haben dann offenbar die Eigenschaft, daß weder die Differenz noch die Summe von irgend zwei derselben durch
teilbar wird. Ferner setzen wir zur Abkürzung
|
|
und bilden in der entsprechenden Weise wie oben zunächst das System von
ganzen, zu
primen Zahlen
|
, …, ,
|
die sämtlich kongruent
nach
sind und die Eigenschaft haben, daß weder die Differenz noch die Summe von irgend zwei derselben durch
teilbar wird usf.; endlich bilden wir ein System von
ganzen, zu
primen Zahlen
|
,
|
die sämtlich kongruent
nach
sind und die Eigenschaft haben, daß weder die Differenz noch die Summe von irgend zwei derselben durch
teilbar wird.
Der Ausdruck
,
|
(2)
|
|
|
stellt ein System von
ganzen Zahlen in
dar; diese sind sämtlich zu
prim und nach
einander inkongruent. In der Tat wären zwei Zahlen von der Gestalt (2) einander nach
kongruent, wäre etwa
|
(3)
|
so würde, da die Zahlen
, …,
sämtlich zu
prim sind, aus dem vorhin Bewiesenen sofort folgen, daß die Exponenten
, …,
,
, …,
,
, …,
bez. mit den Exponenten
, …,
,
, …,
,
, …,
übereinstimmen und es wäre mithin
|
|
Aus dieser Kongruenz entnehmen wir der Reihe nach die
Kongruenzen
|
|
Aus der ersten Kongruenz folgt leicht, daß entweder
oder
durch
teilbar sein muß, und deswegen ist notwendigerweise
. Ebenso schließen wir
, …,
, d. h. die beiden Ausdrücke auf der linken und rechten Seite der Kongruenz (3) waren nicht voneinander verschieden. Nun gibt es für den Modul
genau
|
|
zu
prime und untereinander inkongruente Zahlen und mithin bilden die ganzen Zahlen in (2) ein volles Restsystem der genannten Art nach
; dies ist die Aussage des Satzes 42.
§ 31. Eine Eigenschaft gewisser besonderer Ideale des Körpers
.
Wir setzen nunmehr die in § 23 und in § 26 angestellten Untersuchungen über primäre Ideale des Körpers
fort und gelangen zu folgenden Sätzen:
Satz 43. Es sei
ein beliebiges zu
primes Ideal in
von solcher Beschaffenheit, daß die Gleichungen
|
|
gelten: dann ist es stets möglich, in
eine ganze Zahl
zu finden, so daß das Ideal
gleich
wird, und überdies die Zahl
nach dem Modul
dem Quadrat einer ganzen Zahl des Körpers
kongruent wird; hierbei haben
, …,
,
, …,
,
, …,
,
, …,
die Bedeutung wie in Satz 42.
Beweis. Es sei
irgendeine ganze Zahl in
, so daß
wird. Bezeichnen ferner
, …,
,
, …,
,
, …,
,
, …,
dieselben Ideale bez. ganzen Zahlen des Körpers
wie in Satz 42, so ist nach dem dort Bewiesenen jede ganze zu
prime Zahl nach dem Modul
in der Gestalt darstellbar, wie im Satze 42 angegeben worden ist; wir dürfen also insbesondere
|
(1)
|
setzen, wo
eine geeignete Einheit in
,
, …,
,
, …,
gewisse Exponenten
,
und
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet. Da hiernach die Zahl
|
|
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent ausfällt, so erhalten wir nach Satz 40 die Gleichungen
|
(2)
|
wo das Produkt
![{\displaystyle \textstyle \prod \left.\right.^{'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2792e7edf96011ca0ccae30fc203f2ef39b9e9f)
stets über alle zu
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
primen Primideale
![{\displaystyle {\mathfrak {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab40f4f1d73fa42cc8270b9ef7d1257784619595)
des Körpers
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
erstreckt werden soll. Aus den Gleichungen (2) folgt leicht
,
|
(3)
|
|
,
|
,
|
(4)
|
|
.
|
Indem wir die Voraussetzungen des Satzes 43 benutzen, schließen wir aus (3), (4) der Reihe nach, daß die Exponenten
, …,
,
, …,
sämtlich gleich
sind; folglich ist wegen (1) die Zahl
von der im Satze 43 verlangten Art.
Die Umkehrung des Satzes 43 lautet wie folgt:
Satz 44. Wenn
eine zu
prime ganze Zahl in
ist, die dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt, so gelten die Gleichungen
|
|
dabei haben
, …,
,
, …,
,
, …,
,
, …,
die Bedeutung wie in Satz 42.
Den Beweis dieses Satzes gewinnen wir unmittelbar aus Satz 40, indem wir in der Gleichung dieses Satzes 40 für
der Reihe nach die Zahlen
, …,
,
, …,
und für
jedesmal die Zahl
nehmen.
Die Sätze 43 und 44 bilden einen wesentlichen Bestandteil des zweiten Ergänzungssatzes zu dem später aufzustellenden allgemeinen Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste. Es ist eine lohnende Aufgabe, für die Sätze 43 und 44 numerische Beispiele in ähnlicher Weise zu berechnen wie dies in § 27 für die entsprechenden Aussagen des ersten Ergänzungssatzes geschah. Wegen der vielen möglichen Arten der Zerlegung der Zahl
in verschiedenen Körpern
weisen die Aussagen des zweiten Ergänzungssatzes sogar eine noch größere Mannigfaltigkeit an einzelnen arithmetischen Wahrheiten auf als bei Erörterung des ersten Ergänzungssatzes zutage traten.
§ 32. Das Symbol
für irgendwelche zu
primen Zahlen
,
.
Wir sind nunmehr imstande, diejenigen Sätze aufzustellen und zu beweisen, welche den Sätzen 14, 15 entsprechen, wenn man für
ein in
aufgehendes Primideal des Körpers
nimmt. Um dieses Ziel zu erreichen, führen wir ein neues Symbol
ein; dieses Symbol dient uns jedoch nur zum vorübergehenden Gebrauch, da dasselbe sich später als gleichbedeutend mit dem Symbol
herausstellen wird.
Definition 17. Es seien
,
irgendwelche zu
prime ganze Zahlen in
; ferner sei
ein in der Zahl
aufgehendes Primideal des Körpers
, und wir setzen
, wo
einen positiven Potenzexponenten und
ein zu
primes Ideal des Körpers
bedeutet: dann werde das neue Symbol
durch die Gleichung
|
|
definiert; hierin ist
über alle zu
primen Primideale
zu erstrecken, und
soll eine solche zu
prime ganze Zahl in
bedeuten, die den Kongruenzen
|
|
genügt, wo
irgendeine zu
prime ganze Zahl in
sein soll.
In der Tat ist das Symbol
durch diese Festsetzung eindeutig bestimmt.
Ist nämlich
eine ganze Zahl in
, welche den Kongruenzen
|
|
genügt, wobei
irgendeine zu
prime und von
verschiedene ganze Zahl in
darstellt, so bestimme man zwei ganze Zahlen
,
in
, die den Kongruenzen
|
|
genügen: dann erfüllt die Zahl
die Kongruenz
nach
, und folglich erhalten wir nach Satz 36
|
|
mithin ist
|
|
wo das Produkt
![{\displaystyle \textstyle \prod \left.\right.^{'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2792e7edf96011ca0ccae30fc203f2ef39b9e9f)
stets über sämtliche zu
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
primen Primideale
![{\displaystyle {\mathfrak {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab40f4f1d73fa42cc8270b9ef7d1257784619595)
in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
zu erstrecken ist.
Wenn wir die beiden letzten Formeln des Satzes 14 heranziehen, so erhalten wir unmittelbar aus der Definition 17 des Symbols
zwei entsprechende Formeln für dieses neue Symbol; wir drücken diese Tatsache in dem folgenden Satze aus:
Satz 45. (Hilfssatz.) Wenn
,
,
,
,
,
beliebige zu
prime ganze Zahlen des Körpers
sind, so gelten in bezug auf ein jedes in
aufgehende Primideal
die Formeln
|
|
§ 33. Die Übereinstimmung der beiden Symbole
und
für irgendwelche zu
prime Zahlen
,
.
Um die Übereinstimmung der beiden Symbole
und
miteinander zu erkennen, bedienen wir uns der folgenden Entwicklungen:
Satz 46. (Hilfssatz.) Es sei wie in Definition 17
ein Primfaktor von
im Körper
und es gehe
in
genau zur
-ten Potenz auf; ferner sei
eine ganze oder gebrochene Zahl in
, für die eine Kongruenz
|
|
gilt, wobei
eine ganze zu
prime Zahl in
bedeutet: dann kann stets auch für jede Potenz
mit höherem Exponenten
eine ganze Zahl
in
gefunden werden, welche der Kongruenz
|
|
genügt.
Beweis. Nehmen wir an, es sei für die Potenz
eine Zahl
von der verlangten Beschaffenheit bereits gefunden, so gelangen wir zu einer Zahl
für die Potenz
auf diese Weise. Wir wählen zunächst eine ganze Zahl
in
, welche durch
, aber nicht durch
teilbar ist, und setzen
|
,
|
worin
noch eine zu bestimmende ganze Zahl in
sei. Aus der Kongruenz
|
|
erhalten wir
|
|
und bestimmen wir sodann
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
aus der Kongruenz
|
,
|
so ist
eine Zahl von der verlangten Beschaffenheit; damit haben wir den Beweis für den Satz 46 erbracht.
Satz 47. (Hilfssatz.) Es sei
ein Primfaktor von
in
und es gehe
in
genau zur
-ten Potenz auf: wenn dann
,
,
,
irgendwelche zu
prime ganze Zahlen in
sind, derart, daß die Brüche
und
den Quadraten gewisser ganzen Zahlen in
nach
kongruent ausfallen, so ist stets
|
.
|
Beweis. Wir nehmen an, es sei
nicht das Quadrat einer Zahl in
und
im Körper
Normenrest nach
; wir verstehen dann unter
irgendeinen Exponenten und unter
eine solche ganze Zahl in
, daß
nach
wird. Da
und mithin auch
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ist, so muß nach Satz 46 auch für jeden beliebigen Exponenten
eine ganze Zahl
in
existieren, deren Quadrat dem Bruche
kongruent nach
ausfällt; wir haben somit
|
(1)
|
d. h.
ist im Körper
Normenrest nach
.
Wir setzen nun
;
|
(2)
|
hierin seien
,
,
gewisse ganze Zahlen in
und es gehe
in
genau zur
-ten Potenz auf. Wegen der über
gemachten Voraussetzung können wir nach Satz 46 eine Zahl
finden, so daß
, d.h.
|
(3)
|
ausfällt. Aus (1), (2), (3) erhalten wir dann
.
|
(4)
|
Stellt nun
irgendeine zu
prime und durch
teilbare Zahl in
dar, so ist
|
|
gewiß eine ganze Zahl in
, da offenbar Summe und Produkt dieser Zahl
und ihrer relativkonjugierten Zahl
ganze Zahlen in
sind. Bei Benutzung von (4) folgt
|
|
und da
![{\displaystyle \delta }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c5321cfa797202b3e1f8620663ff43c4660ea03a)
zu
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
prim ist, so erweist sich mithin
![{\displaystyle \nu _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/20157e640b69bcfc79a73194f1e80dbb456ab254)
als Normenrest des Körpers
![{\displaystyle K\left({\sqrt {\mu _{2}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5ff060f79d7b5eb794c6ad9a6de1d53abb66907)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
.
Wir haben also bewiesen, daß allemal, wenn
ist, auch
sein muß. Da nun aus denselben Gründen umgekehrt aus
, wenn
nicht das Quadrat einer Zahl in
ist, allemal auch
gefolgert werden kann, so ist damit die Richtigkeit des Satzes 47 für den Fall gezeigt, daß keine der beiden Zahlen
,
das Quadrat einer Zahl in
ist.
Nehmen wir an, es sei eine jener beiden Zahlen, etwa die Zahl
, dagegen nicht
das Quadrat einer ganzen Zahl in
, so ist nach Definition 6
, und die Voraussetzung des zu beweisenden Satzes 47 fordert dann, daß
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
sein muß; wir wollen im folgenden den Nachweis dafür führen, daß in diesem Falle auch stets
ausfällt.
Zu dem Zwecke bezeichnen wir wie in Satz 40 mit
,
, …,
die sämtlichen voneinander verschiedenen in
aufgehenden Primideale, und es möge ferner allgemein
genau zur
-ten Potenz in
aufgehen, so daß
|
|
wird; wir nehmen
und setzen
. Sodann bestimmen wir eine ganze Zahl
in
, welche den Kongruenzen
|
(5)
|
genügt und, nachdem dies geschehen, ein Primideal
in
, für welches die Gleichungen
|
(6)
|
gelten; hierbei sollen
, …,
,
, …,
die Bedeutung wie in Satz 42 haben. Da wegen (6)
|
|
wird, so können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl
derart bestimmen, daß das Ideal (
) gleich
ist und überdies die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt. Wir setzen
und haben dann
.
Nunmehr bestimmen wir in
ein Primideal
, für welches die Gleichungen
|
(7)
|
gelten. Indem wir wie vorhin verfahren, können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl
derart bestimmen, daß das Ideal
wird und überdies die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent ausfällt; wir setzen
und haben dann
.
Indem wir die Beschaffenheit der Zahlen
,
berücksichtigen und den Satz 47 für den oben bereits behandelten Fall anwenden, erhalten wir
.
|
(8)
|
Wir betrachten jetzt den Körpers
und werden beweisen, daß
gleich der Relativnorm einer solchen Zahl dieses Körpers
ist, deren Nenner prim zu
ausfällt. Wegen der Kongruenzen (5) ist
und folglich auch
gewiß dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent; infolgedessen enthält die Relativdiskriminante des Körpers
nach Satz 4 und 5 nur den einen Primfaktor
. Wenn wir die am Schlusse von § 15 gemachte Bemerkung auf diesen Körper
anwenden und demgemäß
nehmen, so wird aus der dort aufgestellten Ungleichung die folgende
|
,
|
und da
offenbar nicht größer als
sein kann, so ist hier notwendig
, d. h. jede Einheit in
ist die Relativnorm einer Einheit in
. Die im Satze 23 mit
bezeichnete Anzahl hat ihrer Bedeutung nach mindestens den Wert
und ist daher ebenfalls gleich
; der Satz 23 lehrt dann, daß die Anzahl aller ambigen Komplexe im Körper
gleich
ist, d. h. im Körper
ist der einzige ambige Komplex der Hauptkomplex.
Aus der soeben festgestellten Tatsache erkennen wir leicht, daß die Klassenanzahl
des Körpers
notwendig ungerade ausfallen muß. Im entgegengesetzten Falle gäbe es nämlich in
ein Ideal
, so daß
|
|
wäre. Dieses Ideal
![{\displaystyle {\mathfrak {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053e06f583204663ebbc8f8a8638796cef973a61)
könnte nun nicht dem Hauptkomplex angehören; denn wäre
![{\displaystyle {\mathfrak {J}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/053e06f583204663ebbc8f8a8638796cef973a61)
einem Ideale
![{\displaystyle {\mathfrak {j}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/dff699e0ba09fdb82d306b5416d0ece10796cbf8)
in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
äquivalent, so müßte
|
|
sein und aus dieser Äquivalenz würde, da
eine ungerade Zakl ist, sofort
folgen, was nicht der Fall sein sollte. Andererseits ist, wenn
gesetzt wird,
und mithin würde das Ideal
im Körper
einen ambigen Komplex bestimmen, welcher von dem Hauptkomplexe verschieden wäre; dies widerspräche der vorhin bewiesenen Tatsache.
Wegen der Gleichung (7) zerfällt das Ideal
im Körper
; es sei
einer der beiden Primfaktoren von
. Setzen wir
, so daß
eine ganze Zahl des Körpers
bezeichnet, so folgt, daß das Hauptideal
gleich der Relativnorm des Hauptideals (
) wird, und mithin ist
|
|
wenn
eine geeignete Einheit in
bezeichnet. Da aber nach dem vorhin Bewiesenen eine jede Einheit in
die Relativnorm einer Einheit in
ist, so ist auch
die Relativnorm einer ganzen Zahl
in
; folglich ist
die Relativnorm der Zahl
, und der Nenner dieses Bruches fällt prim zu
aus. Hieraus folgt leicht nach Definition 6
und mithin wegen (8) auch
; hiermit ist der Beweis für den Satz 47 im gegenwärtigen Falle erbracht.
Nehmen wir endlich an, es sei jede der beiden Zahlen
,
das Quadrat einer ganzen Zahl in
, so ergibt sich nach der Definition 6 für die beiden Symbole
,
stets der Wert
und damit ist der Satz 47 vollständig bewiesen.
Satz 48. (Hilfssatz.) Es sei
ein in
aufgehendes Primideal und ferner seien
,
beliebige zu
prime ganze Zahlen in
: wenn dann
ausfällt, so ist auch stets
.
Beweis. Wir bezeichnen wie in Satz 40 mit
,
, …,
die
voneinander verschiedenen in
aufgehenden Primideale und es möge allgemein
genau zur
-ten Potenz in
aufgehen, so daß
|
|
wird. Nehmen wir sodann
und setzen
,
, so haben wir
|
,
|
wo
ein durch
nicht teilbares Ideal bedeutet.
Es sei nun
eine ganze den Kongruenzen
|
|
genügende Zahl des Körpers
; wir bestimmen dann zunächst ein Primideal
in
derart, daß die Gleichungen
|
|
gelten; hierbei sollen
, …,
,
, …,
die Bedeutung wie in Satz 42 haben. Da folglich
|
|
wird, so können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl
derart bestimmen, daß das Ideal (
) gleich
wird und überdies die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent ausfällt; wir setzen
und haben dann
.
Andererseits bestimmen wir ein Primideal
derart, daß die Gleichungen
|
(1)
|
gelten. Indem wir wie vorhin verfahren, können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl
derart bestimmen, daß das Ideal (
) gleich
wird und überdies die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent ausfällt; wir setzen
und haben dann
.
Zufolge Satz 40 haben wir
|
|
wo die Produkte
über sämtliche zu
primen Primideale
des Körpers
erstreckt werden sollen; mit Rücksicht auf die Definition 17 ergibt sich hieraus
|
|
und folglich bei Benutzung der Formeln des Satzes 45
|
|
und
|
.
|
Somit erhalten wir schließlich
|
|
und infolge der Voraussetzung des Satzes 48 ist daher
.
|
(2)
|
Da
und folglich auch die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent ist, so nimmt mit Rücksicht auf die Definition 17 die Gleichung (2) die Gestalt
|
|
an, und hieraus schließen wir wegen (1), daß notwendig
|
(3)
|
ausfallen muß.
Wir betrachten jetzt den Körper
und werden beweisen, daß
stets gleich der Relativnorm einer solchen Zahl dieses Körpers
ist, deren Nenner prim zu
ausfällt. Zu dem Zwecke unterscheiden wir folgende drei Fälle:
Erstens nehmen wir an, es sei das Primideal
primär und
eine Primärzahl von
. Die Relativdiskriminante des Körpers
enthält dann nur den einen Primfaktor
, und wir können in diesem Falle genau wie im zweiten Teile des Beweises zu Satz 47 zeigen, daß
die Relativnorm einer Zahl des Körpers
ist, deren Nenner zu
prim ausfällt.
Nehmen wir zweitens an, es sei
ein primäres Primideal; dagegen sei
nicht eine Primärzahl von
, sondern es sei vielmehr
, wobei
eine Primärzahl von
und
eine Einheit in
bedeutet, welche nicht gleich dem Quadrat einer Einheit in
ausfällt. Die Relativdiskriminante des Körpers
enthält, da
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ist, wegen Satz 4 lediglich die beiden Primideale
und
. Setzen wir in Satz 23
ein, so folgt aus demselben wegen
die Ungleichung
, d. h. die Anzahl
aller ambigen Komplexe des Körpers
ist höchstens gleich
.
Es sei nun
irgendein Ideal in
und
die Relativnorm von
; wir setzen ferner
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet: fällt dann
aus, so bezeichnen wir denjenigen Komplex des Körpers
, zu welchem
gehört, als einen Komplex des Hauptgeschlechtes in
. Wir können leicht beweisen, daß nicht sämtliche Komplexe in
Komplexe des Hauptgeschlechtes sind. Es sei nämlich
ein Primideal
in
, für welches
|
und
|
ausfällt. Wegen der ersteren Gleichung ist
in
weiter zerlegbar; es bedeute
einen Primfaktor von
in
. Wird
gesetzt, wo
eine ganze Zahl in
darstellt, so erhalten wir nach Satz 37
|
,
|
und diese Gleichung zeigt, daß der durch
bestimmte Komplex in
nicht ein Komplex des Hauptgeschlechtes ist.
Wir bezeichnen nun mit
die Anzahl derjenigen Komplexe in
, welche Quadrate von Komplexen in
sind, und mit
die Anzahl aller Komplexe des Hauptgeschlechtes in
; dann erkennen wir genau wie im Beweise zu Satz 25 die Richtigkeit der Gleichung
.
|
(4)
|
Aus dieser Gleichung folgt wegen
die Ungleichung
. Da ferner jedes Quadrat eines Komplexes notwendig ein Komplex des Hauptgeschlechtes sein muß, so ist auch
und mithin haben wir
, d. h. jeder Komplex des Hauptgeschlechtes ist gleich dem Quadrat eines Komplexes. Aus
folgt ferner wegen (4) zugleich
und
; mit Rücksicht auf Satz 23 entnehmen wir hieraus
, d. h. jede Einheit des Körpers
ist gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers
.
Um nun zu zeigen, daß
gleich der Relativnorm einer Zahl in
ist, bedenken wir, daß wegen (1) das Primideal
in
weiter zerlegbar ist; die Gleichung (3) zeigt sodann, daß jedes in
enthaltene Primideal
des Körpers
einem Komplex des Hauptgeschlechtes angehört, und da nach dem vorhin Bewiesenen jeder solche Komplex gleich dem Quadrat eines Komplexes ist, so genügt das Ideal
einer Gleichung von der Gestalt
|
,
|
wobei
ein Ideal in
,
eine Zahl in
und
ein Ideal in
bedeutet. Bilden wir nun auf beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm und erheben sie dann in die
-te Potenz, so entsteht eine Gleichung von der Gestalt
|
,
|
wobei
eine geeignete ganze Zahl in
ist und aus dieser Gleichung entnehmen wir die Gleichung
|
|
wo
eine Einheit in
bedeutet. Da nach dem vorhin Bewiesenen jede Einheit in
die Relativnorm einer Zahl in
ist, so zeigt die letzte Gleichung, daß auch
die Relativnorm einer gewissen Zahl in
sein muß. Durch eine einfache Betrachtung erkennen wir sodann, daß
sich jedenfalls auch als Relativnorm einer solchen Zahl muß darstellen lassen, deren Nenner zu
prim ist.
Wir nehmen drittens an, es wäre
ein nichtprimäres Primideal in
und
eine Einheit, für welche
wird. In diesem Falle kann
sicher nicht die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl in
sein; es ist mithin die in Satz 23 mit
bezeichnete Anzahl hier
. Da
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent wird, so ist die Relativdiskriminante des Körpers
nach Satz 4 prim zu
und enthält daher wiederum nur die beiden Primfaktoren
und
. Setzen wir in Satz 23
ein, so folgt aus demselben wegen
die Ungleichung
, d. h. es ist
und
. Es machen nun die Gesamtheit aller Einheiten
, für welche
ausfällt, offenbar genau
Einheitenverbände des Körpers
aus und da diejenigen
Verbände von Einheiten
, für welche
ausfällt, gewiß nicht Einheiten enthalten dürfen, die Relativnormen von Zahlen sind, so folgt, daß alle Einheiten
mit der Eigenschaft
notwendig Relativnormen von Zahlen des Körpers
sind.
Aus der Gleichung
folgt ferner, daß im Körper
der einzige ambige Komplex der Hauptkomplex ist und hieraus schließen wir, wie im zweiten Teil des Beweises zu Satz 47, daß die Klassenanzahl
des Körpers
notwendig ungerade sein muß. Auch erkennen wir, wie dort, daß, wenn
eine geeignete Einheit in
bezeichnet, die Zahl
gleich der Relativnorm einer gewissen ganzen Zahl in
sein muß. Infolgedessen besteht die Gleichung
|
|
wegen (3) muß hiernach auch
sein, und nach dem Vorigen ist mithin
die Relativnorm einer Zahl in
Hieraus schließen wir, daß auch
die Relativnorm einer Zahl in
sein muß und folglich ist
die Relativnorm einer Zahl in
und insbesondere auch einer solchen Zahl, deren Nenner zu
prim ist.
In allen drei soeben behandelten Fällen ist mithin nach Definition 6 gewiß
|
.
|
Wir hatten nun zu Beginn des Beweises
und sodann
als ganze Zahlen in
derart bestimmt, daß sie Quadraten ganzer Zahlen in
nach
kongruent ausfielen. Da ferner
nach
ist, so folgt nach Satz 47
|
;
|
damit ist der Satz 48 vollständig bewiesen.
Satz 49. (Hilfssatz.) Es sei
ein in
aufgehendes Primideal und ferner seien
,
beliebige zu
prime ganze Zahlen in
: wenn dann
ausfällt, so ist auch stets
.
Beweis. Wir wenden die am Anfang des Beweises zu Satz 48 erläuterten Bezeichnungen an und bestimmen eine ganze Zahl
, welche den Kongruenzen
|
|
genügt und nicht zugleich das Quadrat einer ganzen Zahl in
ist; dann haben wir wegen Satz 47
|
|
infolgedessen gibt es gewisse ganze Zahlen
, …,
im Körper
derart, daß
|
|
ausfällt. Wenn wir daher eine ganze Zahl
in
bestimmen, die zugleich den
Kongruenzen
|
|
genügt, so wird auch
|
|
und vermöge des Satzes 36 schließen wir hieraus leicht
|
|
wo die Produkte
![{\displaystyle \textstyle \prod \left.\right.^{'}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c2792e7edf96011ca0ccae30fc203f2ef39b9e9f)
über alle zu
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
primen Primideale
![{\displaystyle {\mathfrak {w}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab40f4f1d73fa42cc8270b9ef7d1257784619595)
in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
zu erstrecken sind; nach der Definition 17 ist das Produkt linker Hand gleich
![{\displaystyle \textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79fb22b67cef1710097a07213aee3f6219fd3b83)
. Da nun nach Definition 6 sämtliche Faktoren des Produktes rechter Hand den Wert
![{\displaystyle +1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04cf05c67d41d9f39dabf6a90722ce860a76958)
haben, so folgt
![{\displaystyle \textstyle \left({\frac {\underline {\nu ,\,\mu }}{\mathfrak {l}}}\right)=+1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/051ba667260e5fd40c55c4e34426fc2926f96a9d)
, womit der Satz 49 vollständig bewiesen ist. Die beiden Sätze 48 und 49 zusammengenommen ergeben das folgende Resultat:
Satz 50. (Hilfssatz.) Wenn
irgendein in
aufgehendes Primideal und ferner
,
irgendwelche zu
prime ganze Zahlen in
bedeuten, dann gilt stets die Gleichung
|
.
|
§ 34. Die Eigenschaften des Symbols für
für irgendwelche zu
prime ganze Zahlen
,
.
Mit Hilfe des Satzes 50 können wir die wichtige Tatsache beweisen, daß die in Satz 14 aufgestellten Formeln auch für jedes in
aufgehende Primideal
gültig sind. Wir sprechen den Satz aus:
Satz 51. Wenn
,
,
,
,
,
beliebige zu
prime ganze Zahlen in
sind, so gelten in bezug auf jedes in
aufgehende Primideal
des Körpers
die Formeln
|
|
Beweis. Es mögen
und
die Bedeutung wie in Definition 17 haben. Um die erste Formel des Satzes 51 zu beweisen, bestimmen wir zwei ganze Zahlen
,
in
von der Art, daß
|
|
wird. Nach Satz 47 ist dann
|
|
und folglich wegen Satz 50 auch
|
(1)
|
Nun ist nach Definition 17
|
(2)
|
und da nach der ersten Formel in Satz 14 für jedes zu
prime Primideal
|
|
ausfällt, so folgt aus (2) auch
|
|
und daher wegen (1) auch
|
|
diese Gleichung lehrt mit Rücksicht auf Satz 50 die Richtigkeit der ersten Formeln des zu beweisenden Satzes 51.
Die beiden letzten Formeln des Satzes 51 folgen unmittelbar aus den Sätzen 45 und 50.
§ 35. Das Produkt
für irgendwelche zu 2 prime Zahlen
,
.
Wir sind nunmehr imstande, einen Satz zu beweisen, der eine wesentliche Verallgemeinerung des Satzes 36 darstellt.
Satz 52. Wenn
,
irgendwelche zu
prime ganze Zahlen in
sind, so ist stets
|
,
|
wo das Produkt über sämtliche Primideale
des Körpers
erstreckt werden soll.
Beweis. Wir wenden die in Satz 40 erläuterten Bezeichnungen an und bestimmen
ganze Zahlen
,
, …,
in
, so daß die Kongruenzen
|
(1)
|
gelten; dann genügt offenbar das Produkt dieser
Zahlen der Kongruenz
.
|
(2)
|
Die Definition 17 liefert mit Rücksicht auf die Kongruenzen (1) die Gleichungen
|
,
|
und wegen Satz 50 folgt hieraus das weitere System von
![{\displaystyle z}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf368e72c009decd9b6686ee84a375632e11de98)
Gleichungen
|
(3)
|
dabei ist das Produkt
über alle zu
primen Primideale
in
zu erstrecken. Multiplizieren wir die
Gleichungen (3) miteinander, so entsteht die Gleichung
|
|
und durch Multiplikation mit
erhalten wir hieraus die Gleichung
|
(4)
|
wo rechter Hand das Produkt
über alle zu
primen Primideale
, dagegen linker Hand das Produkt
über sämtliche Primideale
in
genommen werden soll. Nun wird wegen der Kongruenz (2) die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
kongruent nach
und folglich ist gemäß Satz 36 die rechte Seite von (4) gleich
; damit ist der Beweis für Satz 52 erbracht.
§ 36. Der erste Ergänzungssatz und das allgemeine Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste.
Wir heben einige besonders wichtige Folgerungen des Satzes 52 hervor.
Satz 53. Es seien
,
, …,
die in
aufgehenden Primideale des Körpers
und
bedeute irgendeine Einheit in
; ferner sei
ein zu
primes Primideal und
eine ganze Zahl in
, so daß
ausfällt: dann gilt stets die Gleichung
|
|
Dieser Satz 53 heiße der erste Ergänzungssatz zum allgemeinen Reziprozitätsgesetze für quadratische Reste im Körper
.
Satz 54. Es seien
,
, …,
die in
aufgehenden Primideale des Körpers
; ferner seien
,
irgend zwei zu
prime Primideale und
,
ganze Zahlen in
, so daß
,
wird: dann gilt die Gleichung
|
|
Der Satz 54 heiße das allgemeine Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste im Körper
.
Wir können die Sätze 53 und 54 unmittelbar aus Satz 52 herleiten, indem wir in Satz 52 zunächst
,
und dann
,
wählen.
§ 37. Das Symbol
für beliebige ganze Zahlen
,
.
Wir dehnen nunmehr die Bedeutung des in Definition 17 eingeführten Symbols
auf den Fall aus, daß
,
beliebige ganze Zahlen in
sind; das so verallgemeinerte Symbol wird sich wiederum als gleichbedeutend mit dem allgemeinen Symbol
erweisen.
Definition 18. Es seien wie bisher
,
, …,
die voneinander verschiedenen Primfaktoren von
und es gehe das Primideal
genau zur
-ten, ferner gehen die Primideale
, …,
bez. zur
, …,
-ten Potenz in
auf; endlich seien
,
beliebige ganze Zahlen in
und es gehe in
genau die
-te Potenz von
auf: dann wird das Symbol
durch die Gleichung
|
|
definiert; hierin ist das Produkt
über alle zu
primen Primideale
zu
erstrecken und
soll eine solche ganze Zahl sein, die den Kongruenzen
|
|
genügt, wo
irgendeine ganze zu
,
, …,
prime Zahl in
bedeutet.
Wir zeigen wie in § 32, indem wir statt des dort benutzten Satzes 36 nunmehr den Satz 40 anwenden, daß das Symbol
durch die getroffenen Festsetzungen eindeutig bestimmt ist.
Aus der Definition 18 entnehmen wir leicht mit Benutzung der beiden letzten Formeln in Satz 14 die folgende dem Satz 45 entsprechende Tatsache:
Satz 55. (Hilfssatz). Wenn
,
,
,
,
,
beliebige ganze Zahlen in
sind, so gelten in bezug auf ein jedes in
aufgehende Primideal
die Formeln
|
|
§ 38. Die Übereinstimmung der beiden Symbole
und
für beliebige ganze Zahlen
,
.
Um die Übereinstimmung der beiden Symbole
und
für beliebige ganze Zahlen
,
zu erkennen, bedienen wir uns der folgenden Entwicklungen:
Satz 56. (Hilfssatz). Es sei
ein Primfaktor von
im Körper
und es gehe
in
genau zur
-ten Potenz auf; ferner seien
,
,
,
ganze Zahlen in
und es gehe in diesen Zahlen das Primideal
bez. genau zur
,
,
,
-ten Potenz auf, wobei
,
ausfallen möge: wenn es dann in
gewisse ganze Zahlen
,
gibt, für welche die Kongruenzen
|
|
gelten, so ist stets
|
.
|
Den Beweis dieses Hilfssatzes führen wir leicht, indem wir uns der nämlichen Schlüsse wie beim Beweise des entsprechenden Satzes 47 bedienen.
Satz 57. (Hilfssatz.) Es sei
ein in
aufgehendes Primideal des Körpers
und ferner seien
,
beliebige ganze Zahlen (
) in
: wenn dann
ausfällt, so ist auch stets
.
Beweis. Wir benutzen die in Definition 18 erläuterten Bezeichnungen. Es sind zwei Fälle gesondert zu behandeln, je nachdem der Exponent
, zu dem
in
aufgeht, gerade oder ungerade ausfällt.
Im ersteren Falle bezeichnen wir mit
irgendeine durch
, aber durch keine höhere Potenz von
teilbare und zu
,
, …,
prime ganze Zahl in
und bestimmen dann eine ganze Zahl
in
derart, daß sie die Kongruenzen
|
(1)
|
erfüllt und nicht zugleich das Quadrat einer Zahl in
ist; es ist dann
eine zu
prime Zahl und nach Definition 18 wird
|
,
|
wo die Produkte
über alle zu
primen Primideale
in
zu erstrecken sind. Wegen der Voraussetzung des Satzes 57 haben wir mithin
.
|
(2)
|
Wir wollen nun aus (2) beweisen, daß der Exponent
, zu dem
in
aufgeht, sicher dann gerade ausfallen muß, wenn das Ideal
des Körpers
auch in
Primideal bleibt. Zu dem Zwecke nehmen wir an, es bliebe
in
Primideal. Wir bestimmen sodann ein Primideal
, für welches die Gleichungen
,
|
(3)
|
,
|
(4)
|
erfüllt sind, wobei
![{\displaystyle \varepsilon _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e900f9bee793f99d10877ef108da074cbca60ce)
,
![{\displaystyle \varepsilon _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/453175f483471f03e90376edf8b31faeccd83e28)
, …,
![{\displaystyle \varepsilon _{\frac {m}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54b0ba0748163fcb7fb777486fbf5a5ed41481e3)
,
![{\displaystyle \lambda _{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/571a423bece8f29bcd1b48572f18dd4f6213dce2)
,
![{\displaystyle \lambda _{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6b668a1bd1e8ab9452ca975b7497546e7c1ba187)
, …,
![{\displaystyle \lambda _{z}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36955ad9101bdc52d97cfda4cb6b237cca842310)
die in Satz42 erklärte Bedeutung haben mögen. Da
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
im Körper
![{\displaystyle K\left({\sqrt {\mu ^{*}}}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c8d7d8bd1ff9c80613933e6b3df69055f4111ae)
unzerlegbar sein soll, so ist nach Satz 4 und 6
![{\displaystyle \mu ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/670d0d4db6668c13d249c92fb99c34d2a9f236f7)
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
nach dem Modul
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}_{1}^{2l}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fd8af4b78910d6ec7b7c51b3090bc4555258dece)
und folglich wegen (1) auch nach
![{\displaystyle 2^{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/efd7711cd907a2d46557a410fb67fc0d84c52ba3)
; mithin gelten nach Satz 39 die Gleichungen
|
|
und wegen (3) ist daher
ein primäres Primideal. Bezeichnet
eine Primärzahl von
, so ist, wie man aus (3), (4) vermöge Satz 43 unter Hinzuziehung von Satz 28 erkennt,
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent; es ist folglich wegen (1)
gewiß dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent und nach Satz 8 zerfällt daher jedes der Primideale
,
, …,
im Körper
in zwei Primfaktoren. Im Beweise zu Satz 34 ist gezeigt worden, daß alle Ideale des Körpers
dem Hauptgeschlechte angehören. Die Charaktere der in
,
, …,
enthaltenen Primfaktoren des Körpers
müssen somit sämtlich
sein, d. h. es gelten die Gleichungen
|
|
Würde nun auch
ausfallen, so müßte nach Satz 43 die Primärzahl
und folglich auch die Zahl
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
sein und dann zerfiele nach Satz 8 das Primideal
im Körper
in zwei Primfaktoren, was unserer Annahme entgegen ist. Es ist mithin notwendigerweise
|
(5)
|
Nunmehr setzen wir
|
,
|
so daß
prim zu
ist und
, …,
gewisse ganze rationale Exponenten bedeuten; es folgt dann
|
,
|
wobei
eine zu
prime ganze Zahl in
darstellt. Nach Satz 40 haben wir
|
|
Ferner ist mit Rücksicht auf (2)
|
;
|
es wird daher
.
|
(6)
|
Andererseits erhalten wir, da nach Satz 36
|
|
ausfällt, die Gleichung
|
|
wegen (5) und (6) entnehmen wir hieraus
|
,
|
d. h.
ist eine gerade Zahl.
Damit ist unsere Behauptung bewiesen und es muß mithin entweder das Primideal
des Körpers
in
weiter zerlegbar sein oder der Exponent
, zu dem
in
aufgeht, gerade ausfallen. In beiden Fällen aber kann, wie leicht ersichtlich, eine ganze Zahl
im Körper
gefunden werden, derart, daß
einem Bruche
wird, dessen Zähler
und dessen Nenner
zu
prim ausfallen, und aus (2) schließen wir dann
|
.
|
Diese Gleichung erhält mit Rücksicht auf die Definition 17 die Gestalt
|
|
und folglich ist nach Satz 50 auch
|
,
|
d. h.
ist Normenrest im Körper
nach
und folglich ist wegen Satz 56 auch
. Damit ist der Satz 57 in dem Falle bewiesen, daß der Exponent
gerade ausfällt.
Wir machen zweitens die Annahme, daß der Exponent
ungerade ist und benutzen wiederum die Bezeichnungen wie in Satz 42. Wir bestimmen dann eine ganze zu
prime Zahl
in
, für welche die Kongruenzen
|
|
bestehen. Es sei ferner
ein Primideal in
, welches den Bedingungen
|
|
|
|
genügt. Mit Rücksicht auf Satz 43 gibt es dann in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
eine ganze Zahl
![{\displaystyle \pi ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f44ad69ec033a9a86437b2edaf620ea0b2c3f494)
derart, daß das Hauptideal
![{\displaystyle (\pi ^{*})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8ffca37fe1fffa366d202cded25b3a53bdf0bb4f)
gleich
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}^{h}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fecb731d6396ce6ba4f01290625ad086510d5b6e)
wird und das Produkt
![{\displaystyle \pi ^{*}\mu ^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a78559f4d6a0efe1c7b9770edde0288ee6376702)
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}_{1}^{2l_{1}+1}\ldots {\mathfrak {l}}_{z}^{2l_{z}+1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/17e79b06bac7dee98ce433cd049b1d7e2fb78021)
ausfällt. Ferner läßt sich, wie leicht mit Rücksicht auf Satz 4, 6 und 8 ersichtlich ist, im Körper
![{\displaystyle K({\sqrt {\lambda _{1}\mu ^{*}}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b6cacd75b04b341494bbeefca1dcd4dc179a13ea)
gewiß eine Zahl
![{\displaystyle {\mathsf {A}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/102043e55e1bdbf81aad8c9c1419ba91d44d6755)
finden, so daß
![{\displaystyle \textstyle {\frac {\nu }{N({\mathsf {A}})}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c67981db7ca55f875afa421c30b17005ee9e5a74)
gleich einem Bruche
![{\displaystyle \textstyle {\frac {\varrho }{\sigma }}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa731d3cceac29595642c55643264878be242689)
wird, dessen Zähler
![{\displaystyle \varrho }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ef8582f3ad9ff59a6a98996548dc156de87d7c0)
und dessen Nenner
![{\displaystyle \sigma }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59f59b7c3e6fdb1d0365a494b81fb9a696138c36)
zu 2 prim ausfallen. Endlich werde ein Primideal
![{\displaystyle {\mathfrak {q}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b0448036d3f2e513dd80d94095c45d81510269)
in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
bestimmt, welches den Bedingungen
|
(7)
|
genügt. Mit Rücksicht auf Satz 43 gibt es dann in
eine ganze Zahl
derart, daß
und zugleich
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
ausfällt.
Wir haben nun auf Grund von Definition 18
|
|
ferner ist
|
.
|
Endlich folgt bei Anwendung der Sätze 36 und 40
|
|
und wegen der Voraussetzung des Satzes 57 haben wir mithin
|
,
|
d. h. es ist
|
|
und wegen (7) wird also auch
.
|
(8)
|
Wir betrachten nunmehr den Körper
und bedienen uns dann zum Beweise des Satzes 57 der nämlichen Schlußweise, welche wir beim Beweise des Satzes 48 angewandt haben. Aus (7) folgt, daß das Primideal
des Körpers
in
stets weiter zerlegbar ist. Wir unterscheiden ferner im folgenden zwei Fälle, je nachdem
ein nichtprimäres oder ein primäres Primideal ist.
Im ersteren Falle erweist sich durch eine ähnliche Betrachtung, wie sie im dritten Teile des Beweises zu Satz 48 (S. 462) angestellt wurde, die Klassenanzahl des Körpers
als ungerade und es folgt hieraus mit Hinzuziehung von (8) wie in dem eben genannten Beweise, daß
die Relativnorm einer Zahl in
ist.
Im zweiten Falle verteilen wir ähnlich wie im zweiten Teile des Beweises zu Satz 48 (S. 460–462) die Komplexe des Körpers
in zwei Geschlechter und zeigen dann, wie dort, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes gleich dem Quadrat eines Komplexes wird. Berücksichtigen wir, daß wegen (8) jedes durch Zerlegung von
entstehende Primideal in
dem Hauptgeschlechte angehört, so folgt wiederum, daß
die Relativnorm einer Zahl in
ist.
In beiden vorhin unterschiedenen Fällen erhalten wir mithin
|
|
und da die Zahlen
und
Quadraten von ganzen Zahlen in
nach
kongruent ausfallen, so folgt auf Grund des Satzes 56 schließlich auch
|
.
|
Hiermit ist Satz 57 bewiesen.
Satz 58. (Hilfssatz.) Es sei
ein in
aufgehendes Primideal in
und ferner seien
beliebige ganze Zahlen
in
: wenn dann
ausfällt, so ist auch stets
.
Beweis. Wir benutzen die in Definition 18 erläuterten Bezeichnungen und bestimmen eine ganze Zahl
, welche den Kongruenzen
|
|
genügt und nicht zugleich das Quadrat einer ganzen Zahl in
ist; dann haben wir nach Satz 56
|
(9)
|
Es mögen nun in der Zahl
die Primideale
, …,
bez. genau zur
, …,
-ten Potenz aufgehen; infolge der Gleichungen (9) gibt es gewisse Zahlen
, …,
im Körper
derart, daß
|
|
ausfällt. Wenn wir ähnlich wie im Beweise zu Satz 49 aus den Zahlen
, …,
eine Zahl
konstruieren und dann in entsprechender Weise wie am genannten Ort verfahren, so erkennen wir ohne Schwierigkeit die Richtigkeit des Satzes 58.
Die beiden Sätze 57 und 58 zusammen genommen ergeben das Resultat:
Satz 59. (Hilfssatz). Wenn
irgendein in
aufgehendes Primideal und ferner
,
beliebige ganze Zahlen
in
bedeuten, dann gilt stets die Gleichung
|
.
|
Mit Hilfe des Satzes 59 können wir leicht die in Satz 51 für das Symbol
aufgestellten drei Formeln auch in dem Falle als richtig nachweisen, daß
,
beliebige ganze Zahlen in
sind. Das Schlußverfahren zum Beweise der ersten Formel entspricht demjenigen, das zum Beweise der ersten Formel des Satzes 51 angewandt worden ist. Die Richtigkeit der beiden letzten Formeln folgt unmittelbar aus Satz 55 und 59. Wir erkennen hiernach, daß die für das Symbol
in Satz 14 aufgestellten Formeln allgemein für beliebige ganze Zahlen
,
in
und in bezug auf jedes beliebige Primideal
in
gültig sind.
§ 39. Das Produkt
für beliebige ganze Zahlen
,
.
Wir sind nunmehr imstande, einen Satz auszusprechen und zu beweisen, der als die weiteste Verallgemeinerung der Sätze 36, 40 und 52 anzusehen ist und der zugleich, wie mir scheint, das Reziprozitätsgesetz für quadratische Reste im Körper
auf die einfachste und vollständigste Weise zum Ausdruck bringt. Dieser Satz lautet:
Satz 60. Wenn
,
beliebige ganze Zahlen
in
sind, so ist stets
|
,
|
wo das Produkt über sämtliche Primideale
in
erstreckt werden soll.
Zum Beweise dieses Satzes gelangen wir durch eine entsprechende Schlußweise, wie sie zum Beweise des Satzes 52 angewandt worden ist.
Wir heben endlich noch eine besondere Folgerung des Satzes 60 hervor.
Satz 61. Es seien
,
, …,
die in
aufgehenden Primideale des Körpers
, und
bedeute eine ganze Zahl in
derart, daß das Ideal (
) die
-te Potenz von
wird; ferner sei
ein zu
primes Primideal und
eine ganze Zahl in
, so daß
ausfällt: dann gilt die Gleichung
|
.
|
Zum Beweise des Satzes 61 setze man in 60
,
ein.
Der Satz 61 heiße der zweite Ergänzungssatz zum allgemeinen Reziprozitätsgesetze für die quadratischen Reste im Körper
.
§ 40. Die Anzahl der Normenreste nach einem in
aufgehenden Primideal.
Es gelingt jetzt, die Aussagen des Satzes 15 auf die Primfaktoren der Zahl
auszudehnen. Wir sprechen den folgenden Satz aus:
Satz 62. Es sei
ein Primfaktor von
und zwar gehe
genau zur
-ten Potenz in 2 auf: wenn dann die Relativdiskriminante des Körpers
nicht durch
teilbar ist, so ist jede zu
prime ganze Zahl
in
Normenrest des Körpers
nach
.
Wenn dagegen die Relativdiskriminante des Körpers
den Faktor
enthält und
einen beliebigen Exponenten größer als
bedeutet, so sind von allen vorhandenen zu
primen und nach
inkongruenten Zahlen
in
genau die Hälfte Normenreste des Körpers
nach
.
Beweis. Wenn
nicht in der Relativdiskriminante von
aufgeht, so können wir mit Rücksicht auf Satz 4 und 6 annehmen, daß
kongruent dem Quadrat einer ganzen zu
primen Zahl nach
ausfällt. Eine gemäß Definition 17 zu
bestimmte Zahl
wird dann kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
und folglich erhalten wir nach Satz 36
und mithin nach Satz 50 auch
; damit ist die erste Aussage des Satzes 62 als richtig erkannt.
Und um die zweite Aussage des Satzes 62 zu beweisen, nehmen wir zunächst
prim zu
an; es sei
eine gemäß Definition 17 zu
bestimmte ganze Zahl in
. Wir haben in Satz 29 gewisse
Primideale
, …,
aufgestellt und aus diesen gewisse ganze Zahlen
, …,
abgeleitet, so daß dann nach diesem Satze jede zu
prime ganze Zahl des Körpers
nach dem Modul
in der dort angegebenen Gestalt darstellbar ist; wir setzen somit insbesondere
|
|
worin die Exponenten
, …,
,
, …,
gewisse Werte
,
haben und
eine geeignete ganze Zahl in
bedeutet.
Wir unterscheiden im folgenden zwei Fälle, je nachdem die Exponenten
, …,
sämtlich gleich
sind oder mindestens einer dieser Exponenten
, …,
von
verschieden ausfällt. Im ersten Falle können die Exponenten
, …,
nicht ebenfalls sämtlich verschwinden, da sonst
nach dem Modul
und mithin der Voraussetzung entgegen die Relativdiskriminante von
prim zu
wäre. Ist also etwa
, so wird mit Berücksichtigung der Sätze 50 und 36
|
.
|
Im zweiten Falle sei etwa
; dann schließen wir auf die nämliche Weise
|
.
|
Nehmen wir im ersten Falle
, im zweiten
, so ist gezeigt, daß es im Körper
stets eine Zahl
gibt, welche Normennichtrest des Körpers
nach
wird.
Wegen
sind nach Satz 47 zwei nach
kongruente zu
prime ganze Zahlen in
stets gleichzeitig Normenreste oder Normennichtreste nach
. Wir bezeichnen nun mit
,
, …,
ein System ganzer Zahlen in
von folgender Beschaffenheit: die Zahlen
, …,
sollen nach
untereinander inkongruente und zu
prime Normenreste nach
sein; endlich soll jede zu
prime Zahl, welche Normenrest nach
ist, einer jener Zahlen
, …,
nach
kongruent sein. Ist nun
ein zu
primer Normennichtrest nach
, so sind die Zahlen
,
, …,
wegen der zweiten Formel in Satz 51 sämtlich Normennichtreste nach
und wir können leicht zeigen, daß jeder beliebige zu
prime Normennichtrest nach
einer dieser
Zahlen nach
kongruent ausfällt. In der Tat bestimmen wir eine ganze Zahl
, so daß
nach
ausfällt, so folgt wegen
mit Rücksicht auf Satz 47 die Gleichung
|
;
|
es ist folglich auch
Normennichtrest nach
. Bedeutet nun
irgendeinen beliebigen Normennichtrest nach
, so ist
Normenrest nach
und folglich einer der Zahlen
, …,
nach
kongruent; es sei etwa
nach
; dann ist
nach
.
Aus dieser Betrachtung ergibt sich unmittelbar die Richtigkeit der zweiten Aussage des Satzes 62 für den Fall, daß
zu
prim ist. Der vollständige Nachweis dieser zweiten Aussage gelingt leicht durch ein ähnliches Schlußverfahren unter Heranziehung von Satz 56.
Die in den beiden Sätzen 15 und 62 ausgesprochene Tatsache entspricht gewissermaßen dem bekannten Satze über die Verzweigungspunkte einer Riemannschen Fläche, wonach eine algebraische Funktion in der Umgebung eines einfachen Verzweigungspunktes den Vollwinkel auf die Hälfte desselben konform abbildet. Infolgedessen nenne ich die in der Relativdiskriminante von
aufgehenden Primideale
des Körpers
auch Verzweigungsideale für den Körper
. Die Verzweigungsideale sind die Quadrate oder die Relativnormen der ambigen Primideale des Körpers
.
§ 41. Beweis des Fundamentalsatzes über die Geschlechter in einem beliebigen relativquadratischen Körper.
In § 17 bis § 19, sowie in § 29 hatten wir die vorläufige Annahme gemacht, daß die Relativdiskriminante des zu untersuchenden Körpers
zu
prim ausfällt. Da wir erkannt haben, daß alle wesentlichen Eigenschaften des Symbols
auch für die in
enthaltenen Primideale
des Körpers
gültig sind, so kann nunmehr jene vorläufige Annahme beseitigt werden.
Wir bezeichnen wie bisher mit
, …,
die voneinander verschiedenen Primfaktoren der Zahl
und setzen
|
.
|
Zunächst lassen sich die Definitionen 11 und 12 der Begriffe „Charakterensystem“ und „Geschlecht“ unmittelbar auf den Fall ausdehnen, daß die Relativdiskriminante von
Faktoren aus der Reihe der Primideale
, …,
enthält; wir haben hierbei nur die Bemerkung am Schluß des § 38 zu berücksichtigen.
Desgleichen können wir die Beweise der Sätze 24, 25, 26 sofort auf den gegenwärtigen allgemeinen Fall übertragen, und es gilt demnach insbesondere auch der Satz 26 für jeden beliebigen relativquadratischen Körper
.
Endlich entsteht die Aufgabe, den fundamentalen Satz 41 auch in dem Falle zu beweisen, daß die Relativdiskriminante des Körpers
Primfaktoren der Zahl
enthält. Um diesen Beweis zu entwickeln, behalten wir die in § 29 festgesetzten Bezeichnungen bei; es ist hierbei nur zu beachten, daß im gegenwärtigen Falle unter den Primidealen
, …,
auch solche vorkommen, die in der Zahl
aufgehen.
Es seien
, …,
diejenigen Primfaktoren von
, die unter den
Idealen
, …,
vorkommen; wir setzen etwa
|
, …, ,
|
so daß die
Primideale
, …,
zu
prim sind. Es mögen nun
, …,
irgend beliebige
der Bedingung
genügende Einheiten
sein. Wegen Satz 62 kann man gewiß
ganze zu
prime Zahlen
, …,
finden, so daß
|
, …,
|
wird. Bestimmen wir nun eine ganze Zahl
![{\displaystyle \nu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c15bbbb971240cf328aba572178f091684585468)
derart, daß
|
|
ausfällt, so genügt
nach Satz 56 den Bedingungen
|
(1)
|
Nunmehr bezeichnen wir mit
, …,
diejenigen unter den
Primidealen
, …,
, die zu
prim sind und bestimmen dann ein Primideal
, für welches bei Benutzung der Bezeichnungen von § 31 die Gleichungen
|
(2)
|
|
(3)
|
gelten. Wegen (2) läßt sich nach Satz 43 eine ganze Zahl
bestimmen, so daß
und überdies die Zahl
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
wird. Infolgedessen schließen wir aus Satz 56 mit Rücksicht auf (1)
|
(4)
|
Andererseits folgt aus Satz 40, wenn wir die erste Formel des Satzes 14 berücksichtigen,
|
|
und wegen (3) haben wir daher
|
|
d. h. es gelten die Gleichungen
|
(5)
|
Da
, …,
,
, …,
die sämtlichen zu
primen Teiler der Relativdiskriminante von
sind, so können wir
|
|
setzen, wo
eine ganze Zahl in
ist, deren Primfaktoren sämtlich in
aufgehen, und wo
irgendeine bestimmte ganze Zahl in
bedeutet. Nach Satz 60 ist
|
|
und folglich erhalten wir wegen (4), (5)
|
;
|
da nun
angenommen worden ist, so ergibt sich auch
, d. h.
zerfällt in
in zwei Primfaktoren. Mit Rücksicht auf (4), (5) haben die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren die Werte
|
, …, .
|
Hieraus schließen wir genau wie bei dem in § 29 entwickelten Beweise die Richtigkeit des Satzes 41 im allgemeinen Falle.
Wir haben damit die wichtigste Frage nach der Anzahl der Geschlechter in einem beliebigen relativquadratischen Körper
vollständig erledigt.
§ 42. Die Klassen des Hauptgeschlechtes.
Wir heben in diesem und in den folgenden Paragraphen einige Folgerungen hervor, die sich aus dem Satze 41 ergeben.
Satz 63. Die Anzahl
der Geschlechter in einem relativquadratischen Körper ist gleich der Anzahl
seiner ambigen Komplexe.
Beweis. Wenn
und
die Bedeutung wie in Satz 23 haben und wenn wir berücksichtigen, daß nach Satz 41
ist, so folgt aus den Sätzen 23 und 25
|
|
und da andererseits nach Satz 24
|
|
sein muß, so erhalten wir
|
;
|
nach Satz 23 ist mithin die Anzahl der ambigen Komplexe
|
.
|
Satz 64.
Jeder Komplex des Hauptgeschlechtes in einem relativquadratischen Körper
ist das Quadrat eines Komplexes in
, d. h. jede Klasse des Hauptgeschlechtes in einem relativquadratischen Körper
ist gleich dem Produkt aus dem Quadrat einer Klasse und aus einer solchen Klasse, welche Ideale des Grundkörpers
enthält.
Beweis. In dem Beweise zu Satz 25 ist die Gleichung
abgeleitet worden; hierbei haben
und
die Bedeutung wie in Satz 63; ferner bedeutet
die Anzahl derjenigen Komplexe, welche gleich Quadraten von Komplexen sind und
die Anzahl der Komplexe des Hauptgeschlechtes. Da nach Satz 63
ist, so folgt
und damit ist bewiesen, daß jeder Komplex des Hauptgeschlechtes das Quadrat eines Komplexes ist.
§ 43. Der Satz von den Relativnormen eines relativquadratischen Körpers.
Satz 65. Wenn
,
irgend zwei beliebige ganze Zahlen
des Körpers
bedeuten, von denen
nicht das Quadrat einer Zahl in
ist, und welche für jedes Primideal
in
die Bedingung
|
|
erfüllen, so ist die Zahl
stets gleich der Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers
.
Beweis. Wir beweisen diesen Satz zunächst für den Fall, daß
eine Einheit in
ist. Es mögen
und
die Bedeutung wie in Satz 23 haben; im Beweise zu Satz 63 ist gezeigt worden, daß
sein muß: d. h. es ist
. Die Anzahl der Einheitenverbände in
, soweit sie aus Einheiten, die Relativnormen sind, entspringen, beträgt also
.
Andererseits betrachten wir die
Einheiten
, …,
, die in § 17 bestimmt worden sind. Aus den Gleichungen (1) in § 17 erkennen wir leicht, daß die
aus
, …,
entspringenden Einheitenverbände voneinander unabhängig sind. Es müssen sich daher
solche Einheitenverbände finden lassen, die mit jenen zusammen ein System von
unabhängigen Einheitenverbänden bilden. Sind
, …,
Einheiten bez. aus diesen
Einheitenverbänden, so läßt sich offenbar jede beliebige Einheit
des Körpers
in der Gestalt
|
|
darstellen, wo
, …,
gewisse Exponenten
,
und
eine geeignete Einheit in
bedeutet. Betrachtet man nun die
Gleichungen
, , …, ,
|
(1)
|
so liefern sie für die Exponenten
![{\displaystyle u_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69b0c788a124a32684f109737f7cfab7611d6a58)
,
![{\displaystyle u_{2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b5855eefa1e5c167320e2fb16e432c4931b166)
, …,
![{\displaystyle \textstyle u_{\frac {m}{2}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fa64733a96e093e9cd848a2af2c36fbc68f93de)
gewisse
![{\displaystyle r^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cc488e611bcc916d2da5dec54181e4909297e088)
lineare Kongruenzen nach dem Modul
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
, die, wie man leicht erkennt, voneinander unabhängig sind; es folgt somit, daß alle diejenigen Einheiten
![{\displaystyle \xi }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e0b461aaf61091abd5d2c808931c48b8ff9647db)
, die den Bedingungen (1) genügen, insgesamt
|
|
Einheitenverbände ausmachen.
Wir haben zu Beginn dieses Beweises festgestellt, daß die Anzahl der Einheitenverbände, soweit sie aus Einheiten, die Relativnormen sind, entspringen, in gleicher Anzahl vorhanden sind. Da ferner jede Einheit in
, welche die Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl
ist, offenbar Normenrest nach
sein und daher notwendig den Gleichungen (1) genügen muß, so ist jeder Verband der zu Anfang behandelten Einheiten auch unter den Verbänden enthalten, deren Einheiten
den Gleichungen (1) genügen; da die Anzahlen beider Systeme von Einheitenverbänden die gleiche ist, so sind die beiden Systeme miteinander identisch. Die vorgelegte Einheit
genügt nach Voraussetzung den Bedingungen (1) und ist mithin nach dem eben Bewiesenen die Relativnorm einer Einheit oder einer gebrochenen Zahl in
.
Es sei jetzt
eine beliebige Zahl in
, welche die Voraussetzung des Satzes 65 erfüllt. Sind dann
,
, … die höchsten in
aufgehenden Potenzen von Primidealen des Körpers
, so muß es wegen der Voraussetzung des Satzes 65 gewiß ganze Zahlen
,
, … in
geben von der Art, daß die Kongruenzen gelten
|
|
Bezeichnet also
eine ganze Zahl in
, die kongruent
nach
, kongruent
nach
, usf. ausfällt, so erhalten wir
.
|
(2)
|
Betrachten wir nun in
das Ideal
|
,
|
so ergibt sich wegen (2)
|
|
und hieraus folgt, daß
die Relativnorm des Ideals
in
sein muß.
Wegen der Voraussetzung des Satzes 65 gehört
notwendig dem Hauptgeschlecht von
an und wir können daher nach Satz 64
|
|
setzen in solcher Weise, daß
ein Ideal in
und
ein Ideal in
bedeutet. Wegen
muß
eine ganze oder gebrochene Zahl des Körpers
sein; die Relativnorm
dieser Zahl ist offenbar von der Gestalt
, wo
eine Einheit in
und
eine ganze Zahl in
bedeutet. Aus der letzten Gleichung folgt, daß für jedes beliebige Primideal
notwendig
und daher auch
sein muß. Es ist nun im ersten Teil des gegenwärtigen Beweises gezeigt worden, daß unter diesen Umständen
stets gleich der Relativnorm einer Zahl in
sein muß; wir setzen
, wo
eine Zahl in
ist. Es folgt dann
|
,
|
und hiermit ist der Beweis für Satz 65 vollständig erbracht.
§ 44. Die ternäre quadratische Diophantische Gleichung im Körper
.
Den Inhalt des Satzes 65 können wir auch auf folgende Weisen aussprechen:
Satz 66. Wenn
,
beliebige ganze Zahlen
in
bedeuten, so ist die Diophantische Gleichung
|
|
in ganzen oder gebrochenen Zahlen
,
des Körpers
stets dann lösbar, wenn für jedes Primideal
in
die Bedingung
|
|
erfüllt ist.
Satz 67. Wenn
,
irgend zwei beliebige ganze Zahlen des Körpers
bedeuten, so ist die Diophantische Gleichung
|
|
in ganzen oder gebrochenen Zahlen
,
des Körpers
stets dann lösbar, wenn die Kongruenz
|
|
nach jedem Primideal des Körpers
und nach jeder Potenz eines solchen in ganzen Zahlen
,
des Körpers
lösbar ist.
Beweis. Falls
das Quadrat einer ganzen Zahl in
ist, wird jener Diophantischen Gleichung durch
,
genügt. Es sei nun
nicht das Quadrat einer ganzen Zahl in
. Es sei ferner
ein Primideal in
und
eine beliebige Potenz von
; endlich seien
,
ganze Zahlen in
, die der im Satze 67 aufgestellten Kongruenz nach
genügen. Da offenbar
,
nicht beide zugleich durch
teilbar sein können, so dürfen wir annehmen, daß etwa
zu
prim ausfiele: dann ist wegen
|
|
die Zahl
Normenrest des Körpers
nach
und folglich erfüllen die Zahlen
,
die Bedingungen des Satzes 65. Nach diesem Satze 65 ist daher
die Relativnorm einer gewissen Zahl
des Körpers
; setzen wir
, wo
,
,
ganze Zahlen in
sind, so folgt
|
|
und mithin erfüllen die Zahlen
,
die vorgelegte Gleichung. Damit ist der Satz 67 bewiesen.
Ist irgendeine ternäre homogene quadratische Diophantische Gleichung mit beliebigen in
liegenden Koeffizienten vorgelegt, so entsteht die Frage nach den Bedingungen, unter denen diese Gleichung durch geeignete ganze Zahlen des Körpers
gelöst werden kann. Auch diese Frage findet, wie leicht zu sehen, auf Grund der Sätze 66 und 67 ihre vollständige Beantwortung.
Verzeichnis der Sätze und Definitionen.
iiiiiiiiiSatz 001 . . . . . . . 372
iiiiiiiiiSatz 002 . . . . . . . 372
iiiiiiiiiSatz 003 . . . . . . . 374
iiiiiiiiiSatz 004 . . . . . . . 374
iiiiiiiiiSatz 005 . . . . . . . 376
iiiiiiiiiSatz 006 . . . . . . . 376
iiiiiiiiiSatz 007 . . . . . . . 377
iiiiiiiiiSatz 008 . . . . . . . 377
iiiiiiiiiSatz 009 . . . . . . . 380
iiiiiiiiiSatz 010 . . . . . . . 381
iiiiiiiiiSatz 011 . . . . . . . 383
iiiiiiiiiSatz 012 . . . . . . . 384
iiiiiiiiiSatz 013 . . . . . . . 385
iiiiiiiiiSatz 014 . . . . . . . 387
iiiiiiiiiSatz 015 . . . . . . . 388
iiiiiiiiiSatz 016 . . . . . . . 390
iiiiiiiiiSatz 017 . . . . . . . 392
iiiiiiiiiSatz 018 . . . . . . . 393
iiiiiiiiiSatz 019 . . . . . . . 393
iiiiiiiiiSatz 020 . . . . . . . 396
iiiiiiiiiSatz 021 . . . . . . . 397
iiiiiiiiiSatz 022 . . . . . . . 397
iiiiiiiiiSatz 023 . . . . . . . 403
iiiiiiiiiSatz 024 . . . . . . . 409
iiiiiiiiiSatz 025 . . . . . . . 411
iiiiiiiiiSatz 026 . . . . . . . 411
iiiiiiiiiSatz 027 . . . . . . . 413
iiiiiiiiiSatz 028 . . . . . . . 413
iiiiiiiiiSatz 029 . . . . . . . 413
iiiiiiiiiSatz 030 . . . . . . . 416
iiiiiiiiiSatz 031 . . . . . . . 417
iiiiiiiiiSatz 032 . . . . . . . 423
iiiiiiiiiSatz 033 . . . . . . . 426
iiiiiiiiiSatz 034 . . . . . . . 427
iiiiiiiiiSatz 035 . . . . . . . 427
iiiiiiiiiSatz 036 . . . . . . . 428
iiiiiiiiiSatz 037 . . . . . . . 434
iiiiiiiiiSatz 038 . . . . . . . 435
iiiiiiiiiSatz 039 . . . . . . . 436
iiiiiiiiiSatz 040 . . . . . . . 445
iiiiiiiiiSatz 041 . . . . . . . 446
iiiiiiiiiSatz 042 . . . . . . . 448
iiiiiiiiiSatz 043 . . . . . . . 451
iiiiiiiiiSatz 044 . . . . . . . 452
iiiiiiiiiSatz 045 . . . . . . . 454
iiiiiiiiiSatz 046 . . . . . . . 454
iiiiiiiiiSatz 047 . . . . . . . 455
iiiiiiiiiSatz 048 . . . . . . . 458
iiiiiiiiiSatz 049 . . . . . . . 463
iiiiiiiiiSatz 050 . . . . . . . 464
iiiiiiiiiSatz 051 . . . . . . . 464
iiiiiiiiiSatz 052 . . . . . . . 465
iiiiiiiiiSatz 053 . . . . . . . 466
iiiiiiiiiSatz 054 . . . . . . . 466
iiiiiiiiiSatz 055 . . . . . . . 467
iiiiiiiiiSatz 056 . . . . . . . 467
iiiiiiiiiSatz 057 . . . . . . . 468
iiiiiiiiiSatz 058 . . . . . . . 472
iiiiiiiiiSatz 059 . . . . . . . 473
iiiiiiiiiSatz 060 . . . . . . . 473
iiiiiiiiiSatz 061 . . . . . . . 473
iiiiiiiiiSatz 062 . . . . . . . 474
iiiiiiiiiSatz 063 . . . . . . . 478
iiiiiiiiiSatz 064 . . . . . . . 479
iiiiiiiiiSatz 065 . . . . . . . 479
iiiiiiiiiSatz 066 . . . . . . . 481
iiiiiiiiiSatz 067 . . . . . . . 481
iiiiiiiii
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Definition 002 . . . . . . . 372
Definition 003 . . . . . . . 374
Definition 004 . . . . . . . 379
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