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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/475

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wäre. Dieses Ideal könnte nun nicht dem Hauptkomplex angehören; denn wäre einem Ideale in äquivalent, so müßte

sein und aus dieser Äquivalenz würde, da eine ungerade Zakl ist, sofort folgen, was nicht der Fall sein sollte. Andererseits ist, wenn gesetzt wird, und mithin würde das Ideal im Körper einen ambigen Komplex bestimmen, welcher von dem Hauptkomplexe verschieden wäre; dies widerspräche der vorhin bewiesenen Tatsache.

Wegen der Gleichung (7) zerfällt das Ideal im Körper ; es sei einer der beiden Primfaktoren von . Setzen wir , so daß eine ganze Zahl des Körpers bezeichnet, so folgt, daß das Hauptideal gleich der Relativnorm des Hauptideals () wird, und mithin ist

wenn eine geeignete Einheit in bezeichnet. Da aber nach dem vorhin Bewiesenen eine jede Einheit in die Relativnorm einer Einheit in ist, so ist auch die Relativnorm einer ganzen Zahl in ; folglich ist die Relativnorm der Zahl , und der Nenner dieses Bruches fällt prim zu aus. Hieraus folgt leicht nach Definition 6 und mithin wegen (8) auch ; hiermit ist der Beweis für den Satz 47 im gegenwärtigen Falle erbracht.

Nehmen wir endlich an, es sei jede der beiden Zahlen , das Quadrat einer ganzen Zahl in , so ergibt sich nach der Definition 6 für die beiden Symbole , stets der Wert und damit ist der Satz 47 vollständig bewiesen.

Satz 48. (Hilfssatz.) Es sei ein in aufgehendes Primideal und ferner seien , beliebige zu prime ganze Zahlen in : wenn dann ausfällt, so ist auch stets .

Beweis. Wir bezeichnen wie in Satz 40 mit , , …, die voneinander verschiedenen in aufgehenden Primideale und es möge allgemein genau zur -ten Potenz in aufgehen, so daß

wird. Nehmen wir sodann und setzen , , so haben wir

,

wo ein durch nicht teilbares Ideal bedeutet.