wäre. Dieses Ideal
könnte nun nicht dem Hauptkomplex angehören; denn wäre
einem Ideale
in
äquivalent, so müßte
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sein und aus dieser Äquivalenz würde, da
eine ungerade Zakl ist, sofort
folgen, was nicht der Fall sein sollte. Andererseits ist, wenn
gesetzt wird,
und mithin würde das Ideal
im Körper
einen ambigen Komplex bestimmen, welcher von dem Hauptkomplexe verschieden wäre; dies widerspräche der vorhin bewiesenen Tatsache.
Wegen der Gleichung (7) zerfällt das Ideal
im Körper
; es sei
einer der beiden Primfaktoren von
. Setzen wir
, so daß
eine ganze Zahl des Körpers
bezeichnet, so folgt, daß das Hauptideal
gleich der Relativnorm des Hauptideals (
) wird, und mithin ist
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wenn
eine geeignete Einheit in
bezeichnet. Da aber nach dem vorhin Bewiesenen eine jede Einheit in
die Relativnorm einer Einheit in
ist, so ist auch
die Relativnorm einer ganzen Zahl
in
; folglich ist
die Relativnorm der Zahl
, und der Nenner dieses Bruches fällt prim zu
aus. Hieraus folgt leicht nach Definition 6
und mithin wegen (8) auch
; hiermit ist der Beweis für den Satz 47 im gegenwärtigen Falle erbracht.
Nehmen wir endlich an, es sei jede der beiden Zahlen
,
das Quadrat einer ganzen Zahl in
, so ergibt sich nach der Definition 6 für die beiden Symbole
,
stets der Wert
und damit ist der Satz 47 vollständig bewiesen.
Satz 48. (Hilfssatz.) Es sei
ein in
aufgehendes Primideal und ferner seien
,
beliebige zu
prime ganze Zahlen in
: wenn dann
ausfällt, so ist auch stets
.
Beweis. Wir bezeichnen wie in Satz 40 mit
,
, …,
die
voneinander verschiedenen in
aufgehenden Primideale und es möge allgemein
genau zur
-ten Potenz in
aufgehen, so daß
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wird. Nehmen wir sodann
und setzen
,
, so haben wir
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,
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wo
ein durch
nicht teilbares Ideal bedeutet.