Ideal (
) gleich
ist und überdies die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt. Wir setzen
und haben dann
.
Nunmehr bestimmen wir in
ein Primideal
, für welches die Gleichungen
|
(7)
|
gelten. Indem wir wie vorhin verfahren, können wir nach Satz 43 eine ganze Zahl
derart bestimmen, daß das Ideal
wird und überdies die Zahl
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent ausfällt; wir setzen
und haben dann
.
Indem wir die Beschaffenheit der Zahlen
,
berücksichtigen und den Satz 47 für den oben bereits behandelten Fall anwenden, erhalten wir
.
|
(8)
|
Wir betrachten jetzt den Körpers
und werden beweisen, daß
gleich der Relativnorm einer solchen Zahl dieses Körpers
ist, deren Nenner prim zu
ausfällt. Wegen der Kongruenzen (5) ist
und folglich auch
gewiß dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent; infolgedessen enthält die Relativdiskriminante des Körpers
nach Satz 4 und 5 nur den einen Primfaktor
. Wenn wir die am Schlusse von § 15 gemachte Bemerkung auf diesen Körper
anwenden und demgemäß
nehmen, so wird aus der dort aufgestellten Ungleichung die folgende
|
,
|
und da
offenbar nicht größer als
sein kann, so ist hier notwendig
, d. h. jede Einheit in
ist die Relativnorm einer Einheit in
. Die im Satze 23 mit
bezeichnete Anzahl hat ihrer Bedeutung nach mindestens den Wert
und ist daher ebenfalls gleich
; der Satz 23 lehrt dann, daß die Anzahl aller ambigen Komplexe im Körper
gleich
ist, d. h. im Körper
ist der einzige ambige Komplex der Hauptkomplex.
Aus der soeben festgestellten Tatsache erkennen wir leicht, daß die Klassenanzahl
des Körpers
notwendig ungerade ausfallen muß. Im entgegengesetzten Falle gäbe es nämlich in
ein Ideal
, so daß
|
|