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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/445

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§ 25. Das Produkt für ein zu primes und bei gewissen Annahmen über .

Wir sind jetzt imstande, einen weiteren wichtigen Bestandteil des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper abzuleiten.

Satz 36. Wenn , zu prime ganze Zahlen in sind und überdies die Zahl dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul kongruent wird, so ist stets

,

wo das Produkt über sämtliche zu primen Primideale des Körpers erstreckt werden soll.

Beweis. Wir nehmen erstens gleich einer Zahl des Körpers an, die von der Beschaffenheit ist, daß das Ideal die -te Potenz eines nichtprimären Primideals in wird; die Zahl dagegen sei ein Produkt von lauter Potenzen primärer Primideale. Bedeuten , ..., diejenigen unter diesen Primfaktoren von , die in zu einer ungeraden Potenz aufgehen, so finden wir, wenn bez. , ..., Primärzahlen von , ..., bezeichnen, bei Anwendung des Satzes 28 leicht die Gleichung

, (1)

wo eine geeignete ganze Zahl in bedeutet. Wir betrachten den Körper ; nach Satz 4 sind , ..., die in der Relativdiskriminante von aufgehenden Primideale. Da diese Primideale sämtlich primär sein sollen und mithin für jede Einheit stets

ausfällt, so ist die Anzahl der Charaktere, welche das Geschlecht einer Klasse in diesem Körper bestimmen; es gibt daher nach Satz 26 in höchstens Geschlechter.

Wir weisen nun nach, daß im Körper wirklich Geschlechter vorhanden sind. Zu dem Zwecke bezeichnen wir mit , ..., irgend solche Einheiten , deren Produkt gleich ist, und bestimmen dann ein Primideal in , welches den Bedingungen

, (2)
(3)

genügt, wobei , ..., das zu Beginn von § 21 aufgestellte System von Einheiten in bedeuten soll; nach Satz 18 gibt es sicher Primideale von der verlangten

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 428. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/445&oldid=- (Version vom 23.2.2020)