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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/444

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es ist mithin jede Einheit in die Relativnorm einer Einheit des Körpers und hieraus folgt nach Satz 9

,

d. h. ist ein primäres Primideal.

§ 24. Zwei besondere Fälle des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper .

Auf Grund des Satzes 32 können wir folgende neue Definition aufstellen:

Definition 15. Wenn ein primäres Primideal in ist und wird, wo eine solche ganze Zahl in bedeutet, die dem Quadrat einer ganzen Zahl in nach dem Modul kongruent ausfällt, so nenne ich eine Primärzahl des primären Primideals . Wegen Satz 28 ist die Primärzahl durch das primäre Primideal bis auf das Quadrat einer Einheit in bestimmt.

Satz 34. Es sei ein primäres Primideal in und ein beliebiges Primideal in ; ferner sei eine Primärzahl von und irgendeine ganze Zahl in , so daß wird: wenn dann ist, so fällt auch aus.

Beweis. Mit Rücksicht auf Definition 15 und wegen Satz 4 und 5 besitzt die Relativdiskriminante des Körpers nur den einen Primfaktor , und daher ist wegen Satz 26 in diesem Relativkörper die Anzahl der Geschlechter gleich , d. h. es gehören alle Ideale des Körpers dem Hauptgeschlechte an. Wegen der Annahme ist nach Satz 7 in in das Produkt zweier Primideale zerlegbar; für den Charakter eines jeden dieser beiden Primideale erhalten wir den Wert

,

womit der Satz 34 bewiesen ist.

Satz 35. Wenn , zwei primäre Primideale in und , bez. Primärzahlen von , sind, so gilt die Gleichung

.

Beweis. Im Falle folgt die Richtigkeit dieses Satzes unmittelbar aus dem Satze 34. Nehmen wir andererseits an, so muß notwendig auch sein; denn wäre , so würde aus dem nämlichen Satze 34 die Gleichung folgen, was der Annahme widerspricht.

Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 427. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/444&oldid=- (Version vom 23.2.2020)