es ist mithin jede Einheit
in
die Relativnorm einer Einheit des Körpers
und hieraus folgt nach Satz 9
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,
|
d. h.
ist ein primäres Primideal.
§ 24. Zwei besondere Fälle des Reziprozitätsgesetzes für quadratische Reste im Körper
.
Auf Grund des Satzes 32 können wir folgende neue Definition aufstellen:
Definition 15. Wenn
ein primäres Primideal in
ist und
wird, wo
eine solche ganze Zahl in
bedeutet, die dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent ausfällt, so nenne ich
eine Primärzahl des primären Primideals
. Wegen Satz 28 ist die Primärzahl
durch das primäre Primideal
bis auf das Quadrat einer Einheit in
bestimmt.
Satz 34. Es sei
ein primäres Primideal in
und
ein beliebiges Primideal in
; ferner sei
eine Primärzahl von
und
irgendeine ganze Zahl in
, so daß
wird: wenn dann
ist, so fällt auch
aus.
Beweis. Mit Rücksicht auf Definition 15 und wegen Satz 4 und 5 besitzt die Relativdiskriminante des Körpers
nur den einen Primfaktor
, und daher ist wegen Satz 26 in diesem Relativkörper die Anzahl der Geschlechter gleich
, d. h. es gehören alle Ideale des Körpers
dem Hauptgeschlechte an. Wegen der Annahme
ist nach Satz 7
in
in das Produkt zweier Primideale zerlegbar; für den Charakter eines jeden dieser beiden Primideale erhalten wir den Wert
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,
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womit der Satz 34 bewiesen ist.
Satz 35. Wenn
,
zwei primäre Primideale in
und
,
bez. Primärzahlen von
,
sind, so gilt die Gleichung
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.
|
Beweis. Im Falle
folgt die Richtigkeit dieses Satzes unmittelbar aus dem Satze 34. Nehmen wir andererseits
an, so muß notwendig auch
sein; denn wäre
, so würde aus dem nämlichen Satze 34 die Gleichung
folgen, was der Annahme widerspricht.