Beschaffenheit. Wegen (2) ist
ein primäres Primideal; es sei
eine Primärzahl von
. Nach Satz 35 folgen aus den Gleichungen (3) die Gleichungen
(4)
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, …, .
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Wenn wir die Gleichungen (3) miteinander multiplizieren, erhalten wir wegen (1) und wegen
die Gleichung
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,
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d. h.
zerfällt im Körper
in zwei Primfaktoren. Die Charaktere eines jeden dieser Primfaktoren stimmen wegen (4) mit
, …,
überein. Die Anzahl der möglichen Systeme von Einheiten
, …,
mit der Bedingung
ist offenbar
; es existieren daher wirklich so viele Geschlechter, und da es nach dem vorhin Bewiesenen eine größere Anzahl von Geschlechtern nicht geben kann, so erkennen wir hieraus die Tatsache, daß das Charakterensystem
, …,
eines jeden Geschlechts im Körper
notwendig die Bedingung
erfüllen muß.
Um aus dieser Tatsache unter den an erster Stelle gemachten Annahmen den Satz 36 abzuleiten, nehmen wir zunächst an, es sei
. Dann zerfällt
in
in zwei Primfactoren; das Charakterensystem eines jeden dieser Primfaktoren ist
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, …, .
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Da das Produkt dieser Charaktere nach dem vorhin Bewiesenen gleich
sein soll, so folgt wegen
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notwendig die Gleichung
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wenn das Produkt über alle zu
primen Primideale
des Körpers
erstreckt wird; diese Gleichung zeigt unmittelbar die Richtigkeit der Behauptung.
Ist dagegen
, so bestimme man ein von den Primidealen
, …,
verschiedenes primäres Primideal
von der Art, daß
ausfällt; nach Satz 18 ist dies stets möglich. Bezeichnet
eine Primärzahl von
, so muß notwendig auch
ausfallen, weil im entgegengesetzten Falle aus Satz 34
folgen würde. Nunmehr ist
, und wenn wir daher in der voranstehenden Betrachtung an Stelle von
jetzt