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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/438

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Nach der nämlichen Methode erhalten wir für die Anzahl aller durch teilbaren Hauptideale des Körpers , deren Normen die reelle positive Zahl nicht überschreiten und für welche wird,

, (6)

wo , , , ... wiederum von abhängige Größen bedeuten, die für unendlich wachsende stets zwischen endlichen Grenzen bleiben. Durch Subtraktion der beiden Formeln (5), (6) ergibt sich

, (7)

wo ebenfalls eine von abhängige Größe bezeichnet, die für unendlich wachsende zwischen endlichen Grenzen bleibt.

Wir haben offenbar

,

wenn die Summe linker Hand über alle zu primen und durch teilbaren Hauptideale des Körpers erstreckt wird, während auf der rechten Seite die erste Summe über alle zu primen und durch teilbaren Hauptideale mit der Eigenschaft und die zweite Summe über alle zu primen und durch teilbaren Hauptideale mit der Eigenschaft genommen wird. Andererseits ist mit Rücksicht auf die Bedeutung der Anzahlen

,

und folglich wird

, (8)

wo die Summen rechter Hand stets über , , , ... zu erstrecken sind und , , gleich Null zu setzen sind. Nun haben wir

,

und da für ,

,
Empfohlene Zitierweise:
David Hilbert: David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Erster Band – Zahlentheorie. Julius Springer, Göttingen 1932, Seite 421. Digitale Volltext-Ausgabe bei Wikisource, URL: https://de.wikisource.org/w/index.php?title=Seite:David_Hilbert_Gesammelte_Abhandlungen_Bd_1.djvu/438&oldid=- (Version vom 23.2.2020)