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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/413

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darstellbar, wo , …, ganze rationale Exponenten und eine Einheitswurzel bezeichnet. Nun ist offenbar entweder eine in liegende Einheitswurzel oder die Quadratwurzel aus einer in liegenden Einheitswurzel, multipliziert in eine Einheitswurzel mit ungeradem Wurzelexponenten ; wir dürfen daher setzen, wo die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat. Wenn wir dann die Gleichung (6) in die -te Potenz erheben, so folgt, bei Benutzung der Gleichungen (3), (5) und der späteren analogen, eine Relation, welche, da ungerade ausfällt, die Richtigkeit des Satzes 19 erkennen läßt.

Definition 10. Die Einheiten , …, welche die Eigenschaft des Satzes 19 besitzen, nenne ich ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers in bezug auf .

Satz 20. (Hilfssatz.) Wenn , …, ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers bilden und deren Relativnormen bez. mit

bezeichnet werden, so läßt sich jede Einheit in , welche die Relativnorm irgendeiner Einheit des Körpers ist, in der Gestalt

darstellen, wo die Exponenten , …, gewisse Werte , haben und eine Einheit in oder eine in liegende Quadratwurzel aus einer Einheit in bezeichnet.

Beweis. Nach dem Satze 19 gilt für die Einheit eine Gleichung

,

wo die Bezeichnungen wie im Satz 19 zu verstehen sind. Indem wir von beiden Seiten dieser Gleichung die Relativnorm bilden, ergibt sich

und hieraus folgt

,

wenn allgemein oder genommen wird, je nachdem gerade oder ungerade ausfällt und wo ferner

gesetzt ist; damit ist Satz 20 bewiesen.