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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/412

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und wegen dieser Relation (2) zugleich eine Einheit in sein soll, so steht rechter Hand entweder eine Einheit in oder die Quadratwurzel aus einer Einheit in ; wir schreiben demgemäß die Relation (2) in der Gestalt

und hieraus folgt

(3)

wo die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat.

Nunmehr schalten wir die Einheit aus dem ursprünglichen System von Grundeinheiten aus und betrachten nur die Gesamtheit der Einheiten

.

Falls noch ausfällt, besteht zwischen diesen Einheiten eine Relation von der Gestalt

, (4)

wo , …, , , …, ganze rationale Exponenten und , …, nicht sämtlich Null sind. Wir setzen

;

dabei bedeute die höchste in den sämtlichen Zahlen , …, aufgehende Potenz von und es sei etwa eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung

,

so erhalten wir aus der Relation (4) die folgende Gleichung

und hieraus schließen wir, wie vorhin, die Gleichung

, (5)

wo wiederum die im Satze 19 erklärte Bedeutung hat. Wir betrachten nun das Einheitensystem , …, , , …, . Es läßt sich dann das beschriebene Verfahren offenbar so lange fortsetzen, bis von den ursprünglichen Grundeinheiten , …, nur Einheiten, etwa die Einheiten , …, , übrig bleiben; wir erkennen leicht, daß diese Einheiten dann die im Satze 19 verlangte Eigenschaft besitzen. Denn da , …, ein System von Grundeinheiten des Körpers darstellen, so ist überhaupt jede Einheit in in der Gestalt

(6)