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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/414

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§ 15. Die Anzahl der aus ambigen Idealen entspringenden ambigen Komplexe in .

Satz 21. Ein ambiger Komplex des relativquadratischen Körpers enthält lauter ambige Klassen. Die Anzahl der ambigen Klassen in ist genau gleich der -fachen Anzahl der ambigen Komplexe.

Beweis. Wenn irgendeine Klasse des ambigen Komplexes ist, so folgt aus offenbar , wo eine der Klassen des Körpers bedeutet. Bilden wir auf beiden Seiten der letzten Gleichung die Relativnorm, so erhalten wir leicht und da andererseits auch ist, wobei die Klassenanzahl eine ungerade Zahl sein soll, so folgt , d. h. es wird ; mithin ist eine ambige Klasse. Soll andererseits sein, wo eine Klasse in ist, so folgt ebenso und damit ergibt sich die zweite Aussage des Satzes 21.

Satz 22. Wenn die Anzahl aller ambigen Ideale des Körpers gleich ist und wenn diejenigen Einheiten in , welche Relativnormen von Einheiten in sind, zusammengenommen Einheitenverbände in ausmachen: dann ist die Anzahl derjenigen ambigen Komplexe des Körpers , welche aus ambigen Idealen entspringen, genau gleich , wo den Wert

hat.

Beweis. Wir nehmen im folgenden zunächst an, daß die Zahl nicht das Produkt einer Einheit in das Quadrat einer Zahl des Körpers sei; es ist dann jeder Ausdruck notwendig eine in gelegene Einheit .

Nunmehr mögen, wie in Satz 20, , …, ein System von relativen Grundeinheiten des Körpers und

, …,

deren Relativnormen bedeuten. Nach Satz 20 läßt sich bei unserer Annahme jede Einheit in , welche die Relativnorm einer Einheit in ist, in der Gestalt

darstellen, wo die Exponenten , …, gewisse Werte , haben und eine Einheit in bedeutet. Da nun die Anzahl der Verbände von Einheiten in , die Relativnormen von Einheiten in sind, nach Voraussetzung betragen soll, so muß es möglich sein, unter den Einheiten , …, gewisse auszuwählen – es seien hierfür die Einheiten , …, geeignet – derart, daß jede Einheit in , welche die Relativnorm einer Einheit in