jedes Mal eine Gleichung von der Gestalt
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besteht, wo der Exponent
eine ungerade Zahl und die Exponenten
, …,
irgendwelche ganze rationale Werte oder den Wert
haben können; endlich bedeutet
eine Einheit des Körpers
oder eine solche Einheit in
, deren Quadrat eine Einheit in
wird, so daß
im allgemeinen eine Einheit in
sein muß und nur dann die Wurzel aus einer Einheit in
darstellen kann, wenn
eine Einheit in
oder das Produkt einer solchen in das Quadrat einer Zahl des Körpers
ist.
Die Einheiten
, …,
sind in dem Sinne voneinander unabhängig, daß zwischen ihnen keine Relation von der Gestalt
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mit ganzen rationalen Exponenten
, …,
besteht, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich verschwinden und
ist.
Beweis. Im Körper
gibt es ein volles System von
Grundeinheiten
, …,
. Wir betrachten die Gesamtheit der
Einheiten
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, …, , , …, .
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Sobald
ist, besteht zwischen diesen Einheiten jedenfalls eine Relation von der Gestalt
,
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(1)
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wo
, …,
,
, …,
ganze rationale Exponenten und
, …,
nicht sämtlich Null sind. Wir setzen
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;
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dabei bedeute
die höchste in den sämtlichen Zahlen
, …,
aufgehende Potenz von
und es sei etwa
eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung
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,
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so erhalten wir aus der Relation (1) die folgende Gleichung
.
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(2)
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Da hier die rechte Seite eine gewisse
-te Wurzel aus einer Einheit
in
bedeutet