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Seite:David Hilbert Gesammelte Abhandlungen Bd 1.djvu/411

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jedes Mal eine Gleichung von der Gestalt

besteht, wo der Exponent eine ungerade Zahl und die Exponenten , …, irgendwelche ganze rationale Werte oder den Wert haben können; endlich bedeutet eine Einheit des Körpers oder eine solche Einheit in , deren Quadrat eine Einheit in wird, so daß im allgemeinen eine Einheit in sein muß und nur dann die Wurzel aus einer Einheit in darstellen kann, wenn eine Einheit in oder das Produkt einer solchen in das Quadrat einer Zahl des Körpers ist.

Die Einheiten , …, sind in dem Sinne voneinander unabhängig, daß zwischen ihnen keine Relation von der Gestalt

mit ganzen rationalen Exponenten , …, besteht, es sei denn, daß diese Exponenten sämtlich verschwinden und ist.

Beweis. Im Körper gibt es ein volles System von Grundeinheiten , …, . Wir betrachten die Gesamtheit der Einheiten

, …, ,   , …, .

Sobald ist, besteht zwischen diesen Einheiten jedenfalls eine Relation von der Gestalt

, (1)

wo , …, , , …, ganze rationale Exponenten und , …, nicht sämtlich Null sind. Wir setzen

;

dabei bedeute die höchste in den sämtlichen Zahlen , …, aufgehende Potenz von und es sei etwa eine ungerade Zahl. Setzen wir ferner zur Abkürzung

,

so erhalten wir aus der Relation (1) die folgende Gleichung

. (2)

Da hier die rechte Seite eine gewisse -te Wurzel aus einer Einheit in bedeutet