in die Gestalt eines Bruches
, dessen Zähler
und dessen Nenner
nicht durch
teilbar sind: dann gilt stets die Gleichung
.
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Beweis. Die Sätze 9, 10, 11 zeigen unmittelbar, daß der Satz 13 für
,
, für
,
und für
,
gilt. Im Falle
,
haben wir
zu setzen; da nun
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die Relativnorm der Zahl
ist, so ergibt sich nach Satz 12
,
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und da andererseits nach Satz 9
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ist, so folgt auch für diesen Fall die Richtigkeit des Satzes 13.
Sind nun
,
beliebige ganze rationale nicht negative Exponenten, so möge
den Wert
oder
bedeuten, je nachdem
gerade oder ungerade ausfällt, und entsprechend möge
den Wert
oder
bedeuten, je nachdem
gerade oder ungerade ausfällt. Wir bestimmen jetzt im Körper
eine ganze Zahl
, in der genau die
-te Potenz von
aufgeht, und eine Zahl
, in der genau die
-te Potenz von
aufgeht von der Beschaffenheit, daß
und
Quadrate von Zahlen in
sind; dann setzen wir
gleich einem Bruche
, dessen Zähler
und dessen Nenner
ganze zu
prime Zahlen in
sind, und erkennen leicht, daß in der Zahlenreihe
, , , , , ,
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jede Zahl durch die darauffolgende dividiert, gleich dem Quadrat einer Zahl des Körpers
wird; wir schließen hieraus, daß auch der Quotient der ersten Zahl
und der letzten
in jener Reihe gleich dem Quadrat einer gewissen Zahl
des Körpers
sein muß. Da andererseits diese Zahlen beide zu
prim sind, so läßt sich notwendig auch
in die Gestalt eines Bruches
setzen, dessen Zähler
und dessen Nenner
ganze zu
prime Zahlen in
sind. Wir erhalten mithin
und folglich ist
; da ferner
ausfällt, so ist auch
.
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(1)
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