I. Allgemeine Definitionen und vorbereitende Sätze.
§ 1. Quadratische Reste und Nichtreste im Grundkörper
und das Symbol
.
Definition 1. Es sei
ein in der Zahl
nicht aufgehendes Primideal des Körpers
und
eine beliebige zu
prime ganze Zahl in
: dann heiße
in
quadratischer Rest nach
, wenn
kongruent dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
wird, d. h. wenn die Kongruenz
|
|
durch eine ganze Zahl
des Körpers
befriedigt werden kann; im anderen Falle heiße
quadratischer Nichtrest nach
. Wir definieren jetzt das Symbol
‚ indem wir, wenn
in
quadratischer Rest nach
ist,
|
|
und im anderen Fall
|
|
setzen. Satz 1
Wenn
ein beliebiges nicht in
aufgehendes Primideal des Körpers
und
eine zu
prime ganze Zahl in
ist, so gilt nach dem Modul
die Kongruenz
,
|
|
worin
die Norm des Primideals
im Körper
bedeutet.
Beweis. Ist
nach
, wo
wieder eine ganze Zahl in
bedeutet, so folgt nach dem Fermatschen Satze[1] sofort
.
|
|
Wir nehmen andererseits an, es sei
quadratischer Nichtrest nach
; bezeichnen wir dann mit
eine Primitivzahl nach
im Körper
und setzen
nach
, so muß hierin offenbar der Exponent
eine ungerade Zahl sein. Nach dem Fermatschen Satze ist aber
,
|
|
und folglich
.
|
(1)
|
Da in der Reihe der Potenzen
die Potenz
die erste sein soll, welche
nach
wird, so gilt notwendig auf der rechten Seite der Kongruenz
das negative Vorzeichen und demzufolge wird
.
|
|
Aus dem eben bewiesenen Satze 1 folgen leicht die weiteren Tatsachen:
Satz 2
Wenn
irgend zwei zu dem Primideal
prime ganze Zahlen in
sind, so gilt stets die Gleichung
.
|
|
Ein vollständiges System von
zu
primen und einander nach
inkongruenten Zahlen zerfällt in zwei Teilsysteme, von denen das eine aus den
quadratischen Resten nach
, das andere aus den
quadratischen Nichtresten nach
besteht.
§ 2. Die Begriffe Relativnorm, Relativdifferente und Relativdiskriminante.
Definition 2. Jede Zahl
des Körpers
kann in die Gestalt
|
|
gebracht werden, wo
ganze oder gebrochene Zahlen des Körpers
sind; ist dies geschehen, so heiße die Zahl
,
|
|
die vermöge der Substitution
|
|
aus
entspringende oder zu
relativkonjugierte Zahl in
. Die Zahl
|
|
heiße die Relativdifferente der Zahl
im Körper
. Der größte gemeinsame Teiler der Relativdifferenten aller ganzen Zahlen
des Körpers
, d. h. das Ideal
|
|
heiße die Relativdifferente des Körpers
in bezug auf den Körper
.
Das Produkt einer Zahl
des Körpers
mit der relativkonjugierten Zahl
heißt die Relativnorm der Zahl
und wird mit
bezeichnet; es ist also
.
|
|
Die Relativnorm
einer Zahl
in
ist stets eine Zahl in
.
Ist
ein beliebiges Ideal der Körpers
und wendet man auf sämtliche ganze Zahlen
dieses Ideals die Substitution
an, so heißt das so entstehende Ideal das zu
relativkonjugierte Ideal und wird mit
bezeichnet; es ist also
.
|
|
Das Produkt eines Ideals
des Körpers
mit dem relativkonjugierten Ideal
heißt die Relativnorm des Ideals
und wird mit
bezeichnet; es ist also
.
|
|
Die Relativnorm eines Ideals
in
ist stets ein Ideal in
.
Das Quadrat der Relativdifferente einer Zahl
des Körpers
d. h. die Zahl
heißt die Relativdiskriminante der Zahl
. Die Relativdiskriminante einer Zahl
in
ist stets eine Zahl in
.
Das Quadrat der Relativdifferente des Körpers
|
|
heißt die Relativdiskriminante des Körpers
. Da die Relativdifferente
des Körpers
ein solches Ideal des Körpers
ist, das seinem relativ konjugierten Ideale gleich wird, so ist die Relativdiskriminante
auch gleich der Relativnorm der Relativdifferente
des Körpers
; es ist daher die Relativdiskriminante
stets ein Ideal in
.
§ 3. Das ambige Ideal.
Definition 3. Ein Ideal
des Körpers
heißt ein ambiges Ideal, wenn dasselbe bei der Operation
ungeändert bleibt, d. h. wenn
|
|
ist und wenn außerdem
kein von
verschiedenes Ideal des Körpers
als Faktor enthält. Insbesondere heißt ein Primideal des Körpers
ein ambiges Primideal, wenn dasselbe bei Anwendung der Substitution
ungeändert bleibt und nicht zugleich im Körper
liegt. Jedes ambige Ideal ist ein Produkt von ambigen Primidealen. Das Quadrat eines ambigen Primideals ist gleich der Relativnorm desselben und stellt im Körper
selbst ein Primideal dar.
Satz 3[2].
Die Relativdifferente
des relativquadratischen Körpers
enthält alle und nur diejenigen Primideale, welche ambig sind.
§ 4. Die Primfaktoren der Relativdiskriminante.
Unsere nächste Aufgabe ist es, die Primfaktoren der Relativdiskriminante
des Körpers
wirklich zu ermitteln. Diese Aufgabe wird durch den folgenden Satz gelöst:
Satz 4. Es sei
ein zu
primes Primideal des Körpers
; geht dann
in der Zahl
genau zur
-ten Potenz auf, so enthält, wenn der Exponent
ungerade ist, die Relativdiskriminante
des Körpers
stets den Faktor
. Ist dagegen der Exponent
gerade, so fällt die Relativdiskriminante
prim zu
aus.
Es sei
ein Primideal des Körpers
, welches in
aufgeht, und zwar genau zur
-ten Potenz; ferner gehe
in
genau zur
-ten Potenz auf: so ist die Relativdiskriminante des Körpers
stets dann und nur dann zu
prim, wenn im Körper
eine ganze Zahl
vorhanden ist, die der Kongruenz
|
(1)
|
genügt.
Beweis. Gehen wir zunächst auf den ersten Teil des Satzes 4 ein. Es sei
eine durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl in
, und weiter sei
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
.
Ist der Exponent
ungerade, so stellt
eine durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl in
dar von der Art, daß die Zahl
im Körper
liegt und wenn wir den gemeinsamen Idealteiler von
und
mit
bezeichnen, so ist
.
|
|
Das Ideal
![{\displaystyle {\mathfrak {P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f306de895b1fd787a364c508badc106b1ff73e18)
ist also ein ambiges Primideal und nach Satz 3 tritt dasselbe daher in der Relativdifferente
![{\displaystyle {\mathfrak {D}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46c2461a0bd159fa416eeb2bd7a4ac0fed0262ca)
des Körpers
![{\displaystyle K\left({\sqrt {\mu }}\right)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ed1257960ad48be06f73466623a6a3e17146a9d0)
als Faktor auf; es ist also die Relativdiskriminante
![{\displaystyle {\mathfrak {d}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0f205c4184ddb813ff6d4cdbdefbb7f8f04bbabb)
durch
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
teilbar.
Ist dagegen der Exponent
gerade, so stellt
eine zu
prime ganze Zahl in
dar, von der Art, daß
in
liegt; da die Relativdiskriminante der Zahl
den Wert
hat, so ist sie zu
prim. Das gleiche gilt mithin von der Relativdiskriminante
des Körpers
.
Jetzt betrachten wir die Verhältnisse in betreff des Primfaktors
. Ist die Kongruenz
erfüllt, so muß
in der Zahl
genau zur
-ten Potenz aufgehen und mithin ist der Exponent
eine gerade Zahl. Es sei nun
eine durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl in
und weiter sei
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
: der Ausdruck
|
|
stellt dann eine ganze Zahl in
dar, da die beiden Ausdrücke
,
|
|
,
|
|
offenbar ganze Zahlen in
sind. Andererseits hat die Relativdiskriminante der Zahl
den Wert
|
|
und ist mithin prim zu
; das gleiche gilt also für die Relativdiskriminante des Körpers
.
Setzen wir umgekehrt voraus, die Relativdiskriminante
des Körpers
sei prim zu
, so folgt wegen
,
|
|
daß dann notwendig im Körper
eine ganze Zahl
existieren muß, deren Relativdiskriminante
zu
prim ausfällt; wir setzen
,
|
|
wo
ganze Zahlen in
bezeichnen, die bez. genau durch die
-te,
-te,
-te Potenz von
aufgehen mögen. Da nun
eine zu
prime ganze Zahl sein soll, so folgt
,
|
(2)
|
und da andererseits die Relativnorm
![{\displaystyle N(\Omega )={\frac {\alpha ^{*2}-\beta ^{*2}\mu }{\gamma ^{*2}}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/40886c1f7ec86491872fef5a2ceabed966c4bf52)
eine ganze Zahl ist, so müssen entweder beide der Zahlen
![{\displaystyle \alpha ^{*2}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0076c9602faab4d6ff8152d58ed966df135c231d)
und
![{\displaystyle \beta ^{*2}\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25720da7b818bfcfbb763cd6f7700d1d2625cf3b)
genau durch die gleiche Potenz von
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcb471ebe6dae3fe7adb05ed2f4044cbc931dd12)
aufgehen oder es müßte jede dieser beiden Zahlen mindestens durch
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{2c^{*}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3e5b5ba3c7333bc2670d90b515e5ebc751ccda)
teilbar sein. Das letztere ist nicht der Fall, weil wegen der eben abgeleiteten Gleichung
![{\displaystyle (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f88fdd4acbb57a291f9eb9f23ae23a1e492b30)
jedenfalls
![{\displaystyle 2b^{*}+a<2c^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c9a858e45669b3b99eeebfe3c1be053a5d9c54a7)
ausfällt und daher
![{\displaystyle \beta ^{*2}\mu }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/25720da7b818bfcfbb763cd6f7700d1d2625cf3b)
sicher nicht durch
![{\displaystyle {\mathfrak {l}}^{2c^{*}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc3e5b5ba3c7333bc2670d90b515e5ebc751ccda)
teilbar sein kann. Es ist daher notwendigerweise
![{\displaystyle 2a^{*}=2b^{*}+a}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/01c04ac78a99ce41818306355c915761e045cbc6)
und mithin wegen
![{\displaystyle (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43f88fdd4acbb57a291f9eb9f23ae23a1e492b30)
auch
![{\displaystyle 2l+2a^{*}=2c^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70a5ff6ad44a47cd8ad435fbc28fc85b20d6ffc0)
oder
![{\displaystyle l+a^{*}=c^{*}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9d7b29093b101adf2b9e46129f1951bfe2f64b03)
.
Aus
folgt ferner
und aus
folgt
; mithin ist auch
. Da
eine ganze Zahl sein soll, so haben wir die Kongruenz
,
|
|
Wegen
läßt sich der Bruch
in der Gestalt eines Bruches schreiben, dessen Nenner zu
prim ausfällt, und es ist somit
notwendig einer gewissen
ganzen Zahl
des Körpers
nach
kongruent, so daß auch die Kongruenz
|
|
gilt. Hierdurch ist mit Rücksicht auf die aus
folgende Gleichung
die Richtigkeit des Satzes
vollständig gezeigt.
Aus diesem Satze
entnehmen wir leicht die folgende besondere Tatsache:
Satz 5
Wenn
eine beliebige zu
prime ganze Zahl in
bedeutet, die nicht das Quadrat einer Zahl in
wird, so ist die Relativdiskriminante des Körpers
stets dann und nur dann zu
prim, wenn
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach dem Modul
kongruent wird.
§ 5. Die Zerlegung der Primideale des Grundkörpers
im relativquadratischen Körper
.
Die Frage, wie die Primideale des relativquadratischen Körpers
durch Zerlegung aus den Primidealen des Körpers
entstehen, erledigt sich in den folgenden Sätzen:
Satz 6 Ein Primideal
des Körpers
ist stets dann und nur dann im Körper
gleich dem Quadrat eines Primideals
, wenn
in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgeht.
Beweis. Aus
folgt
und mithin
, d. h.
ist ein ambiges Primideal des Körpers
und als solches nach Satz
in der Relativdifferente des Körpers
enthalten, d. h.
geht geht dann in der Relativdiskriminante auf.
Wenn wir umgekehrt annehmen, daß
in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgehe und mit
einen in
aufgehenden Primfaktor des Körpers
bezeichnen, so geht offenbar
in der Relativdifferente des Körpers
auf und ist mithin nach Satz 3 ein ambiges Ideal, d. h. es ist nach Definition 3
und
. Wegen dieser Beziehungen ist auch
, und hieraus folgt
. Damit ist der Beweis für den Satz 6 erbracht.
Satz 7. Wenn
ein Primideal des Körpers
bedeutet, welches weder in
noch in
aufgeht, so ist
im Körper
in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem
im Körper
quadratischer Rest oder Nichtrest nach
ist.
Beweis. Es sei
in
quadratischer Rest nach
und demgemäß etwa
eine ganze Zahl in
so, daß die Kongruenz
,
|
|
gilt; alsdann bilden wir die zu einander relativkonjugierten Ideale des Körpers
|
|
und erhalten leicht
.
|
|
Wegen
|
|
sind
und
von einander verschieden.
Es sei umgekehrt das Primideal
des Körpers
in zwei Primideale
und
zerlegbar: dann gelten, wenn allgemein
die Norm im Körper
und
die Norm im Körper
bezeichnet, die Gleichungen
|
|
und mithin ist
.
|
|
Die Gleichheit dieser Normen
und
läßt die Tatsache erkennen, daß eine jede ganze Zahl des Körpers
einer ganzen Zahl des Körpers
nach
kongruent gesetzt werden kann, da ja irgend
nach
einander inkongruente Zahlen zugleich auch in
nach
ein volles Restsystem bilden müssen; setzen wir insbesondere
nach
, wo
in
liegen soll, so folgt
nach
, und da
eine Zahl in
ist, so muß
auch nach
gelten, d. h. es ist
quadratischer Rest nach
. Damit ist der Satz 7 vollständig bewiesen.
Satz 8. Es sei
ein in
enthaltenes Primideal des Körpers
, und zwar gehe
genau zur
-ten Potenz in
auf; ferner sei
eine zu
prime ganze Zahl in
, welche dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt, so daß nach Satz
das Primideal
nicht in der Relativdiskriminante des Körpers
vorkommt: dann ist
im Körper
in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder unzerlegbar, je nachdem
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent ausfällt oder nicht.
Beweis. Ist
in
weiter zerlegbar und bedeutet
einen Primfaktor von
, so schließen wir aus der Gleichheit der Norm
in
mit der Norm
in
, wie im Beweise des Satzes 7, daß jede ganze Zahl in
einer ganzen Zahl in
nach
kongruent sein muß. Nach Voraussetzung gibt es eine ganze Zahl
in
, so daß
nach
ausfällt; ist dann
irgendeine durch
, aber nicht durch
teilbare ganze Zahl
und weiter
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
, so stellt, wie wir dem Beweise des Satzes 4 entnehmen, der Ausdruck
eine ganze Zahl in
dar. Es gibt also nach dem vorhin Bewiesenen eine ganze Zahl
in
, für welche
|
|
wird. Aus dieser Kongruenz schließen wir
|
.
|
Mit Rücksicht auf den Umstand, daß
zu
prim ist, können wir in dieser Kongruenz den rechts stehenden Ausdruck durch eine ganze Zahl
des Körpers
ersetzen und erhalten dann
oder .
|
(1)
|
Da ferner
nach dem Modul 2 und folglich auch nach
ausfällt, so gilt auch die Kongruenz
|
(2)
|
und durch Multiplikation erhalten wir schließlich aus den beiden Kongruenzen (1) und (2):
.
|
|
Da die linke Seite dieser Kongruenz eine ganze Zahl in
ist, so folgt auch
oder .
|
|
womit eine Aussage des Satzes 8 bewiesen ist.
Nehmen wir nun umgekehrt an, es sei
nach
, wobei
eine ganze Zahl in
ist, so erkennen wir leicht die Richtigkeit der Gleichung
|
|
und hier sind die beiden Primideale rechter Hand wegen
|
|
in der Tat voneinander verschieden; damit ist der Satz 8 vollständig bewiesen.
§ 6. Das Symbol
.
Definition 4. Wir erweitern nunmehr die Bedeutung des in Definition 1 erklärten Symbols in folgender Weise:
Ist
irgendein Primideal in
, so setzen wir
|
oder oder ,
|
je nachdem
im Körper
in zwei voneinander verschiedene Primideale weiter zerlegbar oder nicht zerlegbar oder gleich dem Quadrat eines Primideals wird. Ist
das Quadrat einer Zahl in
, so setzen wir stets
|
.
|
Es ist nach den Sätzen 6, 7, 8 leicht möglich, in allen Fällen den Wert des Symbols
zu berechnen und wir erkennen aus Satz 7 im Falle, daß
zu
und
prim ausfällt, die volle Übereinstimmung mit der Definition 1. Was insbesondere den Fall anbetrifft, daß
gleich einem in
aufgehenden Primideal
des Körpers
ist, so bestimmen wir zunächst die höchste Potenz von
, welche in
aufgeht. Ist der Exponent
dieser Potenz ungerade, so haben wir gewiß
; ist
dagegen gerade, so bestimmen wir, wenn
eine durch
, aber nicht durch
teilbare Zahl bedeutet, eine ganze zu
prime Zahl
in
der Art, daß
|
.
|
Ist hier
nicht dem Quadrat einer ganzen Zahl in
nach
kongruent, so haben wir mit Rücksicht auf die Sätze 4 und 6 ebenfalls
; im anderen Fall unterscheiden wir, ob
dem Quadrat einer ganzen Zahl in
auch nach
kongruent ausfällt oder nicht, und haben wegen Satz 8 dementsprechend
oder
.
Definition 5. Ist
ein beliebiges Ideal des Körpers
und hat man
, wo
,
, …,
Primideale in
sind, so möge, wenn
eine beliebige ganze Zahl in
ist, das Symbol
durch die folgende Gleichung definiert werden:
|
.
|
Sind
,
beliebige Ideale in
, so gilt dann offenbar die Gleichung
|
.
|
Das Symbol
ist durch diese Festsetzungen stets definiert, sobald
irgendeine ganze Zahl in
und
irgendein Ideal in
bedeutet. Das Symbol
ist nur der Werte
,
,
fähig.
§ 7. Normenreste und Normennichtreste des Körpers
und das Symbol
.
Definition 6. Es sei
irgendein Primideal in
, und es seien
,
beliebige ganze Zahlen in
, nur daß
nicht gleich dem Quadrat einer Zahl in
ausfällt: wenn dann
nach
der Relativnorm einer ganzen Zahl des Körpers
kongruent ist und wenn außerdem auch für jede höhere Potenz von
stets eine solche ganze Zahl
im Körper
gefunden werden kann, daß
nach jener Potenz von
ausfällt, so nenne ich
einen Normenrest des Körpers
nach
. In jedem anderen Falle nenne ich
einen Normennichtrest des Körpers
nach
.
Ich definiere das Symbol
, indem ich
oder
|
|
setze, je nachdem
Normenrest oder Normennichtrest nach
ist. Fällt
gleich dem Quadrat einer ganzen Zahl in
aus, so werde stets
|
|
gesetzt.
Das neue Symbol
ist durch diese Festsetzungen in jedem Falle definiert, sobald
,
irgend zwei ganze Zahlen des Körpers
und
irgendein Primideal des Körpers
bedeuten. Das Symbol
ist nur der beiden Werte
oder
fähig.
§ 8. Eigenschaften des Symbols
.
In den folgenden Sätzen entwickeln wir einige Eigenschaften des Symbols
für den Fall, daß
ein nicht in
aufgehendes Primideal bedeutet.
Satz 9. Wenn
,
irgend beliebige ganze Zahlen in
bedeuten und
ein Primideal des Körpers
ist, das zu
und zu
prim ausfällt, aber in
genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung
.
|
|
Beweis. Ist
, so gibt es nach Definition 1 eine ganze Zahl
in
, für welche
nach
wird. Um zu zeigen, daß dann die Kongruenz
auch nach jeder beliebigen Potenz von
durch geeignete Wahl von
lösbar ist, setzen wir
, ,
|
|
so daß dabei
![{\displaystyle \omega }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48eff443f9de7a985bb94ca3bde20813ea737be8)
eine ganze durch
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
teilbare Zahl in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
bedeutet. Die ganze Zahl
![{\displaystyle \alpha '=\alpha (1+\omega )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d633a700ac39f4b951810e1a5420ced7a69cb9a2)
, erfüllt dann die Bedingung
, .
|
|
Durch gehörige Fortsetzung dieses Verfahrens erkennen wir, daß für jeden Exponenten
eine ganze Zahl
existiert, so daß
,
|
|
ausfällt. Setzen wir
, so folgt
, ,
|
|
d. h. es hat unter der obigen Annahme das Symbol
den Wert
.
Machen wir umgekehrt die Annahme
, so gibt es nach Definition 6 eine ganze Zahl
in
, für welche
nach
wird. Da nach Satz 4 das Primideal
in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgeht, so ist nach Satz 6 das Primideal
gleich dem Quadrat eines Primideals
im Körper
. Aus der Gleichung
folgt die Gleichheit der Normen
in
und
in
und wie im Beweise des Satzes 7 schließen wir dann auch hier, daß jede ganze Zahl des Körpers
einer ganzen Zahl des Körpers
nach
kongruent sein muß. Setzen wir insbesondere
nach
, wo
eine ganze Zahl in
ist, so folgt
,
|
|
und daher ist auch
nach
, d. h. unter der gegenwärtigen Annahme erhalten wir
; hiermit und durch das vorhin Bewiesene wird der Satz 9 vollständig als richtig erkannt.
Satz 10 Wenn
,
zwei beliebige ganze Zahlen in
bedeuten und
ein weder in
noch in
noch in
aufgehendes Primideal in
ist, so gilt stets die Gleichung
.
|
|
Beweis. Nach Satz 4 geht
nicht in der Relativdiskriminante des Körpers
auf; wir haben demgemäß nur zwei Annahmen zu behandeln, je nachdem
in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers
zerlegbar ist oder in
unzerlegbar bleibt.
Wir nehmen zunächst
als zerlegbar an, und zwar sei
, wo
ein Primideal des Körpers
bedeutet. Es gibt dann gewiß in
ein System von zwei ganzen Zahlen,
,
, für welche die beiden in
,
linearen Kongruenzen
|
(1)
|
erfüllt sind. Nun können wir wegen der Gleichheit der Normen
![{\displaystyle n({\mathfrak {p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288572eacfeb8ad6ccad52980f7369f9c6f5a7a0)
und
![{\displaystyle N({\mathfrak {P}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df8bb7e58edef8048dd9319eb4f479a7fdb885a)
, wie im Beweise zu Satz 7 und zu Satz 9, jede ganze Zahl in
![{\displaystyle K({\sqrt {\mu }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3f175e7195a3cd73eba00987349e0c4a7320c00)
einer ganzen Zahl des Körpers
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
nach
![{\displaystyle {\mathfrak {P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f306de895b1fd787a364c508badc106b1ff73e18)
kongruent setzen; es sei demgemäß
, , ,
|
(2)
|
wo
,
ganze Zahlen in
sind. Wenn wir dann zur Abkürzung
|
|
setzen, so folgt wegen (2) durch Multiplikation der Kongruenzen (1) die Kongruenz
,
|
|
und da beide Seiten dieser Kongruenz ganze Zahlen in
sind, so gilt sie auch nach dem Modul
. Um zu beweisen, daß die Kongruenz
durch geeignete Wahl der ganzen Zahl
in
auch nach jeder Potenz
des Primideals
lösbar ist, zeigen wir, wie im Beweise zu Satz 9, die Existenz einer Zahl
, welche der Kongruenz
,
|
|
genügt; dann ist offenbar
nach
.
Es sei andererseits
im Körper
nicht weiter zerlegbar und somit nach Satz 7 die Zahl
quadratischer Nichtrest nach
. Nach Satz 2 gibt es in
genau
quadratische Reste nach
; es seien diese durch die Quadratzahlen
,
, …,
vertreten. Wir unterscheiden nun zwei Fälle, je nachdem die Zahl
quadratischer Rest oder Nichtrest nach
ist.
Im ersteren Falle sind wegen unserer Annahme über
die
Zahlen
,
|
(3)
|
sämtlich nach
untereinander inkongruent. Es ist daher jede zu
prime ganze Zahl in
einer der Zahlen (3) nach
kongruent. Die Zahlen (3) sind bez. die Relativnormen der Zahlen
,
|
|
und es ist mithin jede zu
prime Zahl in
der Relativnorm einer geeigneten ganzen Zahl in
nach
kongruent.
Ist
quadratischer Nichtrest nach
, so wird
quadratischer Rest nach
; es sei
nach
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet. In der Reihe der ganzen rationalen positiven Zahlen
|
|
ist die letzte Zahl Nichtrest nach
; es sei
die erste Zahl dieser Reihe, auf welche ein Nichtrest des Primideals
folgt. Wir setzen
nach
, wo
eine ganze Zahl in
bedeutet: dann ist die ganze Zahl
wegen
,
|
|
sicher quadratischer Nichtrest nach
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
, und es fallen folglich die
![{\displaystyle n({\mathfrak {p}})-1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02170074373b5478eda98dcc59f8601cdd33c433)
Zahlen
|
(4)
|
sämtlich untereinander inkongruent nach
aus. In diesem Falle ist also jede zu
prime Zahl in
einer der Zahlen (4) nach
kongruent. Die Zahlen (4) sind aber bez. die Relativnormen der Zahlen
|
|
und es ist mithin jede zu
prime ganze Zahl in
der Relativnorm einer ganzen Zahl in
kongruent. Hieraus schließt man weiter, wie im ersten Teil dieses Beweises, daß zu jeder nicht durch
teilbaren Zahl
des Körpers
auch für eine beliebig hohe Potenz
des Primideals
stets eine ganze Zahl in
gefunden werden kann, deren Relativnorm der Zahl
nach
kongruent ist. Damit ist Satz 10 in allen Fällen bewiesen.
Satz 11. Wenn
,
zwei beliebige ganze Zahlen in
bedeuten und
ein Primideal des Körpers
ist, das zu
und zu
prim ausfällt, aber in
genau zur ersten Potenz aufgeht, so gilt stets die Gleichung
.
|
|
Beweis. Ist
, so wird nach Satz 7 das Primideal
des Körpers
in zwei voneinander verschiedene Primideale
und
des Körpers
weiter zerlegbar. Wir bestimmen eine ganze Zahl
in
, welche durch
, aber weder durch
noch durch
teilbar ist; dann geht die Relativnorm
der Zahl
genau durch die erste Potenz von
auf. Es sei
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
, dann ist
eine ganze zu
prime Zahl und daher zufolge des Satzes 10 Normenrest des Körpers
nach
. Bedeutet
eine beliebige Potenz von
und setzen wir
, ,
|
|
wo
eine ganze Zahl in
bedeutet, und bestimmen dann
als ganze Zahl in
, so daß
nach
ausfällt, so wird offenbar
,
|
|
d. h. es ist
Normenrest des Körpers
nach
.
Umgekehrt, wenn
Normenrest des Körpers
ist und etwa
nach
ausfällt, wo
eine ganze Zahl in
ist, so geht
wegen der über
gemachten Annahme nur durch die erste Potenz von
auf; wir haben daher offenbar
,
|
|
d. h.
zerfällt in
in ein Produkt von zwei Idealen und mithin ist nach Satz 7
. Damit ist der Satz 11 vollständig bewiesen. Satz 12. Es sei
ein zu
primes Primideal des Körpers
, ferner seien
,
,
,
vier ganze Zahlen in
von der Beschaffenheit, daß
das Quadrat einer ganzen oder gebrochenen Zahl in
und
die Relativnorm einer ganzen oder gebrochenen Zahl des Körpers
wird: dann gilt stets die Gleichung
.
|
|
Beweis. Zunächst bemerken wir, daß wegen der Definition 6 des Symbols
offenbar stets die Gleichung
|
(5)
|
gilt, da offenbar der durch
bestimmte relativquadratische Körper mit dem Körper
übereinstimmt.
Ferner wollen wir beweisen, daß, wenn
die Relativnorm
einer ganzen Zahl
des Körpers
ist, stets
|
(6)
|
ausfällt.
In der Tat, wenn
Normenrest des Körpers
nach
ist, so wird offenbar auch
Normenrest dieses Körpers nach
. Die umgekehrte Annahme, daß
Normenrest des Körpers
nach
ist, behandeln wir in folgender Weise: Es gehe
genau durch die
-te Potenz von
und
genau durch die
-te Potenz von
auf; es sei ferner
eine ganze Zahl in
, so daß die Kongruenz
|
(7)
|
gilt, wobei
einen beliebigen Exponenten der größer als
ist, bedeutet. Wir unterscheiden nun drei Fälle, je nachdem
im Körper
Primideal bleibt oder in zwei gleiche oder in zwei voneinander verschiedene Primideale des Körpers
weiter zerlegbar ist.
Im ersten Falle muß wegen
der Exponent
gerade sein und
in
genau zur
-ten Potenz aufgehen; ferner erkennen wir aus (7), daß
genau durch die
-te Potenz von
teilbar sein muß. Nun sei
eine durch
teilbare, aber zu
prime ganze Zahl in
. Dann ist
gewiß eine ganze Zahl in
und wir erhalten
nach
. Bestimmen wir noch eine ganze Zahl
in
, so daß
nach
ausfällt, so folgt
nach
, d. h.
ist Normenrest des Körpers
nach
.
Im zweiten Falle setzen wir
, so daß
ein Primideal in
bedeutet. Wegen
geht in
genau die
-te Potenz von
auf und wegen der Kongruenz (7) geht in
genau die
-te Potenz von
auf. Wir bestimmen nun eine Zahl
in
wie im ersten Falle, und gelangen dann durch die entsprechenden Schlüsse wiederum zu dem Resultat, daß
Normenrest des Körpers
nach
sein muß.
Im dritten Falle endlich setzen wir
, wo
ein Primideal des Körpers
bedeutet, welches von seinem relativkonjugierten Primideale
verschieden ausfällt. Nun gehe in
das Primideal
genau zur
-ten und das Primideal
genau zur
-ten Potenz auf; ferner gehe in
das Primideal
genau zur
-ten und
genau zur
-ten Potenz auf; es ist dann
und
, und folglich
.
|
(8)
|
Wir bilden jetzt in
eine ganze Zahl
, die genau durch die
-te Potenz von
und durch die
-te Potenz von
teilbar ist, und endlich eine ganze Zahl
in
, die durch
teilbar ist, aber zu
prim ausfällt. Wegen der Ungleichung (8) ist dann
gewiß eine ganze Zahl in
und wir erhalten
nach
. Bestimmen wir also noch eine ganze Zahl
in
, so daß
nach
ausfällt, so folgt
nach
, d. h.
ist Normenrest des Körpers
nach
. Damit ist die Richtigkeit der in Formel (6) ausgesprochenen Behauptung in allen Fällen als richtig erkannt.
Wegen der über
gemachten Voraussetzung dürfen wir
oder
setzen, wobei
Relativnormen gewisser ganzer Zahlen in
bedeuten. Mit Hilfe der eben bewiesenen Formel (6) erhalten wir
und ;
|
|
mithin ist auch
.
|
|
Die letztere Formel und die Formel (5) zusammen zeigen die Richtigkeit des Satzes 12.
§ 9. Die allgemeinen Grundformeln für das Symbol
.
Aus den in § 8 entwickelten Eigenschaften des Symbols
können wir ein System von Grundformeln für dieses Symbol herleiten unter der Voraussetzung, daß dabei
ein in
nicht aufgehendes Primideal bedeutet.
Satz 13. Es sei
ein zu
primes Primideal des Körpers
und
,
seien zwei beliebige ganze Zahlen in
; geht das Primideal
in diesen Zahlen
,
genau zur
-ten, bez.
-ten Potenz auf, so bilde man die Zahl
und bringe dieselbe in die Gestalt eines Bruches
, dessen Zähler
und dessen Nenner
nicht durch
teilbar sind: dann gilt stets die Gleichung
.
|
|
Beweis. Die Sätze 9, 10, 11 zeigen unmittelbar, daß der Satz 13 für
,
, für
,
und für
,
gilt. Im Falle
,
haben wir
zu setzen; da nun
|
|
die Relativnorm der Zahl
ist, so ergibt sich nach Satz 12
,
|
|
und da andererseits nach Satz 9
|
|
ist, so folgt auch für diesen Fall die Richtigkeit des Satzes 13.
Sind nun
,
beliebige ganze rationale nicht negative Exponenten, so möge
den Wert
oder
bedeuten, je nachdem
gerade oder ungerade ausfällt, und entsprechend möge
den Wert
oder
bedeuten, je nachdem
gerade oder ungerade ausfällt. Wir bestimmen jetzt im Körper
eine ganze Zahl
, in der genau die
-te Potenz von
aufgeht, und eine Zahl
, in der genau die
-te Potenz von
aufgeht von der Beschaffenheit, daß
und
Quadrate von Zahlen in
sind; dann setzen wir
gleich einem Bruche
, dessen Zähler
und dessen Nenner
ganze zu
prime Zahlen in
sind, und erkennen leicht, daß in der Zahlenreihe
, , , , , ,
|
|
jede Zahl durch die darauffolgende dividiert, gleich dem Quadrat einer Zahl des Körpers
wird; wir schließen hieraus, daß auch der Quotient der ersten Zahl
und der letzten
in jener Reihe gleich dem Quadrat einer gewissen Zahl
des Körpers
sein muß. Da andererseits diese Zahlen beide zu
prim sind, so läßt sich notwendig auch
in die Gestalt eines Bruches
setzen, dessen Zähler
und dessen Nenner
ganze zu
prime Zahlen in
sind. Wir erhalten mithin
und folglich ist
; da ferner
ausfällt, so ist auch
.
|
(1)
|
Weiter ist nach Satz 12
,
|
(2)
|
und da nach dem ersten Teil des gegenwärtigen Beweises der Satz 13 auf die Zahlen
,
angewandt werden darf, so gilt die Gleichung
,
|
(3)
|
Aus den Formeln (1), (2), (3) folgt die Richtigkeit des Satzes 13 allgemein.
Aus Satz 13 ergeben sich für das Symbol
eine Reihe von wichtigen Formeln, die wir in folgendem Satze zusammenstellen:
Satz 14. Wenn
,
,
,
,
,
beliebige ganze Zahlen des Körpers
sind, so gelten in bezug auf irgendein zu
primes Primideal
des Körpers
stets die Formeln:
|
|
Beweis. Die erste Formel folgt unmittelbar aus Satz 13.
Um die zweite Formel zu beweisen, nehmen wir an, es gehe das Primideal
in
,
,
bez. genau zur
-ten,
-ten,
-ten Potenz auf, und setzen dann
, ,
|
|
so daß
ganze zu
prime Zahlen in
sind. Nach Satz 13 erhalten wir
|
|
und diese Gleichungen zeigen die Richtigkeit der zweiten Formel.
Die dritte Formel ist eine unmittelbare Folge der ersten und zweiten.
Im Lauf der gegenwärtigen Untersuchung werden wir erkennen, daß die Formeln des Satzes 14 auch für jedes in
![{\displaystyle 2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/901fc910c19990d0dbaaefe4726ceb1a4e217a0f)
aufgehende Primideal des Körpers
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
gültig sind.
§ 10. Die Anzahl der Normenreste nach einem nicht in
aufgehenden Primideal.
Satz 15. Wenn
ein zu
primes Primideal des Körpers
ist, das nicht in der Relativdiskriminante des relativquadratischen Körpers
aufgeht, so ist jede zu
prime Zahl
Normenrest des Körpers
nach
.
Wenn dagegen
ein zu
primes Primideal des Körpers
ist, das in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgeht und wenn
ein beliebiger positiver Exponent bedeutet, so sind von allen vorhandenen zu
primen und nach
einander inkongruenten Zahlen in
genau die Hälfte Normenreste des Körpers
.
Beweis. Es gehe
in
genau zur
-ten Potenz auf. Soll zunächst
zur Relativdiskriminante des Körpers
prim ausfallen, so muß nach Satz 4
eine gerade Zahl sein; da ferner nach Voraussetzung
zu
prim ist, so können wir bei Anwendung des Satzes 13 zur Bestimmung des Symbols
einfach
und
setzen und erhalten dann
,
|
|
womit der erste Teil des Satzes 15 bewiesen ist.
Soll andererseits
in der Relativdiskriminante des Körpers
aufgehen, so ist nach Satz 4 der Exponent
eine ungerade Zahl; mithin haben wir nach Satz 13
,
|
|
woraus leicht mit Rücksicht auf Satz 2 der zweite Teil des Satzes 15 zu entnehmen ist.
An späterer Stelle werden wir erkennen, daß dieser Satz 15 ebenso wie Satz 14 auch für jedes in
aufgehende Primideal gilt; doch bietet der Nachweis hierfür erheblich größere Schwierigkeiten. Wir werden dann auf die Bedeutung hinweisen, die diesem Satz 15 und seiner Verallgemeinerung auf beliebige Primideale für unsere Theorie zukommt.
§ 11. Die Einheitenverbände des Körpers
.
Definition 7. Wenn
eine Einheit des Körpers
ist, so heißt das System aller Einheiten von der Form
wo
alle Einheiten des Körpers
durchläuft, ein Verband von Einheiten oder ein Einheitenverband des Körpers
. Der durch die Einheit
bestimmte Einheitenverband, d. h. derjenige Verband, welcher die Quadrate aller Einheiten des Körpers enthält, heiße der Hauptverband und werde mit
bezeichnet. Wenn
,
zwei beliebige Verbände von Einheiten in
sind und jede Einheit in
mit jeder Einheit in
multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum einen Verband von Einheiten in
; dieser werde das Produkt der Verbände
und
genannt und mit
bezeichnet. Wenn eine Anzahl von Verbänden in
vorgelegt ist, von denen keiner der Hauptverband ist und keiner durch Multiplikation aus den anderen erhalten werden kann, so heißen dieselben von einander unabhängig.
Es mögen die
Einheiten
, ...,
ein volles System von Grundeinheiten[3] des Körpers
bilden. Ferner sei
eine Einheitswurzel, welche in
vorkommt, während
nicht in
liegt; wir setzen
und erkennen dann leicht, daß
, ...,
ein System von
Einheiten bilden derart, daß überhaupt jede Einheit
in
auf eine und nur auf eine Weise sich in der Gestalt
|
|
darstellen läßt, wo die Exponenten
,
, ...,
nur die Werte
oder
annehmen und
eine geeignete Einheit in
bedeutet. Es bestimmen also offenbar die Einheiten
, ...,
ein System von
unabhängigen Verbänden in
, durch deren Multiplikation überhaupt jeder in
vorhandene Verband erhalten werden kann. Der Körper
besitzt, wie wir hieraus schließen, im ganzen genau
verschiedene Einheitenverbände.
§ 12. Die Komplexe des relativquadratischen Körpers
.
Definition 8. Ist
ein Ideal aus einer Idealklasse
des in bezug auf
relativquadratischen Körpers
, so werde die durch das relativkonjugierte Ideal
bestimmte Idealklasse mit
bezeichnet und die zu
relativkonjugierte Klasse genannt. Eine Idealklasse
des Körpers
heiße eine ambige Klasse, wenn sie ihrer relativkonjugierten Klasse
gleich wird, wenn also
|
|
ist.
Insbesondere ist offenbar jede Klasse des Körpers
ambig, welche ein ambiges Ideal des Körpers
enthält; doch kann es, wie später gezeigt werden wird, sehr wohl ambige Klassen in
geben, welche kein ambiges Ideal enthalten.
Das Quadrat einer ambigen Klasse
ist stets eine solche Klasse in
, welche unter ihren Idealen sicher auch in
liegende Ideale enthält; dies folgt leicht aus der Gleichung
.
Definition 9. Ist
eine beliebige Klasse in
, so nenne ich das System aller Klassen von der Form
, wo
die Klassen des Körpers
durchläuft, einen Komplex des Körpers
. Der Komplex der aus den sämtlichen Klassen
in
besteht, heiße der Hauptkomplex des Körpers
und werde mit
bezeichnet.
Wenn
und
zwei beliebige Komplexe sind und jede Klasse in
mit jeder Klasse in
multipliziert wird, so bilden sämtliche solche Produkte wiederum einen Komplex; dieser werde das Produkt der Komplexe
und
genannt und mit
bezeichnet.
Wenn
eine Klasse im Komplexe
ist, so werde derjenige Komplex, zu welchem die relativkonjugierte Klasse
gehört, der zu
relativkonjugierte Komplex genannt und mit
bezeichnet.
Jeder Komplex, der mit dem ihm relativkonjugierten Komplexe übereinstimmt, heißt ein ambiger Komplex. Wenn
ein ambiger Komplex ist, so folgt aus
die Gleichung
,
|
|
d. h. das Quadrat jedes ambigen Komplexes ist der Hauptkomplex. Umgekehrt, wenn das Quadrat eines Komplexes
den Hauptkomplex
liefert, so ist
ein ambiger Komplex. In der Tat folgt, da
stets gleich
ausfällt, aus
die Gleichung
.
Jeder Komplex
, der eine ambige Klasse
enthält, ist ein ambiger Komplex; ein solcher Komplex werde ein aus der ambigen Klasse
entspringender Komplex genannt. Enthält insbesondere die ambige Klasse
ein ambiges Ideal
, so heißt
ein aus dem ambigen Ideal
entspringender Komplex.
Wenn eine Anzahl von Komplexen des Körpers
vorgelegt ist, unter denen keiner der Hauptkomplex
ist und keiner durch Multiplikation aus den übrigen hergeleitet werden kann, so heißen diese Komplexe voneinander unabhängig.
§ 13. Primideale des Körpers
mit vorgeschriebenen quadratischen Charakteren.
Ein sehr wichtiges Hilfsmittel für die weitere Entwicklung der Theorie der relativquadratischen Körper gewinnen wir durch die Erörterung der Frage, ob es stets im Körper
Primideale gibt, nach denen irgendwelche gegebene Zahlen vorgeschriebene quadratische Charaktere besitzen. Wir führen die Untersuchung dieser Frage in folgender Weise:
Satz 16. (Hilfssatz.) Es bedeute
irgendeine ganze Zahl in
, welche nicht das Quadrat einer Zahl in
ist, und man setze
, ,
|
|
wo die Summe rechter Hand über sämtliche Primideale
des Körpers
zu erstrecken ist: dann nähert sich die Funktion
der reellen Veränderlichen
, wenn
nach
abnimmt, einer endlichen Grenze.
Beweis. Wir fassen den Körper
vom Grade
und ferner den durch
bestimmten relativquadratischen Körper
vom Grade
ins Auge und bilden bez. die Funktionen
, ,
|
|
wobei das erste Produkt über alle Primideale
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
und das zweite Produkt über alle Primideale
![{\displaystyle {\mathfrak {P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f306de895b1fd787a364c508badc106b1ff73e18)
in
![{\displaystyle K({\sqrt {\alpha }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54417c85f90700c9131363c629e117a94e495fa3)
zu erstrecken ist, und wo ferner
![{\displaystyle n({\mathfrak {p}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/288572eacfeb8ad6ccad52980f7369f9c6f5a7a0)
die Norm von
![{\displaystyle {\mathfrak {p}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a14c125cdf81ac25d76edc2e8d557302c9f555a9)
in
![{\displaystyle k}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3c9a2c7b599b37105512c5d570edc034056dd40)
und
![{\displaystyle N({\mathfrak {P}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8df8bb7e58edef8048dd9319eb4f479a7fdb885a)
die Norm von
![{\displaystyle {\mathfrak {P}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f306de895b1fd787a364c508badc106b1ff73e18)
in
![{\displaystyle K({\sqrt {\alpha }})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54417c85f90700c9131363c629e117a94e495fa3)
bedeutet. Es ist bekannt, daß diese unendlichen Produkte für
![{\displaystyle s>1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d22e768f9a8a3e32ca85ee1f8095009d4a32a248)
konvergieren und daß die Grenzausdrücke
,
|
|
endliche und von
verschiedene Werte darstellen[4]; hieraus folgt, daß auch der Ausdruck
|
(1)
|
einen endlichen von
verschiedenen Wert besitzt. Ordnen wir nun das Produkt
|
(2)
|
nach den Primidealen
des Körpers
, aus welchen die Primideale
herstammen, so gehört, wenn wir Definition 4 berücksichtigen, zu einem beliebigen Primideale
in dem Produkt (2) das Glied
oder oder ,
|
(3)
|
je nachdem
oder oder
|
|
ausfällt. Wir können daher die drei Ausdrücke (3) in der gemeinschaftlichen Form
|
|
schreiben und erhalten so
|
|
und da der Grenzwert (1) endlich und von
verschieden ausfällt, so folgt das gleiche für den Grenzwert
,
|
|
und hieraus schließen wir, indem wir in bekannter Weise zum Logarithmus übergehen, daß der Ausdruck
|
|
einen endlichen Wert besitzt, wie es Satz 16 behauptet. Satz 17. (Hilfssatz). Es seien
, ...,
irgend
ganze Zahlen in
, welche die Bedingung erfüllen, daß kein aus denselben zu bildendes Produkt gleich dem Quadrat einer Zahl in
wird; es seien ferner
, ...,
nach Belieben vorgeschriebene Einheiten
: dann gilt eine Gleichung von der Gestalt
, ;
|
|
hierbei ist die Summe linker Hand über alle diejenigen Primideale
des Körpers
zu erstrecken, die den Bedingungen
|
|
genügen und rechter Hand bedeutet
eine Funktion der reellen Veränderlichen
, welche sich für
einem endlichen Grenzwert nähert.
Beweis. Wir haben
,
|
|
wobei die Summen über alle Primideale
in
zu erstrecken sind und
eine für
endlich bleibende Funktion der reellen Veränderlichen
bedeutet. Da andererseits der Ausdruck
für
endlich und von
verschieden bleibt, so folgt, daß in der Gleichung
, ,
|
(4)
|
wiederum eine für
endlich bleibende Funktion von
bedeutet.
Wir setzen nun in der über alle Primideale
zu erstreckenden Summe
,
|
(5)
|
den Wert
ein und multiplizieren die so entstehende Gleichung mit dem Faktor
. Wir erteilen dann jedem der
Exponenten
,
, ...,
nacheinander die Werte
,
, jedoch so, daß das eine Wertsystem
ausgeschlossen wird. Nach Satz 16 bleiben die sämtlichen
aus (5) in dieser Weise entstehenden Ausdrücke für
endlich. Werden dieselben zu (4) addiert, so erhalten wir daher eine Gleichung von der Form
|
|
,
|
(6)
|
wo
wiederum eine für
endlich bleibende Funktion bedeutet. Die Richtigkeit des Satzes 17 folgt unmittelbar aus dieser Beziehung (6), wenn wir bedenken, daß der Ausdruck
|
|
für alle diejenigen Primideale
, die den Bedingungen des Satzes 17 genügen, den Wert
besitzt und daß dieser Ausdruck für alle anderen Primideale
des Körpers
verschwindet, abgesehen von den endlich vielen Primidealen, die in
aufgehen.
Aus der soeben bewiesenen Gleichung des Satzes 17 folgt, indem wir bedenken, daß
über alle Grenzen wächst, sofort die folgende Tatsache:
Satz 18. Es seien
irgend
ganze Zahlen in
welche die Bedingung erfüllen, daß kein aus denselben zu bildendes Produkt gleich dem Quadrat einer Zahl in
wird: es seien ferner
nach Belieben vorgeschriebene Einheiten
: dann gibt es im Körper
stets unendlich viele Primideale
die den Bedingungen
|
|
genügen.