der Kongruenz (7) geht in
genau die
-te Potenz von
auf. Wir bestimmen nun eine Zahl
in
wie im ersten Falle, und gelangen dann durch die entsprechenden Schlüsse wiederum zu dem Resultat, daß
Normenrest des Körpers
nach
sein muß.
Im dritten Falle endlich setzen wir
, wo
ein Primideal des Körpers
bedeutet, welches von seinem relativkonjugierten Primideale
verschieden ausfällt. Nun gehe in
das Primideal
genau zur
-ten und das Primideal
genau zur
-ten Potenz auf; ferner gehe in
das Primideal
genau zur
-ten und
genau zur
-ten Potenz auf; es ist dann
und
, und folglich
.
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(8)
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Wir bilden jetzt in
eine ganze Zahl
, die genau durch die
-te Potenz von
und durch die
-te Potenz von
teilbar ist, und endlich eine ganze Zahl
in
, die durch
teilbar ist, aber zu
prim ausfällt. Wegen der Ungleichung (8) ist dann
gewiß eine ganze Zahl in
und wir erhalten
nach
. Bestimmen wir also noch eine ganze Zahl
in
, so daß
nach
ausfällt, so folgt
nach
, d. h.
ist Normenrest des Körpers
nach
. Damit ist die Richtigkeit der in Formel (6) ausgesprochenen Behauptung in allen Fällen als richtig erkannt.
Wegen der über
gemachten Voraussetzung dürfen wir
oder
setzen, wobei
Relativnormen gewisser ganzer Zahlen in
bedeuten. Mit Hilfe der eben bewiesenen Formel (6) erhalten wir
und ;
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mithin ist auch
.
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Die letztere Formel und die Formel (5) zusammen zeigen die Richtigkeit des Satzes 12.
§ 9. Die allgemeinen Grundformeln für das Symbol
.
Aus den in § 8 entwickelten Eigenschaften des Symbols
können wir ein System von Grundformeln für dieses Symbol herleiten unter der Voraussetzung, daß dabei
ein in
nicht aufgehendes Primideal bedeutet.
Satz 13. Es sei
ein zu
primes Primideal des Körpers
und
,
seien zwei beliebige ganze Zahlen in
; geht das Primideal
in diesen Zahlen
,
genau zur
-ten, bez.
-ten Potenz auf, so bilde man die Zahl
und bringe dieselbe